G-кольцо - G-ring

Для кольца Сатурна G см. Кольца Сатурна.

В коммутативная алгебра, а G-кольцо или же Кольцо Grothendieck это Кольцо Нётериана такой, что карта любого из его местные кольца к завершение является регулярным (определено ниже). Почти все нётеровы кольца, встречающиеся в природе в алгебраическая геометрия или же теория чисел являются G-кольцами, и довольно сложно построить примеры нётеровых колец, не являющихся G-кольцами. Концепция названа в честь Александр Гротендик.

Кольцо, которое одновременно является G-кольцом и Кольцо J-2 называется квази-отличное кольцо, а если дополнительно универсальная цепочка это называется отличное кольцо.

Определения

  • Кольцо А (Нётериана) р содержащий поле k называется геометрически правильный над k если для любого конечного расширения K из k кольцо р ⊗k K это обычное кольцо.
  • Гомоморфизм колец из р к S называется обычный если он плоский и на каждый п ∈ Spec (р) волокно S ⊗р k(п) геометрически регулярна над полем вычетов k(п) изп. (смотрите также Теорема Попеску.)
  • Кольцо называется локальным G-кольцом, если оно является нётеровым локальным кольцом и отображение его пополнения (относительно его максимального идеала) регулярно.
  • Кольцо называется G-кольцом, если оно нётерово и все его локализации в простых идеалах являются локальными G-кольцами. (Достаточно проверить это только для максимальных идеалов, поэтому, в частности, локальные G-кольца являются G-кольцами.)

Примеры

  • Каждый поле является G-кольцом
  • Каждое полное нётерово локальное кольцо является G-кольцом
  • Каждое кольцо сходящихся степенных рядов от конечного числа переменных над р или же C является G-кольцом.
  • Каждая дедекиндова область в характеристике 0, и в частности кольцо целых чисел, является G-кольцом, но в положительной характеристике есть дедекиндовы области (и даже кольца дискретного нормирования), которые не являются G-кольцами.
  • Каждая локализация G-кольца является G-кольцом
  • Всякая конечно порожденная алгебра над G-кольцом является G-кольцом. Это теорема Гротендика.

Вот пример кольца дискретной оценки А характерных п> 0, которое не является G-кольцом. Если k любое поле характеристики п с [k:kп] = ∞ и р=k[[Икс]] и А подкольцо степенного ряда ΣаяИкся так что [kп(а0,а1,...):kп ] конечен, то формальный слой А над общей точкой не является геометрически правильным, поэтому А не является G-кольцом. Здесь kп обозначает изображение k под Морфизм Фробениуса а→ап.

Рекомендации

  • А. Гротендик, Ж. Дьедонне, Элементы геометрии альжебрики IV Publ. Математика. IHES 24 (1965), раздел 7
  • Х. Мацумура, Коммутативная алгебра ISBN  0-8053-7026-9, глава 13.