Теорема Амицура – ​​Левицки - Википедия - Amitsur–Levitzki theorem

В алгебре Теорема Амицура – ​​Левицки. утверждает, что алгебра п к п матрицы удовлетворяет некоторому тождеству степени 2п. Это было доказано Амицур и Левицкий  (1950 ). В частности, матричные кольца кольца полиномиальных единиц такая, что наименьшее тождество, которому они удовлетворяют, имеет степень ровно 2п.

Заявление

В стандартный многочлен степени п является

в некоммутативных переменных Икс1,...,Иксп, где сумма берется по всем п! элементы симметричная группа Sп.

Теорема Амицура – ​​Левицки утверждает, что для п к п матрицы А1,...,А2п тогда

Доказательства

Амицур и Левицки (1950 ) дал первое доказательство.

Костант (1958) вывел теорему Амицура – ​​Левицки из Теорема Кошуля – Самельсона. о примитивных когомологиях алгебр Ли.

Лебедь (1963) и Лебедь (1969) дал следующее простое комбинаторное доказательство. По линейности достаточно доказать теорему, когда каждая матрица имеет только один ненулевой элемент, который равен 1. В этом случае каждую матрицу можно закодировать как ориентированное ребро графа с п вершины. Таким образом, все матрицы вместе дают график на п вершины с 2п направленные края. Тождество выполняется при условии, что для любых двух вершин А и B графа количество нечетных эйлеровых путей из А к B равно количеству четных. (Здесь путь называется нечетным или четным в зависимости от того, взяты ли его ребра по порядку, дают нечетную или четную перестановку 2п рёбер.) Свон показал, что это так, если количество рёбер в графе не менее 2п, тем самым доказывая теорему Амицура – ​​Левицки.

Размыслова (1974) представил доказательства, связанные с Теорема Кэли – Гамильтона.

Россет (1976) дал краткое доказательство, используя внешнюю алгебру векторного пространства размерности 2п.

Прочези (2013) дал другое доказательство, показывающее, что теорема Амицура – ​​Левицки является тождеством Кэли – Гамильтона для типичной матрицы Грассмана.

Рекомендации