Комплекс Амицур - Википедия - Amitsur complex

В алгебре Амицур комплекс это естественный сложный связано с гомоморфизм колец. Он был введен в (Амицур 1959 г. ). Когда гомоморфизм точно плоский, комплекс Амицура является точным (определяющим разрешение), что является основой теории точно ровный спуск.

Это понятие следует рассматривать как механизм, выходящий за рамки обычного локализация колец и модулей.^[1]

Определение

Позволять ${ displaystyle theta: R to S}$ - гомоморфизм колец (необязательно коммутативных). Сначала определите косимплициальный набор ${ displaystyle C ^ { bullet} = S ^ { otimes bullet +1}}$ (куда ${ displaystyle otimes}$ относится к ${ displaystyle otimes _ {R}}$ , нет ${ displaystyle otimes _ { mathbb {Z}}}$ ) следующее. Определите карты лиц ${ displaystyle d ^ {i}: S ^ { otimes {n + 1}} to S ^ { otimes n + 2}}$ вставив 1 в я-я точка:^{[примечание 1]}

{ displaystyle d ^ {i} (x_ {0} otimes cdots otimes x_ {n}) = x_ {0} otimes cdots otimes x_ {i-1} otimes 1 otimes x_ {i} otimes cdots otimes x_ {n}.}

Определите вырождение ${ displaystyle s ^ {i}: S ^ { otimes n + 1} to S ^ { otimes n}}$ путем умножения я-го и (я + 1) -ые места:

{ displaystyle s ^ {i} (x_ {0} otimes cdots otimes x_ {n}) = x_ {0} otimes cdots otimes x_ {i} x_ {i + 1} otimes cdots иногда x_ {n}.}

Они удовлетворяют «очевидным» косимплициальным тождествам и, следовательно, ${ displaystyle S ^ { otimes bullet +1}}$ является косимплициальным множеством. Затем он определяет комплекс с увеличением ${ displaystyle theta}$ , то Амицур комплекс:^[2]

{ displaystyle 0 to R , { overset { theta} { to}} , S , { overset { delta ^ {0}} { to}} , S ^ { otimes 2 } , { overset { delta ^ {1}} { to}} , S ^ { otimes 3} to cdots}

куда ${ displaystyle delta ^ {n} = sum _ {i = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ {i} d ^ {i}.}$

Точность комплекса Амицур

Совершенно плоский корпус

В приведенных выше обозначениях, если ${ displaystyle theta}$ точно плоский, то теорема Гротендика утверждает, что (расширенный) комплекс ${ displaystyle 0 to R { overset { theta} { to}} S ^ { otimes bullet +1}}$ является точным и, следовательно, является разрешением. В более общем смысле, если ${ displaystyle theta}$ точно плоский справа, то для каждого левого р-модуль M,

{ displaystyle 0 to M to S otimes _ {R} M to S ^ { otimes 2} otimes _ {R} M to S ^ { otimes 3} otimes _ {R} M в cdots}

точно.^[3]

Доказательство:

Шаг 1: Утверждение верно, если ${ displaystyle theta: R to S}$ расщепляется как гомоморфизм колец.

Который " ${ displaystyle theta}$ раскол »- это сказать ${ displaystyle rho circ theta = operatorname {id} _ {R}}$ для некоторого гомоморфизма ${ displaystyle rho: S to R}$ ( ${ displaystyle rho}$ это опровержение и ${ displaystyle theta}$ секция). Учитывая такой ${ displaystyle rho}$ , определять

{ displaystyle h: S ^ { otimes n + 1} otimes M to S ^ { otimes n} otimes M}

к

{ displaystyle { begin {align} & h (x_ {0} otimes m) = rho (x_ {0}) otimes m, & h (x_ {0} otimes cdots otimes x_ {n}) otimes m) = theta ( rho (x_ {0})) x_ {1} otimes cdots otimes x_ {n} otimes m. end {выровнено}}}

Несложное вычисление показывает следующую идентичность: с ${ displaystyle delta ^ {- 1}: M { overset { theta otimes operatorname {id} _ {M}} { to}} S otimes _ {R} M}$ ,

{ displaystyle h circ delta ^ {n} + delta ^ {n-1} circ h = operatorname {id} _ {S ^ { otimes n + 1} otimes M}}

.

Это значит, что час это оператор гомотопии и так ${ displaystyle operatorname {id} _ {S ^ { otimes n + 1} otimes M}}$ определяет нулевое отображение на когомологиях, т. е. комплекс точен.

Шаг 2: Утверждение в целом верно.

Заметим, что ${ Displaystyle S to T: = S otimes _ {R} S, , x mapsto 1 otimes x}$ это раздел ${ displaystyle T to S, , x otimes y mapsto xy}$ . Таким образом, шаг 1 применяется к гомоморфизму расщепленных колец ${ displaystyle S to T}$ подразумевает:

{ displaystyle 0 to M_ {S} to T otimes _ {S} M_ {S} to T ^ { otimes 2} otimes _ {S} M_ {S} to cdots,}

куда ${ displaystyle M_ {S} = S otimes _ {R} M}$ , это точно. С ${ displaystyle T otimes _ {S} M_ {S} simeq S ^ { otimes 2} otimes _ {R} M}$ и т. д., говоря «точно плоский», исходная последовательность является точной. ${ displaystyle square}$

Случай дуговой топологии

Бхатт и Шольце (2019, §8) показывают, что комплекс Амицура точен, если р и S являются (коммутативными) идеальные кольца, и карта должна быть покрытием в дуговая топология (что является более слабым условием, чем прикрытие в плоская топология ).

Комплекс Амицур - Википедия - Amitsur complex

Содержание

Определение

Точность комплекса Амицур

Совершенно плоский корпус

Случай дуговой топологии

Рекомендации