Факторизация рангов - Rank factorization

В математика, учитывая м × п матрица ${ displaystyle A}$ из классифицировать ${ displaystyle r}$, а разложение по рангу или же факторизация рангов из ${ displaystyle A}$ это факторизация ${ displaystyle A}$ формы ${ displaystyle A = CF,}$ куда ${ displaystyle C}$ является м × р матрица и ${ displaystyle F}$ является р × п матрица.

Существование

Каждая конечномерная матрица имеет разложение по рангу: Позволять ${ textstyle A}$ быть ${ textstyle m times n}$ матрица, чья ранг столбца является ${ textstyle r}$. Следовательно, есть ${ textstyle r}$ линейно независимый столбцы в ${ textstyle A}$; эквивалентно, измерение из пространство столбца из ${ textstyle A}$ является ${ textstyle r}$. Позволять ${ textstyle c_ {1}, c_ {2}, ldots, c_ {r}}$ быть любым основа для пространства столбцов ${ textstyle A}$ и поместите их как векторы-столбцы, чтобы сформировать ${ textstyle m times r}$ матрица ${ textstyle C = [c_ {1}: c_ {2}: ldots: c_ {r}]}$. Следовательно, каждый вектор-столбец ${ textstyle A}$ это линейная комбинация колонн ${ textstyle C}$. Если быть точным, если ${ textstyle A = [a_ {1}: a_ {2}: ldots: a_ {n}]}$ является ${ textstyle m times n}$ матрица с ${ textstyle a_ {j}}$ как ${ textstyle j}$-й столбец, затем

${ displaystyle a_ {j} = f_ {1j} c_ {1} + f_ {2j} c_ {2} + cdots + f_ {rj} c_ {r},}$

куда ${ textstyle f_ {ij}}$'s - скалярные коэффициенты ${ textstyle a_ {j}}$ с точки зрения основы ${ textstyle c_ {1}, c_ {2}, ldots, c_ {r}}$. Отсюда следует, что ${ textstyle A = CF}$, куда ${ textstyle f_ {ij}}$ это ${ textstyle (я, j)}$-й элемент ${ textstyle F}$.

Неединственность

Если ${ textstyle A = C_ {1} F_ {1}}$ является факторизацией рангов, принимая ${ textstyle C_ {2} = C_ {1} R}$ и ${ textstyle F_ {2} = R ^ {- 1} F_ {1}}$ дает другую факторизацию ранга для любой обратимой матрицы ${ textstyle R}$ совместимых размеров.

Наоборот, если ${ textstyle A = F_ {1} G_ {1} = F_ {2} G_ {2}}$ две ранговые факторизации ${ textstyle A}$, то существует обратимая матрица ${ textstyle R}$ такой, что ${ textstyle F_ {1} = F_ {2} R}$ и ${ textstyle G_ {1} = R ^ {- 1} G_ {2}}$.^[1]

Строительство

Факторизация рангов из сокращенных форм эшелона строк

На практике мы можем построить одну конкретную факторизацию рангов следующим образом: мы можем вычислить ${ textstyle B}$, то сокращенная форма эшелона строки из ${ textstyle A}$. потом ${ textstyle C}$ получается удалением из ${ textstyle A}$ все не-сводные столбцы, и ${ textstyle F}$ удалив все нулевые строки ${ textstyle B}$.

Пример

Рассмотрим матрицу

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 2 & 7 & 3 & 9 1 & 5 & 3 & 1 1 & 2 & 0 & 8 end {bmatrix}} sim { begin {bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & end {0 & 0 & 0 & 1 0 & end {0 & 0 & 0 & 1 0 & end bmatrix}} = B { text {.}}}$

${ textstyle B}$ находится в форме пониженного эшелона.

потом ${ textstyle C}$ получается удалением третьего столбца ${ textstyle A}$, единственный, который не является сводным столбцом, и ${ textstyle F}$ избавившись от последней строки нулей, так

${ displaystyle C = { begin {bmatrix} 1 & 3 & 4 2 & 7 & 9 1 & 5 & 1 1 & 2 & 8 end {bmatrix}} { text {,}} qquad F = { begin {bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} { text {.}}}$

Несложно проверить, что

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 2 & 7 & 3 & 9 1 & 5 & 3 & 1 1 & 2 & 0 & 8 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 3 & 4 2 & 7 & 9 1 & 5 & 1 1 & 2 & 8} end {bmatrix} { begin {bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} = CF { text {.}}}$

Доказательство

Позволять ${ textstyle P}$ быть ${ textstyle п раз п}$ матрица перестановок такая, что ${ textstyle AP = (C, D)}$ в блок разделен форма, где столбцы ${ textstyle C}$ являются ${ textstyle r}$ сводные столбцы ${ textstyle A}$. Каждый столбец ${ textstyle D}$ является линейной комбинацией столбцов ${ textstyle C}$, так что есть матрица ${ textstyle G}$ такой, что ${ textstyle D = CG}$, где столбцы ${ textstyle G}$ содержат коэффициенты каждой из этих линейных комбинаций. Так ${ textstyle AP = (C, CG) = C (I_ {r}, G)}$, ${ textstyle I_ {r}}$ будучи ${ textstyle r times r}$ единичная матрица. Сейчас мы покажем, что ${ textstyle (I_ {r}, G) = FP}$.

Преобразование ${ textstyle A}$ в уменьшенную форму эшелона строк ${ textstyle B}$ представляет собой умножение слева на матрицу ${ textstyle E}$ который является продуктом элементарные матрицы, так ${ textstyle EAP = BP = EC (I_ {r}, G)}$, куда ${ textstyle EC = { begin {pmatrix} I_ {r} 0 end {pmatrix}}}$. Затем мы можем написать ${ textstyle BP = { begin {pmatrix} I_ {r} & G 0 & 0 end {pmatrix}}}$, что позволяет нам идентифицировать ${ textstyle (I_ {r}, G) = FP}$, т.е. ненулевое ${ textstyle r}$ строк сокращенной формы эшелона с той же перестановкой столбцов, что и для ${ textstyle A}$. Таким образом, мы имеем ${ textstyle AP = CFP}$, и с тех пор ${ textstyle P}$ обратимо отсюда следует ${ textstyle A = CF}$, и доказательство завершено.

Разложение по сингулярным числам

Можно также построить полную факторизацию рангов ${ textstyle A}$ используя его разложение по сингулярным числам

${ displaystyle A = U Sigma V ^ {*} = { begin {bmatrix} U_ {1} & U_ {2} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} Sigma _ {r} & 0 0 & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} V_ {1} ^ {*} V_ {2} ^ {*} end {bmatrix}} = U_ {1} left ( Sigma _ {r} V_ {1} ^ {*} right).}$

С ${ textstyle U_ {1}}$ матрица ранговых столбцов и ${ textstyle Sigma _ {r} V_ {1} ^ {*}}$ матрица полного ранга строки, мы можем взять ${ textstyle C = U_ {1}}$ и ${ textstyle F = Sigma _ {r} V_ {1} ^ {*}}$.

Последствия

ранг (A) = ранг (A^Т)

Непосредственным следствием факторизации ранга является то, что ранг ${ textstyle A}$ равен рангу его транспонированной ${ textstyle A ^ { extf {T}}}$. Поскольку столбцы ${ textstyle A}$ ряды ${ textstyle A ^ { extf {T}}}$, то ранг столбца из ${ textstyle A}$ равно его ранг строки.^[2]

Доказательство: Чтобы понять, почему это так, давайте сначала определим ранг как значение ранга столбца. С ${ textstyle A = CF}$, следует, что ${ textstyle A ^ { extf {T}} = F ^ { extf {T}} C ^ { extf {T}}}$. Из определения матричное умножение, это означает, что каждый столбец ${ textstyle A ^ { extf {T}}}$ это линейная комбинация колонн ${ textstyle F ^ { extf {T}}}$. Следовательно, пространство столбцов ${ textstyle A ^ { extf {T}}}$ содержится в пространстве столбцов ${ textstyle F ^ { extf {T}}}$ и, следовательно, ранг${ textstyle left (A ^ { textf {T}} right)}$ ≤ ранг${ textstyle влево (F ^ { extf {T}} right)}$.

Сейчас же, ${ textstyle F ^ { extf {T}}}$ является ${ textstyle п раз r}$, так что есть ${ textstyle r}$ столбцы в ${ textstyle F ^ { extf {T}}}$ и, следовательно, ранг${ textstyle left (A ^ { extf {T}} right)}$ ≤ ${ textstyle r}$ = ранг${ textstyle влево (А вправо)}$. Это доказывает, что ранг${ textstyle left (A ^ { extf {T}} right)}$ ≤ ранг${ textstyle влево (А вправо)}$.

Теперь применим результат к ${ textstyle A ^ { extf {T}}}$ чтобы получить обратное неравенство: поскольку ${ textstyle left (A ^ { extf {T}} right) ^ { extf {T}}}$ = ${ textstyle A}$, мы можем написать ранг${ textstyle влево (А вправо)}$ = ранг${ textstyle left ( left (A ^ { extf {T}} right) ^ { extf {T}} right)}$ ≤ ранг${ textstyle left (A ^ { extf {T}} right)}$. Это доказывает ранг${ textstyle влево (А вправо)}$ ≤ ранг${ textstyle left (A ^ { extf {T}} right)}$.

Таким образом, мы доказали ранг${ textstyle left (A ^ { extf {T}} right)}$ ≤ ранг${ textstyle влево (А вправо)}$ и ранг${ textstyle влево (А вправо)}$ ≤ ранг${ textstyle left (A ^ { extf {T}} right)}$так что ранг${ textstyle влево (А вправо)}$ = ранг${ textstyle left (A ^ { extf {T}} right)}$. (Также см. Первое доказательство того, что ранг столбца = ранг строки под классифицировать ).

Примечания

Рекомендации