Матроид ранг - Matroid rank

В математической теории матроиды, то классифицировать матроида - это максимальный размер независимого множества в матроиде. Ранг подмножества S элементов матроида равно максимальному размеру независимого подмножества S, а функция ранга матроида переводит наборы элементов в их ранги.

Функция ранга - одно из фундаментальных понятий теории матроидов, с помощью которого матроиды могут быть аксиоматизированы. Ранговые функции матроидов составляют важный подкласс субмодульный набор функций, и ранговые функции матроидов, определенные из некоторых других типов математических объектов, таких как неориентированные графы, матрицы, и расширения полей важны при изучении этих объектов.

Свойства и аксиоматизация

Ранговая функция матроида подчиняется следующим свойствам.

• Значение функции ранга всегда неотрицательно. целое число.
• Для любых двух подмножеств ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ из ${ displaystyle E}$, ${ Displaystyle r (A чашка B) + r (A cap B) leq r (A) + r (B)}$. То есть ранг - это субмодульная функция.
• Для любого набора ${ displaystyle A}$ и элемент ${ displaystyle x}$, ${ Displaystyle г (А) Leq г (А чашка {х }) Leq г (А) +1}$. Из первого из этих двух неравенств в более общем виде следует, что если ${ Displaystyle A подмножество B подмножество E}$, тогда ${ Displaystyle г (А) Leq г (В) Leq г (Е)}$. То есть ранг - это монотонная функция.

Эти свойства могут использоваться в качестве аксиом для характеристики ранговой функции матроидов: каждая целочисленная субмодулярная функция на подмножествах конечного множества, которая подчиняется неравенствам ${ Displaystyle г (А) Leq г (А чашка {х }) Leq г (А) +1}$ для всех ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle x}$ - ранговая функция матроида.^[1][2]

Прочие свойства матроидов из ранга

Функция ранга может использоваться для определения других важных свойств матроида:

• Набор является независимым тогда и только тогда, когда его ранг равен его мощности, и зависимым тогда и только тогда, когда он имеет большую мощность, чем ранг.^[3]
• Непустое множество - это схема, если ее мощность равна единице плюс ее ранг, и каждое подмножество, образованное удалением одного элемента из набора, имеет равный ранг.^[3]
• Набор является базисом, если его ранг равен его мощности и рангу матроида.^[3]
• Набор закрывается, если он максимальный для его ранга, в том смысле, что не существует другого элемента, который можно было бы добавить к нему при сохранении того же ранга.
• Разница ${ displaystyle | A | -r (A)}$ называется ничтожность подмножества ${ displaystyle A}$. Это минимальное количество элементов, которые необходимо удалить из ${ displaystyle A}$ чтобы получить независимый набор.^[4]
• В кокон подмножества ${ displaystyle A}$ может относиться как минимум к двум различным величинам: некоторые авторы используют его для обозначения ранга ${ displaystyle A}$ в дуальном матроиде, ${ displaystyle r ^ {*} (A) = | A | + r (E setminus A) -r (E)}$, в то время как другие авторы используют коранг для обозначения разницы ${ Displaystyle г (Е) -r (А)}$.

Звания особых матроидов

В теория графов, то звание цепи (или цикломатическое число) графа - коранг ассоциированного графический матроид; он измеряет минимальное количество ребер, которые необходимо удалить из графа, чтобы оставшиеся ребра образовали лес.^[5] Несколько авторов изучили параметризованная сложность алгоритмов графа, параметризованных этим числом.^[6][7]

В линейная алгебра, звание линейный матроид определяется линейная независимость из колонн матрица это классифицировать матрицы,^[8] и это также измерение из векторное пространство охвачены столбцами.

В абстрактная алгебра, ранг матроида, определенный из наборов элементов в расширение поля L/K к алгебраическая независимость известен как степень трансцендентности.^[9]

Смотрите также

• Оракул ранга

Рекомендации