Теорема ранга – недействительности - Rank–nullity theorem

Теорема ранга – недействительности

В теорема ранга-недействительности это теорема в линейная алгебра, который утверждает, что измерение из домен из линейная карта это сумма его классифицировать (размер его изображение ) и это ничтожность (размер его ядро ) .

Формулировка теоремы

Позволять ${ displaystyle V}$, ${ displaystyle W}$ - векторные пространства, где ${ displaystyle V}$ конечномерно. Позволять ${ Displaystyle T двоеточие V to W}$ - линейное преобразование. потом^[1]

${ displaystyle operatorname {Rank} (T) + operatorname {Nullity} (T) = dim V}$,

куда

${ displaystyle operatorname {Rank} (T): = dim ( operatorname {Image} (T))}$ и ${ displaystyle operatorname {Nullity} (T): = dim ( operatorname {Ker} (T)).}$

Эту теорему можно уточнить с помощью лемма о расщеплении быть заявлением о изоморфизм пространств, а не только размеров. Явно, поскольку Т индуцирует изоморфизм из ${ displaystyle V / operatorname {Ker} (T)}$ к ${ displaystyle operatorname {Изображение} (T)}$, наличие основы для V что расширяет любую данную основу ${ displaystyle operatorname {Ker} (T)}$ влечет с помощью леммы о расщеплении, что ${ Displaystyle OperatorName {Изображение} (T) oplus OperatorName {Ker} (T) cong V}$. Принимая размерности, немедленно следует теорема о ранговом недействительности.

Матрицы

С ${ displaystyle operatorname {Mat} _ {m times n} ( mathbb {F}) cong operatorname {Hom} ( mathbb {F} ^ {n}, mathbb {F} ^ {m}) }$^[2], матрицы сразу приходит в голову при обсуждении линейных карт. В случае ${ Displaystyle м раз п}$ матрица, размер области равен ${ displaystyle n}$, количество столбцов в матрице. Таким образом, теорема ранга-недействительности для данной матрицы ${ displaystyle M in operatorname {Mat} _ {m times n} ( mathbb {F})}$ сразу становится

${ displaystyle operatorname {Rank} (M) + operatorname {Nullity} (M) = n}$.

Доказательства

Здесь мы приводим два доказательства. Первый^[3] работает в общем случае, используя линейные карты. Второе доказательство^[4] смотрит на однородную систему ${ Displaystyle mathbf {Ax} = mathbf {0}}$ за ${ displaystyle mathbf {A} in operatorname {Mat} _ {m times n} ( mathbb {F})}$ с классифицировать ${ displaystyle r}$ и явно показывает, что существует набор ${ displaystyle n-r}$ линейно независимый решения, охватывающие ядро ${ displaystyle mathbf {A}}$.

Хотя теорема требует, чтобы область линейного отображения была конечномерной, для области области нет такого предположения. Это означает, что существуют линейные отображения, не заданные матрицами, для которых применима теорема. Несмотря на это, первое доказательство на самом деле не является более общим, чем второе: поскольку изображение линейной карты конечномерно, мы можем представить карту от области ее определения до ее изображения с помощью матрицы, доказать теорему для этой матрицы, а затем составить с включением изображения в полный кодомен.

Первое доказательство

Позволять ${ Displaystyle V, W}$ быть векторными пространствами над некоторым полем ${ Displaystyle mathbb {F}}$ и ${ displaystyle T}$ определяется как в формулировке теоремы с ${ Displaystyle тусклый V = п}$.

В качестве ${ displaystyle operatorname {Ker} T subset V}$ это подпространство, для этого есть основание. Предполагать ${ displaystyle dim operatorname {Ker} T = k}$ и разреши

${ displaystyle { mathcal {K}}: = {v_ {1}, ldots, v_ {k} } subset operatorname {Ker} (T)}$

быть такой основой.

Теперь мы можем Лемма об обмене Стейница, продлевать ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ с ${ displaystyle n-k}$ линейно независимые векторы ${ displaystyle w_ {1}, ldots, w_ {n-k}}$ сформировать полную основу ${ displaystyle V}$.

Позволять

${ displaystyle { mathcal {S}}: = {w_ {1}, ldots, w_ {n-k} } subset V setminus operatorname {Ker} (T)}$

такой, что

${ displaystyle { mathcal {B}}: = { mathcal {K}} cup { mathcal {S}} = {v_ {1}, ldots, v_ {k}, w_ {1}, ldots, w_ {nk} } subset V}$

это основа для ${ displaystyle V}$.Из этого мы знаем, что

${ displaystyle operatorname {Im} T = operatorname {Span} T ({ mathcal {B}}) = operatorname {Span} {T (v_ {1}), ldots, T (v_ {k} ), T (w_ {1}), ldots, T (w_ {nk}) } = operatorname {Span} {T (w_ {1}), ldots, T (w_ {nk}) } = operatorname {Span} T ({ mathcal {S}})}$.

Теперь мы утверждаем, что ${ Displaystyle Т ({ mathcal {S}})}$ это основа для ${ displaystyle operatorname {Im} T}$Приведенное выше равенство уже гласит, что ${ Displaystyle Т ({ mathcal {S}})}$ генераторная установка для ${ displaystyle operatorname {Im} T}$; Остается показать, что он также линейно независим, чтобы сделать вывод о том, что он является базисом.

Предполагать ${ Displaystyle Т ({ mathcal {S}})}$ не является линейно независимым, и пусть

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n-k} alpha _ {j} T (w_ {j}) = 0_ {W}}$

для некоторых ${ displaystyle alpha _ {j} in mathbb {F}}$.

Таким образом, в силу линейности ${ displaystyle T}$, следует, что

${ displaystyle T left ( sum _ {j = 1} ^ {nk} alpha _ {j} w_ {j} right) = 0_ {W} подразумевает left ( sum _ {j = 1} ^ {nk} alpha _ {j} w_ {j} right) in operatorname {Ker} T = operatorname {Span} { mathcal {K}} subset V}$.

Это противоречие с ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ быть основой, если все ${ displaystyle alpha _ {j}}$ равны нулю. Это показывает, что ${ Displaystyle Т ({ mathcal {S}})}$ линейно независим, а точнее, что он является основой для ${ displaystyle operatorname {Im} T}$.

Подводя итог, мы имеем ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$, основа для ${ displaystyle operatorname {Ker} T}$, и ${ Displaystyle Т ({ mathcal {S}})}$, основа для ${ displaystyle operatorname {Im} T}$.

Наконец, мы можем сказать, что

${ displaystyle operatorname {Rank} (T) + operatorname {Nullity} (T) = dim operatorname {Im} T + dim operatorname {Ker} T = | T ({ mathcal {S}}) | + | { mathcal {K}} | = (nk) + k = n = dim V}$.

Это завершает наше доказательство.

Второе доказательство

Позволять ${ displaystyle mathbf {A} in operatorname {Mat} _ {m times n} ( mathbb {F})}$ с ${ displaystyle r}$ линейно независимый столбцы (т.е. ${ displaystyle operatorname {Rank} ( mathbf {A}) = r}$). Мы покажем, что:

Для этого изготовим матрицу ${ Displaystyle mathbf {X} in operatorname {Mat} _ {п раз (п-р)} ( mathbb {F})}$ чьи столбцы образуют основа нулевого пространства ${ displaystyle mathbf {A}}$.

Без ограничения общности предположим, что первый ${ displaystyle r}$ столбцы ${ displaystyle mathbf {A}}$ линейно независимы. Итак, мы можем написать

${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} mathbf {A} _ {1} & mathbf {A} _ {2} end {pmatrix}}}$,

куда

${ displaystyle mathbf {A} _ {1} in operatorname {Mat} _ {m times r} ( mathbb {F})}$ с ${ displaystyle r}$ линейно независимые векторы-столбцы и

${ displaystyle mathbf {A} _ {2} in operatorname {Mat} _ {m times (n-r)} ( mathbb {F})}$, каждый из которых ${ displaystyle n-r}$ столбцы - это линейные комбинации столбцов ${ displaystyle mathbf {A} _ {1}}$.

Это означает, что ${ Displaystyle mathbf {A} _ {2} = mathbf {A} _ {1} mathbf {B}}$ для некоторых ${ displaystyle mathbf {B} in operatorname {Mat} _ {r times (n-r)}}$ (видеть факторизация рангов ) и поэтому,

${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} mathbf {A} _ {1} & mathbf {A} _ {1} mathbf {B} end {pmatrix}}}$.

Позволять

${ displaystyle mathbf {X} = { begin {pmatrix} - mathbf {B} mathbf {I} _ {n-r} end {pmatrix}}}$,

куда ${ displaystyle mathbf {I} _ {n-r}}$ это ${ Displaystyle (п-р) раз (п-р)}$ единичная матрица. Отметим, что ${ Displaystyle mathbf {X} in operatorname {Mat} _ {п раз (п-р)} ( mathbb {F})}$ удовлетворяет

${ displaystyle mathbf {A} mathbf {X} = { begin {pmatrix} mathbf {A} _ {1} & mathbf {A} _ {1} mathbf {B} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} - mathbf {B} mathbf {I} _ {nr} end {pmatrix}} = - mathbf {A} _ {1} mathbf {B} + mathbf {A } _ {1} mathbf {B} = mathbf {0} _ {m times (nr)}.}$

Таким образом, каждый из ${ displaystyle n-r}$ столбцы ${ displaystyle mathbf {X}}$ частные решения ${ displaystyle mathbf {Ax} = mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {m}}}$.

Кроме того, ${ displaystyle n-r}$ столбцы ${ displaystyle mathbf {X}}$ находятся линейно независимый потому что ${ Displaystyle mathbf {Xu} = mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {n}}}$ будет подразумевать ${ displaystyle mathbf {u} = mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {n-r}}}$ за ${ displaystyle mathbf {u} in mathbb {F} ^ {n-r}}$:

${ displaystyle mathbf {X} mathbf {u} = mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {n}} подразумевает { begin {pmatrix} - mathbf {B} mathbf { I} _ {nr} end {pmatrix}} mathbf {u} = mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {n}} подразумевает { begin {pmatrix} - mathbf {B} mathbf {u} mathbf {u} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {r}} mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {nr}} end {pmatrix}} подразумевает mathbf {u} = mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {nr}}.}$

Следовательно, векторы-столбцы ${ displaystyle mathbf {X}}$ составляют набор ${ displaystyle n-r}$ линейно независимые решения для ${ displaystyle mathbf {Ax} = mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {m}}}$.

Далее мы докажем, что любой решение ${ Displaystyle mathbf {Ax} = mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {m}}}$ должен быть линейная комбинация колонн ${ displaystyle mathbf {X}}$.

Для этого пусть

${ displaystyle mathbf {u} = { begin {pmatrix} mathbf {u} _ {1} mathbf {u} _ {2} end {pmatrix}} in mathbb {F} ^ { n}}$

- любой вектор такой, что ${ displaystyle mathbf {Au} = mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {m}}}$. Обратите внимание, что поскольку столбцы ${ displaystyle mathbf {A} _ {1}}$ линейно независимы, ${ Displaystyle mathbf {A} _ {1} mathbf {x} = mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {m}}}$ подразумевает ${ displaystyle mathbf {x} = mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {r}}}$.

Следовательно,

${ displaystyle { begin {array} {rcl} mathbf {A} mathbf {u} & = & mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {m}} подразумевает { begin { pmatrix} mathbf {A} _ {1} & mathbf {A} _ {1} mathbf {B} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} mathbf {u} _ {1} mathbf {u} _ {2} end {pmatrix}} & = & mathbf {A} _ {1} mathbf {u} _ {1} + mathbf {A} _ {1} mathbf {B} mathbf {u} _ {2} & = & mathbf {A} _ {1} ( mathbf {u} _ {1} + mathbf {B} mathbf {u} _ {2}) & = & mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {m}} подразумевает mathbf {u} _ {1} + mathbf {B} mathbf {u} _ {2} & = & mathbf {0} _ { mathbb {F} ^ {r}} подразумевает mathbf {u} _ {1} & = & - mathbf {B} mathbf {u} _ {2} end {массив }}}$

${ displaystyle подразумевает mathbf {u} = { begin {pmatrix} mathbf {u} _ {1} mathbf {u} _ {2} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} - mathbf {B} mathbf {I} _ {nr} end {pmatrix}} mathbf {u} _ {2} = mathbf {X} mathbf {u} _ {2}.}$

Это доказывает, что любой вектор ${ displaystyle mathbf {u}}$ это решение ${ Displaystyle mathbf {Ax} = mathbf {0}}$ должна быть линейной комбинацией ${ displaystyle n-r}$ специальные решения, данные столбцами ${ displaystyle mathbf {X}}$. И мы уже видели, что столбцы ${ displaystyle mathbf {X}}$ линейно независимы. Следовательно, столбцы ${ displaystyle mathbf {X}}$ составляют основу для пустое пространство из ${ displaystyle mathbf {A}}$. Следовательно ничтожность из ${ displaystyle mathbf {A}}$ является ${ displaystyle n-r}$. С ${ displaystyle r}$ равняется рангу ${ displaystyle mathbf {A}}$, следует, что ${ displaystyle operatorname {Rank} ( mathbf {A}) + operatorname {Nullity} ( mathbf {A}) = n}$. Это завершает наше доказательство.

Переформулировки и обобщения

Эта теорема является утверждением первая теорема об изоморфизме алгебры для случая векторных пространств; это обобщает на лемма о расщеплении.

На более современном языке теорему можно также сформулировать так, что каждая короткая точная последовательность векторных пространств расщепляется. Явно, учитывая, что

${ displaystyle 0 rightarrow U rightarrow V { overset {T} { rightarrow}} R rightarrow 0}$

это короткая точная последовательность векторных пространств, то ${ Displaystyle U oplus R cong V}$, следовательно

${ Displaystyle тусклый (U) + тусклый (R) = тусклый (V)}$.

Здесь р играет роль им Т и U Кер Т, т.е.

${ displaystyle 0 rightarrow ker T ~ { hookrightarrow} ~ V ~ { overset {T} { rightarrow}} ~ operatorname {im} T rightarrow 0}$

В конечномерном случае эта формулировка допускает обобщение: если

0 → V₁ → V₂ → ... → V_р → 0

является точная последовательность конечномерных векторных пространств, то

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {r} (- 1) ^ {i} dim (V_ {i}) = 0.}$^[5]

Теорема ранга – нули для конечномерных векторных пространств также может быть сформулирована в терминах индекс линейной карты. Индекс линейной карты ${ displaystyle T in operatorname {Hom} (V, W)}$, куда ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle W}$ конечномерны, определяется формулой

${ displaystyle operatorname {index} T = dim operatorname {Ker} (T) - dim operatorname {Coker} T}$.

Интуитивно ${ displaystyle dim operatorname {Ker} T}$ - количество независимых решений ${ displaystyle v}$ уравнения ${ displaystyle Tv = 0}$, и ${ displaystyle dim operatorname {Coker} T}$ это количество независимых ограничений, которые необходимо наложить на ${ displaystyle w}$ сделать ${ displaystyle Tv = w}$ разрешимо. Теорема ранга – нули для конечномерных векторных пространств эквивалентна утверждению

${ displaystyle operatorname {index} T = dim V- dim W}$.

Мы видим, что легко считываем индекс линейной карты ${ displaystyle T}$ из задействованных пространств, без необходимости анализировать ${ displaystyle T}$ в деталях. Этот эффект также проявляется в гораздо более глубоком результате: Теорема Атьи – Зингера об индексе утверждает, что индекс некоторых дифференциальных операторов может быть прочитан из геометрии задействованных пространств.

Примечания

Рекомендации

• Банерджи, Судипто; Рой, Аниндья (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики, Тексты по статистике (1-е изд.), Chapman and Hall / CRC, ISBN  978-1420095388
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, СИАМ, ISBN  978-0-89871-454-8.