Отображающий конус (гомологическая алгебра) - Mapping cone (homological algebra)

В гомологическая алгебра, то картографический конус это конструкция на карте цепные комплексы вдохновленный аналогичная конструкция в топологии. В теории триангулированные категории это своего рода комбинированный ядро и коядро: если цепные комплексы складываются в абелева категория, чтобы мы могли поговорить о когомология, то конус отображения ж существование ациклический означает, что карта является квазиизоморфизм; если мы перейдем к производная категория комплексов, это означает, что ж там изоморфизм, напоминающий известное свойство отображений группы, модули над кольцом, или элементы произвольной абелевой категории, которые, если и ядро, и коядро обращаются в нуль, то отображение является изоморфизмом. Если мы работаем в t-категория, то фактически конус представляет собой как ядро, так и коядро отображений между объектами его ядра.

Определение

Конус можно определить в категорию коцепные комплексы по любому аддитивная категория (т. е. категорию, морфизмы которой образуют абелевы группы и в которой мы можем построить прямая сумма любых двух объектов). Позволять ${displaystyle A, B}$ быть двумя комплексами с дифференциалами ${displaystyle d_ {A}, d_ {B};}$ т.е.

{displaystyle A = точки o A ^ {n-1} {xrightarrow {d_ {A} ^ {n-1}}} A ^ {n} {xrightarrow {d_ {A} ^ {n}}} A ^ {n +1} o cdots}

и аналогично для ${displaystyle B.}$

Для карты комплексов ${displaystyle f: A o B,}$ мы определяем конус, часто обозначаемый ${displaystyle operatorname {Cone} (f)}$ или же ${displaystyle C (f),}$ быть следующим комплексом:

{displaystyle C (f) = A [1] oplus B = точки o A ^ {n} oplus B ^ {n-1} o A ^ {n + 1} oplus B ^ {n} o A ^ {n + 2 } oplus B ^ {n + 1} o cdots}

на условиях,

с дифференциалом

{displaystyle d_ {C (f)} = {egin {pmatrix} d_ {A [1]} & 0 f [1] & d_ {B} end {pmatrix}}}

(действует как будто на вектор-столбец ).

Здесь ${displaystyle A [1]}$ это комплекс с ${displaystyle A [1] ^ {n} = A ^ {n + 1}}$ и ${displaystyle d_ {A [1]} ^ {n} = - d_ {A} ^ {n + 1}}$ .Обратите внимание, что дифференциал на ${displaystyle C (f)}$ отличается от естественного дифференциала на ${displaystyle A [1] oplus B}$ , и что некоторые авторы используют другое соглашение о знаках.

Таким образом, если, например, наши комплексы принадлежат абелевым группам, дифференциал будет действовать как

{displaystyle {egin {array} {ccl} d_ {C (f)} ^ {n} (a ^ {n + 1}, b ^ {n}) & = & {egin {pmatrix} d_ {A [1] } ^ {n} & 0 f [1] ^ {n} & d_ {B} ^ {n} end {pmatrix}} {egin {pmatrix} a ^ {n + 1} b ^ {n} end {pmatrix} } & = & {egin {pmatrix} -d_ {A} ^ {n + 1} & 0 f ^ {n + 1} & d_ {B} ^ {n} end {pmatrix}} {egin {pmatrix} a ^ {n + 1} b ^ {n} end {pmatrix}} & = & {egin {pmatrix} -d_ {A} ^ {n + 1} (a ^ {n + 1}) f ^ {n +1} (a ^ {n + 1}) + d_ {B} ^ {n} (b ^ {n}) end {pmatrix}} & = & left (-d_ {A} ^ {n + 1} ( a ^ {n + 1}), f ^ {n + 1} (a ^ {n + 1}) + d_ {B} ^ {n} (b ^ {n}) ight) .end {array}}}

Характеристики

Предположим теперь, что мы работаем над абелева категория, таким образом гомология комплекса определяется. В основном конус используется для идентификации квазиизоморфизмы: если конус ациклический, то отображение является квазиизоморфизмом. Чтобы убедиться в этом, мы используем существование треугольник

{displaystyle A {xrightarrow {f}} B o C (f) o A [1]}

где карты ${displaystyle B o C (f), C (f) o A [1]}$ даются прямыми слагаемыми (см. Гомотопическая категория цепных комплексов ). Поскольку это треугольник, он дает начало длинная точная последовательность на группы гомологии:

{displaystyle dots o H_ {i-1} (C (f)) o H_ {i} (A) {xrightarrow {f ^ {*}}} H_ {i} (B) o H_ {i} (C (f )) o cdots}

и если ${displaystyle C (f)}$ является ацикличным, то по определению внешние члены равны нулю. Поскольку последовательность точна, это означает, что ${displaystyle f ^ {*}}$ индуцирует изоморфизм на всех группах гомологий и, следовательно (снова по определению) является квазиизоморфизмом.

Этот факт напоминает обычную альтернативную характеризацию изоморфизмов в абелева категория как карты, у которых и ядро, и коядро исчезают. Такое появление конуса как совмещенного ядра и коядра не случайно; фактически, при определенных обстоятельствах конус буквально воплощает в себе и то, и другое. Скажем, например, что мы работаем над абелевой категорией и ${displaystyle A, B}$ имеют только один ненулевой член степени 0:

{displaystyle A = dots o 0 o A_ {0} o 0 o cdots,}

{displaystyle B = dots o 0 o B_ {0} o 0 o cdots,}

и поэтому ${displaystyle fcolon A o B}$ просто ${displaystyle f_ {0} двоеточие A_ {0} o B_ {0}}$ (как карта объектов основной абелевой категории). Тогда конус просто

{displaystyle C (f) = dots o 0 o {underset {[-1]} {A_ {0}}} {xrightarrow {f_ {0}}} {underset {[0]} {B_ {0}}} o 0 o cdots.}

(В нижеследующем тексте указывается степень каждого члена.) Тогда гомология этого комплекса

{displaystyle H _ {- 1} (C (f)) = имя оператора {ker} (f_ {0}),}

{displaystyle H_ {0} (C (f)) = имя оператора {coker} (f_ {0}),}

{displaystyle H_ {i} (C (f)) = 0 {ext {for}} ieq -1,0. }

Это не случайность и фактически происходит в каждом t-категория.

Картографический цилиндр

Связанное с этим понятие - картографический цилиндр: позволять ${displaystyle fcolon A o B}$ - морфизм цепных комплексов, пусть далее ${displaystyle gcolon operatorname {Cone} (f) [- 1] o A}$ быть естественной картой. Цилиндр отображения ж по определению является конусом отображения грамм.

Топологическое вдохновение

Этот комплекс называется конусом по аналогии с конус отображения (топология) из непрерывная карта из топологические пространства ${displaystyle phi: Xightarrow Y}$ : комплекс особые цепи топологического конуса ${displaystyle cone (phi)}$ гомотопически эквивалентен конусу (в цепно-комплексном смысле) индуцированного отображения особых цепей Икс к Y. Цилиндр отображения карты комплексов аналогичным образом связан с картографический цилиндр непрерывных отображений.

Отображающий конус (гомологическая алгебра) - Mapping cone (homological algebra)

Содержание

Определение

Характеристики

Картографический цилиндр

Топологическое вдохновение

Рекомендации