Морфизм алгебраических многообразий - Morphism of algebraic varieties

В алгебраическая геометрия, а морфизм между алгебраические многообразия является функцией между многообразиями, которая задается локально полиномами. Его также называют обычная карта. Морфизм от алгебраического многообразия к аффинная линия также называется обычная функция.Регулярное отображение, обратное которому также является правильным, называется двурегулярный, и они являются изоморфизмы в категории алгебраических многообразий. Поскольку регулярные и бирегулярные условия являются очень ограничивающими, на них нет непостоянных регулярных функций. проективные многообразия - более слабое состояние рациональная карта и бирациональный карты также часто используются.

Определение

Если Икс и Y закрыты подмножества из А^п и А^м (так они аффинные разновидности ), то регулярное отображение ƒ:Икс→Y это ограничение полиномиальное отображение А^п→А^м. В явном виде он имеет вид

{ displaystyle f = (f_ {1}, dots, f_ {m})}

где ${ displaystyle f_ {i}}$ s находятся в координатное кольцо из Икс:

{ Displaystyle к [X] = к [x_ {1}, точки, x_ {n}] / I,}

куда я это идеальный определение Икс (примечание: два многочлена ж и грамм определить ту же функцию на Икс если и только если ж − грамм в я). Изображение ж(Икс) лежит в Y, а значит, удовлетворяет определяющим уравнениям Y. То есть обычная карта ${ displaystyle f: от X до Y}$ совпадает с ограничением полиномиального отображения, компоненты которого удовлетворяют определяющим уравнениям ${ displaystyle Y}$ .

В более общем плане карта ƒ:Икс→Y между двумя разновидности является регулярный в момент Икс если есть район U из Икс и окрестности V из ƒ (Икс) такое, что ƒ (U) ⊂ V и ограниченная функция ƒ:U→V регулярна как функция на некоторых аффинных картах U и V. Тогда ƒ называется обычный, если она регулярна во всех точках Икс.

Примечание: Не сразу очевидно, что эти два определения совпадают: если Икс и Y являются аффинными многообразиями, то отображение ƒ:Икс→Y является регулярным в первом смысле тогда и только тогда, когда оно так во втором смысле.^[1] Также не сразу понятно, зависит ли регулярность от выбора аффинных диаграмм (это не так.^[2]Однако такого рода проблема непротиворечивости исчезает, если принять формальное определение. Формально (абстрактное) алгебраическое многообразие определяется как особый вид локально окольцованное пространство. Когда используется это определение, морфизм многообразий - это просто морфизм локально окольцованных пространств.

Состав регулярных карт снова регулярный; таким образом, алгебраические многообразия образуют категория алгебраических многообразий где морфизмы - это регулярные отображения.

Регулярные отображения между аффинными многообразиями контравариантно взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмы алгебр между координатными кольцами: если ƒ:Икс→Y является морфизмом аффинных многообразий, то он определяет гомоморфизм алгебр

{ displaystyle f ^ { #}: от k [Y] до k [X], , g mapsto g circ f}

куда ${ Displaystyle к [X], к [Y]}$ координатные кольца Икс и Y; это хорошо определено, поскольку ${ displaystyle g circ f = g (f_ {1}, dots, f_ {m})}$ является многочленом от элементов ${ displaystyle k [X]}$ . Наоборот, если ${ Displaystyle phi: к [Y] к к [X]}$ является гомоморфизмом алгебр, то он индуцирует морфизм

{ displaystyle phi ^ {a}: от X до Y}

предоставлено: написанием ${ Displaystyle к [Y] = к [y_ {1}, точки, y_ {m}] / J,}$

{ displaystyle phi ^ {a} = ( phi ({ overline {y_ {1}}}), dots, phi ({ overline {y_ {m}}}))}

куда ${ displaystyle { overline {y}} _ {i}}$ это изображения ${ displaystyle y_ {i}}$ с.^[3] Примечание ${ Displaystyle { phi ^ {a}} ^ { #} = phi}$ а также ${ displaystyle {f ^ { #}} ^ {a} = f.}$ ^[4] Особенно, ж является изоморфизмом аффинных многообразий тогда и только тогда, когда ж^# является изоморфизмом координатных колец.

Например, если Икс замкнутое подмногообразие аффинного многообразия Y и ƒ - включение, то ƒ^# - ограничение регулярных функций на Y к Икс. Видеть #Примеры ниже для дополнительных примеров.

Обычные функции

В частном случае, когда Y равно А¹ регулярное отображение ƒ:Икс→А¹ называется обычная функция, и являются алгебраическими аналогами гладкие функции изучал дифференциальную геометрию. В кольцо регулярных функций (это координатное кольцо или, более абстрактно, кольцо глобальных секций структурного пучка) является фундаментальным объектом в аффинной алгебраической геометрии. Единственная регулярная функция на проективное разнообразие постоянна (это можно рассматривать как алгебраический аналог Теорема Лиувилля в комплексный анализ ).

Скалярная функция ƒ:Икс→А¹ регулярно в какой-то момент Икс если в некоторой открытой аффинной окрестности Икс, это рациональная функция это регулярно в Икс; т.е. есть регулярные функции грамм, час возле Икс такой, что ж = грамм/час и час не исчезает в Икс.^[5] Внимание: условие есть для некоторой пары (грамм, час) не для всех пар (грамм, час); видеть Примеры.

Если Икс это квазипроективное многообразие; т. е. открытое подмногообразие проективного многообразия, то функциональное поле k(Икс) совпадает с закрытием ${ displaystyle { overline {X}}}$ из Икс и, следовательно, рациональная функция на Икс имеет форму грамм/час для некоторых однородных элементов грамм, час одинаковой степени в однородном координатном кольце ${ Displaystyle к [{ overline {X}}]}$ из ${ displaystyle { overline {X}}}$ (ср. Проективное разнообразие # Структура разнообразия.) Тогда рациональная функция ж на Икс регулярно в какой-то момент Икс тогда и только тогда, когда есть некоторые однородные элементы грамм, час той же степени в ${ Displaystyle к [{ overline {X}}]}$ такой, что ж = грамм/час и час не исчезает в Икс. Эту характеристику иногда принимают за определение регулярной функции.^[6]

Сравнение с морфизмом схем

Если Икс = Спецификация А и Y = Спецификация B находятся аффинные схемы, то каждый гомоморфизм колец φ: B → А определяет морфизм

{ displaystyle phi ^ {a}: от X к Y, , { mathfrak {p}} mapsto phi ^ {- 1} ({ mathfrak {p}})}

взяв предварительные изображения из главные идеалы. Все морфизмы между аффинными схемами относятся к этому типу, и склейка таких морфизмов дает морфизм схем в целом.

Сейчас если Икс, Y являются аффинными разновидностями; т.е. А, B находятся целостные области которые являются конечно порожденными алгебрами над алгебраически замкнутое поле k, то, работая только с замкнутыми точками, это совпадает с определением, данным в #Определение. (Доказательство: если ƒ: Икс → Y это морфизм, то написание ${ Displaystyle phi = е ^ { #}}$ , нам нужно показать

{ displaystyle { mathfrak {m}} _ {f (x)} = phi ^ {- 1} ({ mathfrak {m}} _ {x})}

куда ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {x}, { mathfrak {m}} _ {f (x)}}$ являются максимальные идеалы соответствующие точкам Икс и ж(Икс); т.е. ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {x} = {g in k [X] mid g (x) = 0 }}$ . Это немедленно.)

Этот факт означает, что категорию аффинных многообразий можно отождествить с полной подкатегорией аффинных схем над k. Поскольку морфизмы многообразий получаются склейкой морфизмов аффинных многообразий точно так же, как морфизмы схем получаются склейкой морфизмов аффинных схем, отсюда следует, что категория многообразий является полной подкатегорией категории схем над k.

Подробнее см. [1].

Примеры

Регулярные функции на А^п - это в точности многочлены от п переменные и регулярные функции на п^п - это именно константы.
Позволять Икс быть аффинной кривой ${ Displaystyle у = х ^ {2}}$ . потом

{ displaystyle f: X to mathbf {A} ^ {1}, , (x, y) mapsto x}

это морфизм; он биективен с обратным

{ Displaystyle г (х) = (х, х ^ {2})}

. С грамм тоже морфизм, ж является изоморфизмом многообразий.

Позволять Икс быть аффинной кривой ${ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {3} + х ^ {2}}$ . потом

{ displaystyle f: mathbf {A} ^ {1} to X, , t mapsto (t ^ {2} -1, t ^ {3} -t)}

это морфизм. Он соответствует гомоморфизму колец

{ displaystyle f ^ { #}: k [X] to k [t], , g mapsto g (t ^ {2} -1, t ^ {3} -t),}

что считается инъективным (поскольку ж сюръективно).

Продолжая предыдущий пример, пусть U = А¹ - {1}. С U дополнение к гиперплоскости т = 1, U аффинно. Ограничение ${ displaystyle f: U to X}$ биективен. Но соответствующий гомоморфизм колец - это включение ${ Displaystyle к [X] = к [t ^ {2} -1, t ^ {3} -t] hookrightarrow k [t, (t-1) ^ {- 1}]}$ , который не является изоморфизмом, поэтому ограничение ж |_U не является изоморфизмом.
Позволять Икс быть аффинной кривой Икс² + у² = 1 и пусть

{ Displaystyle е (х, у) = {1-у над х}}

.

потом ж является рациональной функцией на Икс. Она регулярна в (0, 1), несмотря на выражение, поскольку как рациональная функция на Икс, ж также можно записать как

{ Displaystyle е (х, у) = {х более 1 + y}}

.

Позволять Икс = А² − (0, 0). потом Икс является алгебраическим многообразием, так как это открытое подмножество многообразия. Если ж является регулярной функцией на Икс, тогда ж регулярно на ${ Displaystyle D _ { mathbf {A} ^ {2}} (x) = mathbf {A} ^ {2} - {x = 0 }}$ и так в ${ displaystyle к [D _ { mathbf {A} ^ {2}} (x)] = k [ mathbf {A} ^ {2}] [x ^ {- 1}] = k [x, x ^ { -1}, y]}$ . Точно так же он есть в ${ Displaystyle к [х, у, у ^ {- 1}]}$ . Таким образом, мы можем написать:
${ displaystyle f = {g over x ^ {n}} = {h over y ^ {m}}}$

куда грамм, час являются многочленами от k[Икс, у]. Но это подразумевает грамм делится на Икс^п и так ж на самом деле является многочленом. Следовательно, кольцо регулярных функций на Икс просто k[Икс, у]. (Это также показывает, что Икс не может быть аффинным, так как если бы это было, Икс определяется своим координатным кольцом и, следовательно, Икс = А².)

Предполагать ${ Displaystyle mathbf {P} ^ {1} = mathbf {A} ^ {1} чашка { infty }}$ путем определения точек (Икс : 1) с точками Икс на А¹ и ∞ = (1: 0). Существует автоморфизм σ группы п¹ задается как σ (x: y) = (y: x); в частности, σ меняет местами 0 и ∞. Если ж является рациональной функцией на п¹, тогда

{ Displaystyle sigma ^ { #} (е) = е (1 / z)}

и ж регулярна в ∞ тогда и только тогда, когда ж(1/z) регулярно в нуле.

Принимая функциональное поле k(V) из несводимый алгебраическая кривая V, функции F в функциональном поле могут быть реализованы как морфизмы из V к проективная линия над k.^{[требуется разъяснение ]} (ср. #Характеристики ) Изображение будет либо одной точкой, либо всей проективной линией (это следствие полнота проективных многообразий ). То есть, если только F на самом деле постоянный, мы должны отнести к F значение ∞ в некоторых точках V.
Для любых алгебраических многообразий Икс, Y, проекция
${ displaystyle p: X times Y to X, , (x, y) mapsto x}$

это морфизм разновидностей. Если Икс и Y аффинны, то соответствующий гомоморфизм колец есть

{ Displaystyle p ^ { #}: k [X] to k [X times Y] = k [X] otimes _ {k} k [Y], , f mapsto f otimes 1}

куда

{ Displaystyle (е otimes 1) (х, у) = е (п (х, у)) = е (х)}

.

Характеристики

Морфизм между разновидностями непрерывный относительно топологий Зарисского на источнике и цели.

Образ морфизма многообразий не обязательно должен быть открытым или закрытым (например, образ ${ Displaystyle mathbf {A} ^ {2} to mathbf {A} ^ {2}, , (x, y) mapsto (x, xy)}$ не является ни открытым, ни закрытым). Однако все же можно сказать: если ж является морфизмом между разновидностями, то образ ж содержит открытое плотное подмножество своего замыкания. (ср. конструктивный набор.)

Морфизм ƒ:Икс→Y алгебраических многообразий называется доминирующий если у него плотное изображение. Для такого ж, если V непустое открытое аффинное подмножество Y, то существует непустое открытое аффинное подмножество U из Икс такое, что ƒ (U) ⊂ V а потом ${ displaystyle f ^ { #}: k [V] to k [U]}$ инъективно. Таким образом, доминирующее отображение ƒ индуцирует инъекцию на уровне функциональных полей:

{ Displaystyle к (Y) = varinjlim k [V] hookrightarrow k (X), , g mapsto g circ f}

где предел пробегает все непустые открытые аффинные подмножества Y. (Говоря более абстрактно, это индуцированное отображение из поле вычетов из общая точка из Y к тому из Икс.) Наоборот, каждое включение полей ${ Displaystyle к (Y) hookrightarrow k (X)}$ индуцируется доминантным рациональная карта из Икс к Y.^[7] Следовательно, указанная конструкция определяет контравариантно-эквивалентность категории алгебраических многообразий над полем k и доминирующие рациональные отображения между ними и категорией конечно порожденного расширения поля k.^[8]

Если Икс является гладкой полной кривой (например, п¹) и если ж рациональная карта из Икс в проективное пространство п^м, тогда ж это обычная карта Икс → п^м.^[9] В частности, когда Икс является гладкой полной кривой, любая рациональная функция на Икс можно рассматривать как морфизм Икс → п¹ и, наоборот, такой морфизм как рациональная функция на Икс.

На нормальный сорт (в частности, гладкий сорт ) рациональная функция регулярна тогда и только тогда, когда у нее нет полюсов коразмерности один.^[10] Это алгебраический аналог Теорема Хартогса о продолжении. Есть и относительная версия этого факта; видеть [2].

Морфизм между алгебраическими многообразиями, который является гомеоморфизмом между лежащими в основе топологическими пространствами, не обязательно должен быть изоморфизмом (контрпримером является Морфизм Фробениуса ${ Displaystyle т mapsto т ^ {р}}$ .) С другой стороны, если ж биективно бирационально, а целевое пространство ж это нормальный сорт, тогда ж бирегулярен. (ср. Основная теорема Зарисского.)

Обычная карта между комплексные алгебраические многообразия это голоморфное отображение. (На самом деле есть небольшое техническое различие: регулярная карта - это мероморфная карта, особые точки которой съемный, но на практике это различие обычно игнорируется.) В частности, регулярное отображение в комплексные числа - это просто обычное голоморфная функция (комплексно-аналитическая функция).

Морфизмы в проективное пространство

Позволять

{ displaystyle f: X to mathbf {P} ^ {m}}

быть морфизмом из проективное разнообразие в проективное пространство. Позволять Икс быть точкой Икс. Тогда некоторые я-я однородная координата ж(Икс) отличен от нуля; сказать, я = 0 для простоты. Тогда по непрерывности существует открытая аффинная окрестность U из Икс такой, что

{ displaystyle f: U to mathbf {P} ^ {m} - {y_ {0} = 0 }}

это морфизм, где у_я - однородные координаты. Обратите внимание, что целевым пространством является аффинное пространство. А^м через идентификацию ${ displaystyle (a_ {0}: dots: a_ {m}) = (1: a_ {1} / a_ {0}: dots: a_ {m} / a_ {0}) sim (a_ {1 } / а_ {0}, точки, а_ {м} / а_ {0})}$ . Таким образом, по определению ограничение ж |_U дан кем-то

{ displaystyle f | _ {U} (x) = (g_ {1} (x), dots, g_ {m} (x))}

куда грамм_яэто обычные функции на U. С Икс проективно, каждый грамм_я является долей однородных элементов одной степени в однородном координатном кольце k[Икс] из Икс. Мы можем расположить дроби так, чтобы все они имели одинаковый однородный знаменатель, например ж₀. Тогда мы можем написать грамм_я = ж_я/ж₀ для некоторых однородных элементов ж_яв k[Икс]. Следовательно, возвращаясь к однородным координатам,

{ displaystyle f (x) = (f_ {0} (x): f_ {1} (x): dots: f_ {m} (x))}

для всех Икс в U и по преемственности для всех Икс в Икс пока ж_яне исчезают в Икс одновременно. Если они исчезнут одновременно в какой-то момент Икс из Икс, то, используя описанную выше процедуру, можно выбрать другой набор ж_яэто не исчезает в Икс одновременно (см. примечание в конце раздела.)

Фактически приведенное выше описание действительно для любого квазипроективное многообразие Икс, открытое подмногообразие проективного многообразия ${ displaystyle { overline {X}}}$ ; разница в том, что ж_янаходятся в однородном координатном кольце ${ displaystyle { overline {X}}}$ .

Примечание: Вышесказанное не говорит, что морфизм проективного многообразия в проективное пространство задается одним набором многочленов (в отличие от аффинного случая). Например, пусть Икс быть коническим ${ displaystyle y ^ {2} = xz}$ в п². Затем две карты ${ Displaystyle (х: у: z) mapsto (х: у)}$ и ${ Displaystyle (х: у: г) mapsto (у: г)}$ согласиться на открытое подмножество ${ Displaystyle {(Икс: Y: Z) в Икс середина х neq 0, z neq 0 }}$ из Икс (поскольку ${ Displaystyle (х: у) = (ху: у ^ {2}) = (ху: хz) = (у: z)}$ ) и тем самым определяет морфизм ${ displaystyle f: X to mathbf {P} ^ {1}}$ .

Волокна морфизма

Важный факт:^[11]

Теорема — Позволять ж: Икс → Y - доминирующий (т.е. имеющий плотный образ) морфизм алгебраических многообразий, и пусть р = тусклый Икс - тусклый Y. потом

Для каждого неприводимого замкнутого подмножества W из Y и каждый неприводимый компонент Z из ${ displaystyle f ^ {- 1} (W)}$ доминирующий W,
${ displaystyle dim Z geq dim W + r.}$
Существует непустое открытое подмножество U в Y такой, что (а) ${ Displaystyle U подмножество f (X)}$ и (б) для любого неприводимого замкнутого подмножества W из Y пересекающийся U и каждый неприводимый компонент Z из ${ displaystyle f ^ {- 1} (W)}$ пересекающийся ${ displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ ,
${ Displaystyle тусклый Z = тусклый W + R.}$

Следствие — Позволять ж: Икс → Y - морфизм алгебраических многообразий. Для каждого Икс в Икс, определять

{ displaystyle e (x) = max { dim Z mid Z { text {несократимый компонент}} f ^ {- 1} (f (x)) { text {contains}} x } .}

потом е является полунепрерывный сверху; т.е. для каждого целого числа п, набор

{ Displaystyle X_ {п} = {х в X середине е (х) geq п }}

закрыто.

В красной книге Мамфорда теорема доказана с помощью Лемма Нётер о нормализации. Для алгебраического подхода, когда общая свобода играет главную роль и понятие "универсальное контактное кольцо "является ключом к доказательству, см. Эйзенбуд, гл. 14 книги" Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии ". Фактически, там доказательство показывает, что если ж является плоский, то равенство размерностей в п. 2. теоремы выполняется в общем (не только в общем).

Степень конечного морфизма

Позволять ж: Икс → Y быть конечный сюръективный морфизм между алгебраическими многообразиями над полем k. Тогда по определению степень ж - степень конечного расширения функционального поля k(Икс) над ж^*k(Y). К общая свобода, есть непустое открытое подмножество U в Y такое, что ограничение структурного пучка О_Икс к ж⁻¹(U) бесплатно как О_Y|_U-модуль. Степень ж тогда также является рангом этого свободного модуля.

Если ж является эталь и если Икс, Y находятся полный, то для любого связного пучка F на Y, записывая χ для эйлеровой характеристики,

{ Displaystyle чи (е ^ {*} F) = град (е) чи (F).}

^[12]

(The Формула Римана – Гурвица для разветвленных покрытий здесь нельзя не указывать "эталь".)

В общем, если ж является конечным сюръективным морфизмом, если Икс, Y находятся полный и F связный пучок на Y, затем из Спектральная последовательность Лере ${ displaystyle operatorname {H} ^ {p} (Y, R ^ {q} f _ {*} f ^ {*} F) Rightarrow operatorname {H} ^ {p + q} (X, f ^ { *} F)}$ , получается:

{ displaystyle chi (f ^ {*} F) = sum _ {q = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {q} chi (R ^ {q} f _ {*} f ^ { *} F).}

В частности, если F это тензорная степень ${ displaystyle L ^ { otimes n}}$ линейного пучка, то ${ displaystyle R ^ {q} f _ {*} (f ^ {*} F) = R ^ {q} f _ {*} { mathcal {O}} _ {X} otimes L ^ { otimes n} }$ и поскольку поддержка ${ Displaystyle R ^ {q} е _ {*} { mathcal {O}} _ {X}}$ имеет положительную коразмерность, если q положительно, сравнивая ведущие термины, имеем:

{ displaystyle operatorname {deg} (f ^ {*} L) = operatorname {deg} (f) operatorname {deg} (L)}

(поскольку общий ранг из ${ displaystyle f _ {*} { mathcal {O}} _ {X}}$ степень ж.)

Если ж Эталь и k алгебраически замкнуто, то каждый геометрический слой ж⁻¹(у) состоит в точности из deg (ж) точки.

Смотрите также

Алгебраическая функция
Гладкий морфизм
Этальные морфизмы - Алгебраический аналог локальные диффеоморфизмы.
Разрешение особенностей
морфизм сокращения

Примечания

^ Вот аргумент, показывающий, что определения совпадают.Ясно, что можно считать Y = А¹. Тогда вопрос здесь в том, можно ли исправить «регулярность»; этот ответ положительный, и это можно увидеть из построения структурного пучка аффинного многообразия, как описано в аффинное разнообразие # Структурный пучок.
^ Однако непонятно, как это доказать. Если Икс, Y квазипроективны, то можно дать доказательство. Неквазипроективный случай сильно зависит от определения абстрактного многообразия.
^ Образ ${ Displaystyle phi ^ {а}}$ лежит в Y так как если грамм является многочленом от J, то априорное мышление ${ Displaystyle phi ^ {а}}$ отображение в аффинное пространство, ${ displaystyle g circ phi ^ {a} = g ( phi ({ overline {y_ {1}}}), dots, phi ({ overline {y_ {m}}})) = фи ({ overline {g}}) = 0}$ поскольку грамм в J.
^ Доказательство: ${ displaystyle { phi ^ {a}} ^ { #} (g) = g ( phi ({ overline {y_ {1}}}), dots, phi ({ overline {y_ {m }}})) = phi (g)}$ поскольку φ - гомоморфизм алгебр. Также, ${ displaystyle f ^ { # a} = ({ overline {y_ {1}}} circ f, dots, { overline {y_ {m}}} circ f) = f.}$
^ Доказательство: Пусть А - координатное кольцо такой аффинной окрестности Икс. Если ж = грамм/час с некоторыми грамм в А и некоторые ненулевые час в А, тогда ж в А[час⁻¹] = k[D(час)]; то есть, ж является регулярной функцией на D(час).
^ Hartshorne, Гл. I, § 3.
^ Вакиль, Основы алгебраической геометрии, Предложение 6.5.7.
^ Hartshorne, Гл. I, теорема 4.4.
^ Hartshorne, Гл. I, предложение 6.8.
^ Доказательство: достаточно рассмотреть случай, когда многообразие аффинно, а затем использовать тот факт, что нётер интегрально замкнутая область является пересечением всех локализаций простых идеалов на высоте один.
^ Мамфорд, Гл. I, § 8. Теоремы 2, 3.
^ Фултон, Пример 18.3.9.