Производное тензорное произведение - Derived tensor product

В алгебре, учитывая дифференциальная градуированная алгебра А через коммутативное кольцо р, то производное тензорное произведение функтор

${ displaystyle - otimes _ {A} ^ { textbf {L}} -: D ({ mathsf {M}} _ {A}) times D ({} _ {A} { mathsf {M} }) to D ({} _ {R} { mathsf {M}})}$

куда ${ displaystyle { mathsf {M}} _ {A}}$ и ${ displaystyle {} _ {A} { mathsf {M}}}$ являются категории права А-модули и влево А-модули и D относится к гомотопической категории (т. е. производная категория ).^[1] По определению, это левый производный функтор функтор тензорного произведения ${ displaystyle - otimes _ {A} -: { mathsf {M}} _ {A} times {} _ {A} { mathsf {M}} to {} _ {R} { mathsf { M}}}$.

Производное тензорное произведение в теории производных колец

Если р обычное кольцо и M, N правый и левый модули над ним, то, рассматривая их как дискретные спектры, можно сформировать их произведение разбиения:

${ displaystyle M otimes _ {R} ^ {L} N}$

чей я-я гомотопия - это я-й Тор:

${ displaystyle pi _ {i} (M otimes _ {R} ^ {L} N) = operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, N)}$.

Это называется производное тензорное произведение из M и N. Особенно, ${ displaystyle pi _ {0} (M otimes _ {R} ^ {L} N)}$ это обычный тензорное произведение модулей M и N над р.

Геометрически полученное тензорное произведение соответствует продукт пересечения (из производные схемы ).

Пример: Позволять р - симплициальное коммутативное кольцо, Q(р) → р быть софибрантной заменой, и ${ Displaystyle Omega _ {Q (R)} ^ {1}}$ - модуль кэлеровых дифференциалов. потом

${ Displaystyle mathbb {L} _ {R} = Omega _ {Q (R)} ^ {1} otimes _ {Q (R)} ^ {L} R}$

является р-модулем, называемым котангенсным комплексом р. Функториален в р: каждый р → S дает начало ${ Displaystyle mathbb {L} _ {R} to mathbb {L} _ {S}}$. Затем для каждого р → S, есть последовательность кофайбер S-модули

${ displaystyle mathbb {L} _ {S / R} to mathbb {L} _ {R} otimes _ {R} ^ {L} S to mathbb {L} _ {S}.}$

Кофайбер ${ displaystyle mathbb {L} _ {S / R}}$ называется комплексом относительного котангенса.

Смотрите также

• производная схема (производное тензорное произведение дает производную версию теоретико-схемное пересечение.)

Примечания

Рекомендации

• Лурье, Дж., Спектральная алгебраическая геометрия (в разработке)
• Лекция 4 части II книги Мурдейк-Тоен, Симплициальные методы для опер и алгебраической геометрии
• Гл. 2.2. из HAG II Тоен-Веццози

Этот алгебраическая геометрия статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.