Производная схема - Derived scheme

В алгебраическая геометрия, а производная схема пара ${ displaystyle (X, { mathcal {O}})}$ состоящий из топологическое пространство Икс и пучок ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ из коммутативные кольцевые спектры ^[1] на Икс такое, что (1) пара ${ displaystyle (X, pi _ {0} { mathcal {O}})}$ это схема и (2) ${ displaystyle pi _ {k} { mathcal {O}}}$ это квазикогерентный ${ displaystyle pi _ {0} { mathcal {O}}}$-модуль. Это понятие дает гомотопия -теоретическое обобщение схемы.

А производный стек является стековым обобщением производной схемы.

Дифференциально-градуированная схема

В поле нулевой характеристики теория эквивалентна теории дифференциальной градуированной схемы. По определению дифференциально-градуированная схема получается склейкой аффинных дифференциальных градуированных схем относительно этальная топология.^[2] Он был представлен Максим Концевич^[3] «как первый подход к производной алгебраической геометрии».^[4] и был развит Михаилом Капрановым и Ионутом Чокан-Фонтанином.

Соединение с дифференциальными градуированными кольцами и примеры

Как только аффинный алгебраическая геометрия эквивалентна (в категоричный смысл ) к теории коммутативные кольца (обычно называют коммутативная алгебра ), аффинный производная алгебраическая геометрия над нулевой характеристикой эквивалентно теории коммутативные дифференциальные градуированные кольца. Один из основных примеров производных схем происходит от производного пересечения подсхем схемы, что дает Кошульский комплекс. Например, пусть ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {k} in mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}] = R}$, то можно получить производную схему

${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ { bullet}) = mathbf {RSpec} left (R / (f_ {1}) otimes _ {R} ^ { mathbf {L}} cdots otimes _ {R} ^ { mathbf {L}} R / (f_ {k}) right)}$

где

${ displaystyle { textbf {RSpec}}: ({ textbf {dga}} _ { mathbb {C}}) ^ {op} to { textbf {DerSch}}}$

это этальный спектр.^{[нужна цитата ]} Поскольку мы можем построить разрешение

${ displaystyle { begin {matrix} 0 to & R & { xrightarrow { cdot f_ {i}}} & R & to 0 & downarrow && downarrow & 0 to & 0 & to & R / (f_ {i}) & to 0 end {matrix}}}$

то производное кольцо ${ Displaystyle R / (е_ {1}) otimes _ {R} ^ { mathbf {L}} cdots otimes _ {R} ^ { mathbf {L}} R / (f_ {k})}$ это кошуловый комплекс ${ Displaystyle К_ {R} (е_ {1}, ldots, е_ {к})}$. Усечение этой производной схемы до амплитуды ${ displaystyle [-1,0]}$ предоставляет классическую модель, мотивирующую производную алгебраическую геометрию. Обратите внимание, что если у нас есть проективная схема

${ displaystyle operatorname {Proj} left ({ frac { mathbb {Z} [x_ {0}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, ldots, f_ {k}) }}правильно)}$

где ${ displaystyle deg (f_ {i}) = d_ {i}}$ мы можем построить производную схему ${ displaystyle ( mathbb {P} ^ {n}, { mathcal {E}} ^ { bullet}, (f_ {1}, ldots, f_ {k}))}$ где

${ displaystyle { mathcal {E}} ^ { bullet} = [{ mathcal {O}} (- d_ {1}) oplus cdots oplus { mathcal {O}} (- d_ {k} ) { xrightarrow {( cdot f_ {1}, ldots, cdot f_ {k})}} { mathcal {O}}]}$

с амплитудой ${ displaystyle [-1,0]}$

Котангенсный комплекс

строительство

Позволять ${ displaystyle (A _ { bullet}, d)}$ - фиксированная дифференциальная градуированная алгебра, определенная над полем характеристики ${ displaystyle 0}$. Потом ${ displaystyle A _ { bullet}}$-дифференциальная градуированная алгебра ${ displaystyle (R _ { bullet}, d_ {R})}$ называется полусвободный если выполняются следующие условия:

1. Основная градуированная алгебра ${ displaystyle R _ { bullet}}$ является алгеброй полиномов над ${ displaystyle A _ { bullet}}$, что означает, что он изоморфен ${ displaystyle A _ { bullet} [ {x_ {i} } _ {я in I}]}$
2. Существует фильтрация ${ displaystyle varnothing = I_ {0} substeq I_ {1} substeq cdots}$ на индексном множестве ${ displaystyle I}$ где ${ displaystyle cup _ {n in mathbb {N}} I_ {n} = I}$ и ${ displaystyle s (x_ {i}) in A _ { bullet} [ {x_ {j} } _ {j in I_ {n}}]}$ для любого ${ displaystyle x_ {i} in I_ {n + 1}}$.

Оказывается, каждый ${ displaystyle A _ { bullet}}$ дифференциальная градуированная алгебра допускает сюръективный квазиизоморфизм от полусвободной ${ displaystyle (A _ { bullet}, d)}$ дифференциальная градуированная алгебра, называемая полусвободной резольвентой. Они уникальны с точностью до гомотопической эквивалентности в подходящей модельной категории. Относительная) котангенс комплекс из ${ displaystyle (A _ { bullet}, d)}$-дифференциальная градуированная алгебра ${ displaystyle (B _ { bullet}, d_ {B})}$ можно построить с использованием полусвободного разрешения ${ displaystyle (R _ { bullet}, d_ {R}) to (B _ { bullet}, d_ {B})}$: определяется как

${ displaystyle mathbb {L} _ {B _ { bullet} / A _ { bullet}}: = Omega _ {R _ { bullet} / A _ { bullet}} otimes _ {R _ { bullet}} B _ { bullet}}$

Многие примеры можно построить, взяв алгебру ${ displaystyle B}$ представляющий разнообразие над полем характеристики 0, находя представление ${ displaystyle R}$ как фактор алгебры многочленов и взяв комплекс Кошуля, связанный с этим представлением. Комплекс Кошуля действует как полусвободная резольвента дифференциальной градуированной алгебры ${ displaystyle (B _ { bullet}, 0)}$ где ${ displaystyle B _ { bullet}}$ - градуированная алгебра с нетривиальным градуированным отрезком степени 0.

Примеры

Котангенс гиперповерхности ${ Displaystyle X = mathbb {V} (е) подмножество mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {n}}$ можно легко вычислить: поскольку у нас есть dga ${ Displaystyle K_ {R} (е)}$ представляющий производное улучшение из ${ displaystyle X}$, мы можем вычислить котангенсный комплекс как

${ displaystyle 0 to R cdot ds { xrightarrow { Phi}} bigoplus _ {i} R cdot dx_ {i} to 0}$

где ${ Displaystyle Phi (gds) = г cdot df}$ и ${ displaystyle d}$ - обычный универсальный вывод. Если взять полное пересечение, то комплекс Кошуля

${ displaystyle R ^ { bullet} = { frac { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {1})}} otimes _ { mathbb { C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} ^ { mathbf {L}} cdots otimes _ { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}] } ^ { mathbf {L}} { frac { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {k})}}}$

квазиизоморфен комплексу

${ displaystyle { frac { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, ldots, f_ {k})}} [+ 0].}$

Отсюда следует, что мы можем построить кокасательный комплекс производного кольца ${ Displaystyle R ^ { bullet}}$ как тензорное произведение котангенсного комплекса выше для каждого ${ displaystyle f_ {i}}$.

Замечания

Обратите внимание, что котангенсный комплекс в контексте производной геометрии отличается от котангенсного комплекса классических схем. А именно, если бы в гиперповерхности существовала особенность, определяемая ${ displaystyle f}$ тогда котангенсный комплекс имел бы бесконечную амплитуду. Эти наблюдения мотивируют скрытая гладкость философия производной геометрии, поскольку сейчас мы работаем с комплексом конечной длины.

Касательные комплексы

Полиномиальные функции

Для полиномиальной функции ${ displaystyle f: mathbb {A} ^ {n} to mathbb {A} ^ {m},}$ затем рассмотрим (гомотопическую) диаграмму отката

${ displaystyle { begin {matrix} Z & to & mathbb {A} ^ {n} downarrow && downarrow f {pt } & { xrightarrow {0}} & mathbb {A } ^ {m} end {matrix}}}$

где нижняя стрелка - включение точки в начале координат. Тогда производная схема ${ displaystyle Z}$ имеет касательный комплекс в ${ displaystyle x in Z}$ дается морфизмом

${ displaystyle mathbf {T} _ {x} = T_ {x} mathbb {A} ^ {n} { xrightarrow {df_ {x}}} T_ {0} mathbb {A} ^ {m}}$

где комплекс имеет амплитуду ${ displaystyle [-1,0]}$. Обратите внимание, что касательное пространство можно восстановить с помощью ${ displaystyle H ^ {0}}$ и ${ displaystyle H ^ {- 1}}$ измеряет, как далеко ${ displaystyle x in Z}$ от того, чтобы быть гладкой точкой.

Коэффициенты стека

Учитывая стек ${ Displaystyle [X / G]}$ есть хорошее описание касательного комплекса:

${ displaystyle mathbf {T} _ {x} = { mathfrak {g}} _ {x} to T_ {x} X}$

Если морфизм не инъективен, ${ displaystyle H ^ {- 1}}$ снова измеряет, насколько сингулярно пространство. Кроме того, эйлерова характеристика этого комплекса дает правильную (виртуальную) размерность факторного стека, в частности, если мы посмотрим на стек модулей главного ${ displaystyle G}$расслоения, то касательный комплекс просто ${ Displaystyle { mathfrak {g}} [+ 1]}$.

Производные схемы в сложной теории Морса

Полученные схемы можно использовать для анализа топологических свойств аффинных многообразий. Например, рассмотрим гладкое аффинное многообразие ${ Displaystyle M подмножество mathbb {A} ^ {n}}$. Если взять обычную функцию ${ displaystyle f: M to mathbb {C}}$ и рассмотрим раздел ${ displaystyle Omega _ {M}}$

${ displaystyle { begin {cases} Gamma _ {df}: M to Omega _ {M} x mapsto (x, df (x)) end {cases}}}$

Затем мы можем взять полученную диаграмму отката

${ displaystyle { begin {matrix} X & to & M downarrow && downarrow 0 M & { xrightarrow { Gamma _ {df}}} & Omega _ {M} end {matrix}}}$

где ${ displaystyle 0}$ нулевое сечение, построение производный критический локус регулярной функции ${ displaystyle f}$.

пример

Рассмотрим аффинное многообразие

${ Displaystyle M = OperatorName {Spec} ( mathbb {C} [x, y])}$

и регулярная функция, заданная ${ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {3}}$. Потом,

${ displaystyle Gamma _ {df} (a, b) = (a, b, 2a, 3b ^ {2})}$

где мы рассматриваем две последние координаты как ${ displaystyle dx, dy}$. Производное критическое геометрическое место тогда является производной схемой

${ displaystyle { textbf {RSpec}} left ({ frac { mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(dx, dy)}} otimes _ { mathbb {C} [ x, y, dx, dy]} ^ { mathbf {L}} { frac { mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(2x-dx, 3y ^ {2} -dy) }}правильно)}$

Обратите внимание, что поскольку левый член в производном пересечении является полным пересечением, мы можем вычислить комплекс, представляющий производное кольцо как

${ displaystyle K_ {dx, dy} ^ { bullet} ( mathbb {C} [x, y, dx, dy]) otimes _ { mathbb {C} [x, y, dx, dy]} { frac { mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(2-dx, 3y ^ {2} -dy)}}}$

где ${ displaystyle K_ {dx, dy} ^ { bullet} ( mathbb {C} [x, y, dx, dy])}$ представляет собой кошульный комплекс.

Производный критический локус

Рассмотрим гладкую функцию ${ displaystyle f: M to mathbb {C}}$ где ${ displaystyle M}$ гладко. Производное усиление ${ displaystyle { text {Crit}} (е)}$, то производный критический локус, задается дифференциальной градуированной схемой ${ displaystyle (M, { mathcal {A}} ^ { bullet}, Q)}$ где нижележащее градуированное кольцо - поливекторные поля

${ Displaystyle { mathcal {A}} ^ {- я} = клин ^ {я} T_ {M}}$

и дифференциал ${ displaystyle Q}$ определяется сжатием на ${ displaystyle df}$.

пример

Например, если

${ displaystyle { begin {cases} f: mathbb {C} ^ {2} to mathbb {C} f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {3} end { case}}}$

у нас есть комплекс

${ Displaystyle R cdot partial x wedge partial y { xrightarrow {2xdx + 3y ^ {2} dy}} R cdot partial x oplus R cdot partial y { xrightarrow {2xdx + 3y ^ {2} dy}} R}$

представляет собой производное усиление ${ displaystyle { text {Crit}} (е)}$.

Заметки

использованная литература

• Достижение производной алгебраической геометрии - Mathoverflow
• М. Анель, Геометрия неоднозначности
• К. Беренд, О виртуальном фундаментальном классе
• П. Гёрсс, Топологические модульные формы [по Хопкинсу, Миллеру и Лурье]
• Б. Тоен, Введение в производную алгебраическую геометрию
• М. Манетти, Котангенс в характеристике 0
• Г. Веццози, Производный критический локус I - основы