Закрытая моноидальная категория - Википедия - Closed monoidal category

В математика, особенно в теория категорий, а закрытая моноидальная категория (или моноидальная замкнутая категория) это категория это одновременно моноидальная категория и закрытая категория таким образом, чтобы конструкции были совместимы.

Классический пример - категория наборов, Набор, где моноидальное произведение множеств ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ это обычный декартово произведение ${ displaystyle A times B}$ , а внутренний Hom ${ displaystyle B ^ {A}}$ это набор функции из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ . Не-декартов пример - это категория векторных пространств, K-Вект, через поле ${ displaystyle K}$ . Здесь моноидальное произведение - это обычный тензорное произведение из векторные пространства, а внутреннее Hom - векторное пространство линейные карты из одного векторного пространства в другое.

В внутренний язык замкнутых симметричных моноидальных категорий есть линейная логика и система типов это система линейного типа. Многие примеры замкнутых моноидальных категорий: симметричный. Однако это не всегда так, поскольку несимметричные моноидальные категории могут встречаться в теоретико-категорийных формулировках лингвистика; грубо говоря, это потому, что порядок слов в естественном языке имеет значение.

Определение

А закрытая моноидальная категория это моноидальная категория ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ так что для каждого объекта ${ displaystyle B}$ то функтор задано правым тензором с ${ displaystyle B}$

{ displaystyle A mapsto A otimes B}

имеет правый смежный, написано

{ Displaystyle A mapsto (B Rightarrow A).}

Это означает, что существует биекция, называемая 'карри ', между Hom-множества

{ displaystyle { text {Hom}} _ { mathcal {C}} (A otimes B, C) cong { text {Hom}} _ { mathcal {C}} (A, B Rightarrow C )}

это естественно в обоих А и C. В других, но общих обозначениях можно было бы сказать, что функтор

{ displaystyle - otimes B: { mathcal {C}} to { mathcal {C}}}

имеет право сопряженный

{ displaystyle [B, -]: { mathcal {C}} to { mathcal {C}}}

Эквивалентно замкнутая моноидальная категория ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ категория оборудована, на каждые два объекта А и B, с

объект ${ Displaystyle A Rightarrow B}$ ,
морфизм ${ displaystyle mathrm {eval} _ {A, B} :( A Rightarrow B) otimes A to B}$ ,

удовлетворяющее следующему универсальному свойству: для любого морфизма

{ displaystyle f: X время от A до B}

существует уникальный морфизм

{ displaystyle h: X to A Rightarrow B}

такой, что

{ displaystyle f = mathrm {eval} _ {A, B} circ (h otimes mathrm {id} _ {A}).}

Можно показать, что эта конструкция определяет функтор ${ displaystyle Rightarrow: { mathcal {C}} ^ {op} times { mathcal {C}} to { mathcal {C}}}$ . Этот функтор называется внутренний функтор Hom, а объект ${ Displaystyle A Rightarrow B}$ называется внутренний Hom из ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ . Многие другие обозначения обычно используются для внутреннего Hom. Когда тензорное произведение на ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ - декартово произведение, обычное обозначение ${ displaystyle B ^ {A}}$ и этот объект называется экспоненциальный объект.

Двухзамкнутые и симметричные категории

Строго говоря, мы определили право закрыто моноидальная категория, поскольку мы требовали, чтобы верно тензор с любым объектом ${ displaystyle A}$ имеет правый сопряженный. В оставлен закрытым моноидальной категории, мы вместо этого требуем, чтобы функтор левого тензоринга с любым объектом ${ displaystyle A}$

{ displaystyle B mapsto A otimes B}

иметь право сопрягать

{ Displaystyle B mapsto (B Leftarrow A)}

А двустворчатый моноидальная категория - это моноидальная категория, замкнутая как слева, так и справа.

А симметричная моноидальная категория остается закрытым тогда и только тогда, когда оно закрывается справа. Таким образом, мы можем смело говорить о «симметричной моноидальной замкнутой категории», не уточняя, является ли она замкнутой вправо или влево. Фактически, то же самое верно и для плетеные моноидальные категории: поскольку плетение делает ${ displaystyle A otimes B}$ естественно изоморфен ${ displaystyle B otimes A}$ , различие между натяжением слева и натяжением справа становится несущественным, поэтому каждая правая закрытая плетеная моноидальная категория становится закрытой слева каноническим способом, и наоборот.

Мы описали замкнутые моноидальные категории как моноидальные категории с дополнительным свойством. Эквивалентно замкнутую моноидальную категорию можно определить как закрытая категория с дополнительным имуществом. А именно, мы можем потребовать существования тензорное произведение то есть левый смежный к внутренний функтор Hom.В этом подходе замкнутые моноидальные категории также называют моноидальные замкнутые категории.

Примеры

Каждый декартова закрытая категория является симметричной моноидальной замкнутой категорией, когда моноидальная структура является декартовой структурой произведения. Внутренний функтор Hom задается экспоненциальный объект ${ displaystyle B ^ {A}}$ $B ^ A$ .
- В частности, категория наборов, Набор, является симметричной замкнутой моноидальной категорией. Здесь внутренний Hom ${ Displaystyle A Rightarrow B}$ это просто набор функций из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ .
В категория модулей, р-Мод через коммутативное кольцо р не декартова симметричная моноидальная замкнутая категория. Моноидальное произведение задается формулой тензорное произведение модулей а внутренний Hom ${ Displaystyle M Rightarrow N}$ ${ Displaystyle M Rightarrow N}$ дается пространством р-линейные карты ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {R} (M, N)}$ $operatorname {Hom} _R (M, N)$ с его естественным р-модульная структура.
- В частности, категория векторных пространств над полем ${ displaystyle K}$ является симметричной замкнутой моноидальной категорией.
- Абелевы группы можно рассматривать как Z-модули, поэтому категория абелевых групп также является симметричной замкнутой моноидальной категорией.
А компактная закрытая категория является симметричной моноидальной замкнутой категорией, в которой внутренний функтор Hom ${ Displaystyle A Rightarrow B}$ дан кем-то ${ displaystyle A ^ {*} otimes B}$ . Канонический пример - категория конечномерных векторных пространств, FdVect.

Контрпримеры

В категория колец является симметричной моноидальной категорией относительно тензорное произведение колец, с ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ служащий единичным объектом. Эта категория нет закрыто. Если бы это было так, между любой парой колец был бы ровно один гомоморфизм: ${ displaystyle operatorname {Hom} (R, S) cong operatorname {Hom} ( mathbb {Z} otimes R, S) cong operatorname {Hom} ( mathbb {Z}, R Rightarrow S ) cong { bullet }}$ . То же верно и для категории р-алгебры через коммутативное кольцо р.

Смотрите также

Сопряжение Исбелла