В математика, то тензор-гом присоединение это то тензорное произведение
и hom-функтор
для мужчин сопряженная пара:
![имя оператора {Hom} (Yotimes X, Z) cong имя оператора {Hom} (Y, имя оператора {Hom} (X, Z)).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12081802f137e17aa9de103a99a7e214b28bfd0)
Ниже это уточняется. Порядок терминов во фразе «тензор-гом-присоединение» отражает их взаимосвязь: тензор - левый сопряженный, а гом - правый.
Общее утверждение
Сказать р и S являются (возможно, некоммутативными) кольца, и считайте правильным модуль категории (аналогичное утверждение верно для левых модулей):
![{displaystyle {mathcal {C}} = mathrm {Mod} _ {S} quad {ext {and}} quad {mathcal {D}} = mathrm {Mod} _ {R}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9699ccecb062a7440cd50bee6e672c74a0e111)
Исправьте (р,S) -бимодуль Икс и определим функторы F: D → C и грамм: C → D следующее:
![{displaystyle F (Y) = Yotimes _ {R} Xquad {ext {for}} Инь {mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9b607a9f57b81fcc9dbf379ba10bda451a85ed)
![{displaystyle G (Z) = operatorname {Hom} _ {S} (X, Z) quad {ext {for}} Zin {mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed827509e05bbd30cbb9724e1241506bdbc55ad1)
потом F осталось прилегающий к грамм. Это означает, что есть естественный изоморфизм
![имя оператора {Hom} _ {S} (Yotimes _ {R} X, Z) cong имя оператора {Hom} _ {R} (Y, имя оператора {Hom} _ {S} (X, Z)).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a3b61f24c85fa28e85c16cd6ac9e0fab13fce5)
На самом деле это изоморфизм абелевы группы. Точнее, если Y является (А, р) бимодуль и Z это (B, S) бимодулем, то это изоморфизм (B, А) бимодули. Это один из вдохновляющих примеров структуры закрытого бикатегория.[1]
Граф и блок
Подобно всем присоединениям, тензор-гом присоединение можно описать его счетчиком и единицей естественные преобразования. Используя обозначения из предыдущего раздела, счетчик
![varepsilon: FG o 1 _ {{{mathcal {C}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3caeec84ee55e05731ec9857d9f599c20369eb7)
имеет составные части
![varepsilon _ {Z}: имя оператора {Hom} _ {S} (X, Z) иногда _ {R} X o Z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e187589949ea42c4d28fcefa240dc2f2b5d5cce)
дано оценкой: Для
![phi в имени оператора {Hom} _ {R} (X, Z) quad {ext {and}} quad xin X,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8574c24c45b10232e55dafea98876a13f7fd01)
![варепсилон (phi otimes x) = phi (x).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b527ff7cfdc600f0ab18f244c01056ad0a55f547)
В составные части подразделения
![eta: 1 _ {{{mathcal {D}}}} o GF](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc912fb67aea3aaa16396c90b133c622827b3625)
![eta _ {Y}: Y o имя оператора {Hom} _ {S} (X, Yotimes _ {R} X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66af43e4ae0338ca6a585851524d13f95c45f1f)
определяются следующим образом: Для у в Y,
![eta _ {Y} (y) в операторе {Hom} _ {S} (X, Yotimes _ {R} X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81dd81ad300919c16076f9797482bf835c16a0b3)
это право S-модульный гомоморфизм, задаваемый формулой
![eta _ {Y} (y) (t) = yotimes tquad {ext {for}} tin X.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb509ace0729d19a5138f6ac99d6b84abd9cba5b)
В счетные и единичные уравнения теперь можно явно проверить. За Y в C,
![{displaystyle varepsilon _ {FY} circ F (eta _ {Y}): Yotimes _ {R} X o operatorname {Hom} _ {S} (X, Yotimes _ {R} X) otimes _ {R} X o Yotimes _ {R} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9073a6c883717e0eccf2e9da5471e69e36b0fcb0)
дается на простые тензоры из Y⊗Икс к
![varepsilon _ {{FY}} circ F (eta _ {Y}) (yotimes x) = eta _ {Y} (y) (x) = yotimes x.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acaca44af9a6c0583f80a32ec598fe42b41f3629)
Так же,
![G (varepsilon _ {Z}) circ eta _ {{GZ}}: имя оператора {Hom} _ {S} (X, Z) или имя оператора {Hom} _ {S} (X, имя оператора {Hom} _ {S} (X, Z) иногда _ {R} X) или имя оператора {Hom} _ {S} (X, Z).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0b0600ed7128748d0f0198e37cb2634edaccd9)
Для φ в HomS(Икс, Z),
![G (varepsilon _ {Z}) circ eta _ {{GZ}} (фи)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d814f1e5b9d37f9d2c4965284ce3661e1cbb5d87)
это право S-модульный гомоморфизм, определяемый
![G (varepsilon _ {Z}) circ eta _ {{GZ}} (phi) (x) = varepsilon _ {{Z}} (phi otimes x) = phi (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f25221b0e23e0c276aec1c44a498514a314af6f)
и поэтому
![G (varepsilon _ {Z}) приблизительно _ {{GZ}} (phi) = phi.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7bc9c4e28248424c151a5ac350c1aa78981907)
Функторы Ext и Tor
В Hom функтор
коммутирует с произвольными пределами, а тензорное произведение
функтор коммутирует с произвольными копределами, существующими в их категории домена. Однако в целом
не может работать с копределами, и
не работает с ограничениями; этот отказ происходит даже среди конечных пределов или копределов. Эта неспособность сохранить короткие точные последовательности мотивирует определение Функтор Ext и Функтор Tor.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ May, J.P .; Сигурдссон, Дж. (2006). Параметризованная теория гомотопий. A.M.S. п. 253. ISBN 0-8218-3922-5.