Полный частичный заказ - Complete partial order

В математика, фраза полный частичный заказ по-разному используется для обозначения как минимум трех похожих, но различных классов частично упорядоченные наборы, характеризующийся особым свойства полноты. Полные частичные заказы играют центральную роль в теоретическая информатика: в денотационная семантика и теория предметной области.

Определения

А полный частичный заказ сокращенный cpo может, в зависимости от контекста, относиться к любой из следующих концепций.

Частично упорядоченный набор - это направленный-полный частичный порядок (DCPO), если каждое из его направленные подмножества имеет супремум. Подмножество частичного порядка является направленным, если оно не пусто и каждая пара элементов имеет верхнюю границу в подмножестве. В литературе dcpos иногда встречается также под меткой завершенный позет.

Частично упорядоченный набор - это точечный направленный-полный частичный порядок если это DCPO с наименьшим элементом. Иногда они сокращаются cppoс.

Частично упорядоченный набор - это ω-полный частичный порядок (ω-cpo), если это ч.у., в котором каждая ω-цепь (Икс₁≤Икс₂≤Икс₃≤Икс₄≤ ...) имеет супремум, который принадлежит базовому набору чугуна. Каждый dcpo является ω-cpo, поскольку каждая ω-цепь является направленным множеством, но обратное неверно. Однако всякая ω-cpo с основа тоже DCPO (на той же основе).^[1] Ω-cpo (dcpo) с базисом также называется непрерывный ω-cpo (непрерывный dcpo).

Обратите внимание, что полный частичный заказ никогда не означает позет, в котором все подмножества имеют верхнюю границу; терминология полная решетка используется для этой концепции.

Требование существования направленных супремумов может быть мотивировано просмотром направленных множеств как обобщенных аппроксимационных последовательностей, а супремумов - как пределы соответствующих (приближенных) вычислений. Эта интуиция в контексте денотационной семантики была мотивацией развития теория предметной области.

В двойной понятие направленного полного чугуна называется отфильтрованный полный частичный заказ. Однако на практике эта концепция встречается гораздо реже, поскольку обычно можно работать с двойным порядком явно.

Примеры

Каждый конечный ч.у. направлен полным.
Все полные решетки также направлены в комплекте.
Для любого посета набор всех непустой фильтры, упорядоченный по включению подмножества, является DCPO. Вместе с пустым фильтром также указывается. Если в заказе есть бинарный встречает, то эта конструкция (включая пустой фильтр) фактически дает полная решетка.
Набор всех частичные функции на некотором заданном наборе S можно заказать, указав ж ≤ грамм для функций ж и грамм если и только если грамм расширяет ж, т.е. если область ж является подмножеством области грамм и значения ж и грамм согласовать все входы, для которых определены обе функции. (Эквивалентно, ж ≤ грамм если и только если ж ⊆ грамм куда ж и грамм идентифицируются с их соответствующими графики.) Этот порядок - заостренный dcpo, где наименьший элемент - это нигде не определенная функция (с пустым доменом). Фактически, ≤ также ограниченный полный. Этот пример также демонстрирует, почему не всегда естественно иметь лучший элемент.
В порядок специализации любой трезвое пространство это DCPO.
Давайте использовать термин «дедуктивная система ”Как набор предложений, закрытых по следствию (для определения понятия следствия воспользуемся, например, Альфред Тарский алгебраический подход^[2]^[3]). Есть интересные теоремы, которые касаются набора дедуктивных систем, являющихся направленно-полным частичным упорядочением.^[4] Кроме того, набор дедуктивных систем может быть выбран так, чтобы иметь наименьший элемент естественным образом (так, чтобы он также мог быть заостренным dcpo), потому что набор всех следствий пустого набора (то есть «набор логически доказуемых / логически правильные предложения ») является (1) дедуктивной системой (2), содержащейся во всех дедуктивных системах.

Характеристики

Упорядоченный набор п является заостренным DCPO тогда и только тогда, когда каждый цепь имеет супремум в п, т.е. п является полная цепочка.^[5] В качестве альтернативы заказанный набор п является заостренным DCPO тогда и только тогда, когда каждый сохраняющий порядок собственная карта п имеет минимум фиксированная точка. Каждый набор S может быть превращен в остроконечный DCPO путем добавления наименьшего элемента ⊥ и введения плоского порядка с ⊥ ≤s и s ≤s для каждого s ∈ S и никаких других порядковых отношений.

Непрерывные функции и фиксированные точки

Функция ж между двумя DCPO п и Q называется (Скотт) непрерывный если он отображает направленные множества в направленные множества, сохраняя их верхнюю границу:

${ Displaystyle f (D) substeq Q}$ направлен на каждый направленный ${ Displaystyle D substeq P}$ .
${ Displaystyle е ( sup D) = sup f (D)}$ для каждого направленного ${ Displaystyle D substeq P}$ .

Обратите внимание, что каждая непрерывная функция между dcpos является монотонная функция. Это понятие непрерывности эквивалентно топологической непрерывности, индуцированной Топология Скотта.

Набор всех непрерывных функций между двумя dcpos п и Q обозначается [п → Q]. Оснащенный точечным порядком, это снова dcpo и cpo всякий раз, когда Q является КП. Таким образом, полные частичные порядки с непрерывными по Скотту отображениями образуют декартова закрытая категория.^[6]

Каждая самокарта, сохраняющая порядок ж КПО (п, ⊥) имеет наименьшую неподвижную точку.^[7] Если ж непрерывна, то эта неподвижная точка равна супремуму повторяет (⊥, ж(⊥), ж(ж(⊥)), … ж^п(⊥),…) из ⊥ (см. Также Теорема Клини о неподвижной точке ).

Смотрите также

Направленная полнота по-разному связана с другими полнота такие понятия, как полнота цепи. Сама по себе направленная полнота - довольно базовое свойство, которое часто встречается в других исследованиях теории порядка, например, при использовании алгебраические множества и Топология Скотта.

Примечания

^ Абрамский С, Габбай ДМ, Майбаум Т.С. (1994). Справочник по логике в компьютерных науках, том 3. Оксфорд: Clarendon Press. Предложение 2.2.14, с. 20. ISBN 9780198537625.
^ Тарский, Альфред: Bizonyítás és igazság / Válogatott tanulmányok. Gondolat, Budapest, 1990. (Название означает: Доказательство и истина / Избранные статьи.)
^ Стэнли Н. Беррис и H.P. Санкаппанавар: Курс универсальной алгебры
^ Смотрите онлайн на стр. 24 упражнения 5–6 из §5 в BurSan: UnivAlg. Или на бумаге см. Tar: BizIg.
^ Марковский, Джордж (1976), "Полные по цепочке наборы и направленные множества с приложениями", Универсальная алгебра, 6 (1): 53–68, Дои:10.1007 / bf02485815, МИСТЕР 0398913.
^ Барендрегт, Хенк, Лямбда-исчисление, его синтаксис и семантика В архиве 2004-08-23 на Wayback Machine, Северная Голландия (1984)
^ Видеть Теорема Кнастера – Тарского; Основы проверки программ, 2-е издание, Жак Лёкс и Курт Сибер, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-91282-4, Глава 4; Теорема Кнастера – Тарского, сформулированная над cpo, дается для доказательства в качестве упражнения 4.3–5 на стр. 90.