Теория предметной области - Domain theory

Теория предметной области это филиал математика который изучает особые виды частично упорядоченные наборы (посец) обычно называют домены. Следовательно, теорию предметной области можно рассматривать как раздел теория порядка. Область имеет основные приложения в Информатика, где он используется для указания денотационная семантика, особенно для функциональные языки программирования. Теория предметной области формализует интуитивные идеи приближения и сходимости в очень общем виде и тесно связана с топология.

Мотивация и интуиция

Основная мотивация для изучения доменов, инициированная Дана Скотт в конце 1960-х были поиски денотационная семантика из лямбда-исчисление. В этом формализме рассматриваются «функции», определяемые определенными терминами языка. В чисто синтаксический Таким образом, можно перейти от простых функций к функциям, которые принимают другие функции в качестве входных аргументов. Снова используя только синтаксические преобразования, доступные в этом формализме, можно получить так называемые комбинаторы с фиксированной точкой (наиболее известным из которых является Y комбинатор ); они по определению обладают тем свойством, что ж(Y(ж)) = Y(ж) для всех функций ж.

Чтобы сформулировать такую ​​денотационную семантику, можно сначала попытаться построить модель для лямбда-исчисления, в котором подлинная (полная) функция связана с каждым лямбда-членом. Такая модель формализует связь между лямбда-исчислением как чисто синтаксической системой и лямбда-исчислением как системой записи для управления конкретными математическими функциями. В комбинаторное исчисление вот такая модель. Однако элементы комбинаторного исчисления - это функции от функций к функциям; для того, чтобы элементы модели лямбда-исчисления имели произвольную область и диапазон, они не могут быть истинными функциями, только частичные функции.

Скотт обошел эту трудность, формализовав понятие «частичная» или «неполная» информация для представления вычислений, которые еще не вернули результат. Это было смоделировано путем рассмотрения для каждой области вычислений (например, натуральных чисел) дополнительного элемента, который представляет собой неопределенный output, то есть «результат» бесконечных вычислений. Кроме того, область вычислений оснащена отношение заказа, в котором "неопределенным результатом" является наименьший элемент.

Важным шагом для поиска модели лямбда-исчисления является рассмотрение только тех функций (на таком частично упорядоченном множестве), которые гарантированно имеют наименьшие фиксированные точки. Набор этих функций вместе с соответствующим порядком снова является «областью» в смысле теории. Но ограничение на подмножество всех доступных функций имеет еще одно большое преимущество: можно получить домены, содержащие свои собственные функциональные пространства, т.е. получаются функции, которые можно применять к себе.

Помимо этих желаемых свойств, теория предметной области также допускает привлекательную интуитивную интерпретацию. Как упоминалось выше, области вычислений всегда частично упорядочены. Этот порядок представляет собой иерархию информации или знаний. Чем выше элемент в порядке, тем он более конкретный и содержит больше информации. Нижние элементы представляют собой неполные знания или промежуточные результаты.

Затем расчет моделируется путем применения монотонный функции повторно на элементах домена, чтобы уточнить результат. Достигнув фиксированная точка эквивалентно завершению расчета. Домены обеспечивают превосходную настройку для этих идей, поскольку можно гарантировать существование фиксированных точек монотонных функций и при дополнительных ограничениях их можно аппроксимировать снизу.

Руководство по формальным определениям

В этом разделе будут представлены основные понятия и определения теории предметной области. Приведенная выше интуиция доменов информационные заказы будет подчеркнуто, чтобы мотивировать математическую формализацию теории. Точные формальные определения можно найти в специальных статьях для каждого понятия. Список общих теоретико-порядковых определений, которые также включают теоретико-предметные понятия, можно найти в глоссарий теории порядка. Тем не менее, наиболее важные концепции теории предметной области будут введены ниже.

Направленные наборы как сходящиеся спецификации

Как упоминалось ранее, теория предметной области имеет дело с частично упорядоченные наборы для моделирования области вычислений. Цель состоит в том, чтобы интерпретировать элементы такого порядка как части информации или же (частичные) результаты вычислений, где элементы, расположенные выше по порядку, последовательно расширяют информацию элементов, находящихся под ними. Из этой простой интуиции уже ясно, что домены часто не имеют величайший элемент, поскольку это будет означать, что существует элемент, содержащий информацию о все остальные элементы - довольно неинтересная ситуация.

Важную роль в теории играет концепция направленное подмножество домена; направленное подмножество - это непустое подмножество порядка, в котором любые два элемента имеют верхняя граница это элемент этого подмножества. С точки зрения нашей интуиции о доменах это означает, что любые две части информации в направленном подмножестве последовательно расширен некоторым другим элементом в подмножестве. Следовательно, мы можем рассматривать направленные подмножества как согласованные спецификации, то есть как наборы частичных результатов, в которых нет двух противоречащих друг другу элементов. Эту интерпретацию можно сравнить с понятием сходящаяся последовательность в анализ, где каждый элемент более конкретен, чем предыдущий. Действительно, в теории метрические пространства, последовательности играют роль, во многих аспектах аналогичную роли направленных множеств в теории предметной области.

Теперь, как и в случае с последовательностями, нас интересует предел направленного набора. В соответствии с тем, что было сказано выше, это будет элемент, который является наиболее общей частью информации, которая расширяет информацию всех элементов направленного набора, то есть уникальный элемент, содержащий точно информация, которая была в направленном наборе, и не более того. В формализации теории порядка это как раз наименьшая верхняя граница направленного набора. Как и в случае пределов последовательностей, точные верхние границы направленных множеств не всегда существуют.

Естественно, особый интерес вызывают те области вычислений, в которых все согласованные спецификации сходиться, т.е. в порядках, в которых все ориентированные множества имеют точную верхнюю границу. Это свойство определяет класс направленные частичные заказы, или же DCPO для краткости. В самом деле, большинство соображений теории предметной области рассматривают только заказы, которые по крайней мере направлены полными.

Из лежащей в основе идеи о частично определенных результатах как о представлении неполных знаний выводится еще одно желаемое свойство: существование наименьший элемент. Такой элемент моделирует состояние отсутствия информации - место, где начинается большинство вычислений. Его также можно рассматривать как результат вычисления, которое вообще не возвращает никакого результата.

Вычисления и домены

Теперь, когда у нас есть некоторые базовые формальные описания того, какой должна быть область вычислений, мы можем перейти к самим вычислениям. Ясно, что это должны быть функции, принимающие входные данные из некоторой вычислительной области и возвращающие выходные данные в некоторой (возможно, другой) области. Однако можно было бы также ожидать, что вывод функции будет содержать больше информации, когда информационное содержание ввода увеличивается. Формально это означает, что мы хотим, чтобы функция была монотонный.

При работе с dcpos, можно также пожелать, чтобы вычисления были совместимы с формированием пределов направленного множества. Формально это означает, что для некоторой функции ж, изображение ж(D) направленного множества D (т.е. набор изображений каждого элемента D) снова направлен и имеет в качестве точной верхней границы образ точной верхней границы D. Можно также сказать, что ж сохраняет направленная супрема. Также обратите внимание, что при рассмотрении направленных наборов из двух элементов такая функция также должна быть монотонной. Эти свойства порождают понятие Скотт-непрерывный функция. Поскольку это часто не является двусмысленным, можно также говорить о непрерывные функции.

Аппроксимация и конечность

Теория предметной области - это чисто качественный подход к моделированию структуры информационных состояний. Можно сказать, что что-то содержит больше информации, но количество дополнительной информации не уточняется. Тем не менее, есть некоторые ситуации, в которых хочется говорить об элементах, которые в некотором смысле намного проще (или гораздо более неполны), чем данное состояние информации. Например, в естественном порядке включения подмножеств на некоторых powerset, любой бесконечный элемент (то есть множество) гораздо более «информативен», чем любой из его конечный подмножества.

Если кто-то хочет смоделировать такое отношение, он может сначала рассмотреть индуцированный строгий порядок <области с порядком ≤. Однако, хотя это понятие полезно в случае полных заказов, оно мало что говорит нам в случае частично упорядоченных наборов. Рассматривая снова порядок включения множеств, набор уже строго меньше другого, возможно, бесконечного множества, если он содержит только на один элемент меньше. Однако вряд ли можно согласиться с тем, что это отражает понятие «намного проще».

Отношение пути ниже

Более сложный подход приводит к определению так называемого порядок приближения, который более логично также называется отношение пути ниже. Элемент Икс является путь ниже элемент у, если для каждого направленного множества D с супремумом таким, что

,

есть какой-то элемент d в D такой, что

.

Тогда еще говорят, что Икс приблизительно у и пишет

.

Это означает, что

,

поскольку одноэлементный набор {у} направлено. Например, при упорядочении множеств бесконечное множество намного выше любого из своих конечных подмножеств. С другой стороны, рассмотрим направленное множество (фактически, цепь ) конечных множеств

Поскольку верхняя грань этой цепочки - это множество всех натуральных чисел N, это показывает, что нет бесконечного множества ниже N.

Однако, находясь ниже некоторого элемента, относительный понятие и мало что раскрывает об элементе. Например, кто-то хотел бы охарактеризовать конечные множества теоретико-порядковым способом, но даже бесконечные множества могут быть намного ниже некоторого другого множества. Особое свойство этих конечный элементы Икс в том, что они намного ниже самих себя, т.е.

.

Элемент с этим свойством также называется компактный. Тем не менее, такие элементы не обязательно должны быть «конечными» или «компактными» в любом другом математическом использовании этих терминов. Тем не менее, эти обозначения мотивированы определенными параллелями с соответствующими понятиями в теория множеств и топология. Компактные элементы области обладают важным специальным свойством, заключающимся в том, что они не могут быть получены как предел направленного множества, в котором они еще не встречались.

Многие другие важные результаты об отношении «путь ниже» подтверждают утверждение, что это определение подходит для отражения многих важных аспектов предметной области.

Базы доменов

Предыдущие мысли поднимают другой вопрос: можно ли гарантировать, что все элементы домена могут быть получены как предел гораздо более простых элементов? Это весьма актуально на практике, поскольку мы не можем вычислять бесконечные объекты, но мы все же можем надеяться приблизить их произвольно близко.

В более общем плане мы хотели бы ограничиться определенным подмножеством элементов как достаточным для получения всех других элементов в качестве минимальных верхних границ. Следовательно, определяется основание посета п как подмножество B из п, так что для каждого Икс в п, набор элементов в B это намного ниже Икс содержит направленный набор с супремумом Икс. Посеть п это непрерывный посет если у него есть какая-то база. Особенно, п сам по себе является базой в этой ситуации. Во многих приложениях в качестве основного объекта исследования ограничиваются непрерывным (d) cpos.

Наконец, еще более сильное ограничение на частично упорядоченное множество дается, требуя существования базы конечный элементы. Такой посет называется алгебраический. С точки зрения денотационной семантики алгебраические позы особенно хороши, поскольку они позволяют аппроксимировать все элементы, даже если они ограничиваются конечными. Как отмечалось ранее, не каждый конечный элемент является «конечным» в классическом смысле, и вполне может быть, что конечные элементы составляют бесчисленный набор.

Однако в некоторых случаях основанием для посета является счетный. В этом случае говорят о ω-непрерывный посеть. Соответственно, если счетная база целиком состоит из конечных элементов, мы получаем порядок, равный ω-алгебраический.

Особые типы доменов

Простой частный случай домена известен как элементарный или же плоский домен. Он состоит из набора несравнимых элементов, таких как целые числа, а также одного «нижнего» элемента, который считается меньшим, чем все другие элементы.

Можно получить ряд других интересных специальных классов упорядоченных структур, которые можно было бы использовать в качестве «доменов». Мы уже упоминали непрерывные множества и алгебраические множества. Более специальные версии обоих являются непрерывными и алгебраическими. cpos. Добавление еще больше свойства полноты можно получить непрерывные решетки и алгебраические решетки, которые просто полные решетки с соответствующими свойствами. В алгебраическом случае можно найти более широкие классы посетов, которые все еще стоит изучить: исторически сложилось так, что Скотт домены были первыми структурами, изученными в теории доменов. Еще более широкие классы областей составляют SFP-домены, L-домены, и бифинитные области.

Все эти классы заказов можно разделить на различные категории dcpos, используя функции, которые являются монотонными, непрерывными по Скотту или даже более специализированными, как морфизмы. Наконец, обратите внимание, что термин домен сам по себе не является точным и поэтому используется как сокращение только в том случае, если формальное определение было дано ранее или когда детали не имеют отношения к делу.

Важные результаты

Позет D является DCPO тогда и только тогда, когда каждая цепь в D имеет супремум. (Направление «если» зависит от аксиома выбора.)

Если ж - непрерывная функция в области D то он имеет наименьшую фиксированную точку, заданную как наименьшую верхнюю границу всех конечных итераций ж на наименьшем элементе ⊥:

.

Это Теорема Клини о неподвижной точке. В символ это направленное присоединение.

Обобщения

  • «Теория синтетической предметной области». CiteSeerX  10.1.1.55.903. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  • Теория топологической области
  • А пространство непрерывности является обобщением метрических пространств и позы, которые можно использовать для унификации понятий метрических пространств и областей.

Смотрите также

дальнейшее чтение

внешняя ссылка