Диагональный функтор - Diagonal functor

В теория категорий, филиал математика, то диагональный функтор ${displaystyle {mathcal {C}} ightarrow {mathcal {C}} imes {mathcal {C}}}$ дан кем-то ${displaystyle Delta (a) = langle a, aangle}$ , который отображает объекты а также морфизмы. Этот функтор может использоваться для краткого альтернативного описания продукта объектов в то категория ${displaystyle {mathcal {C}}}$ : продукт ${displaystyle a imes b}$ универсальная стрела из ${displaystyle Delta}$ к ${displaystyle langle a, bangle}$ . Стрелка показывает карты проекции.

В более общем плане, учитывая маленький категория индекса ${displaystyle {mathcal {J}}}$ можно построить категория функторов ${displaystyle {mathcal {C}} ^ {mathcal {J}}}$ , объекты которых называются диаграммы. Для каждого объекта ${displaystyle a}$ в ${displaystyle {mathcal {C}}}$ , Существует постоянная диаграмма ${displaystyle Delta _ {a}: {mathcal {J}} o {mathcal {C}}}$ который отображает каждый объект в ${displaystyle {mathcal {J}}}$ к ${displaystyle a}$ и каждый морфизм в ${displaystyle {mathcal {J}}}$ к ${displaystyle 1_ {a}}$ . Диагональный функтор ${displaystyle Delta: {mathcal {C}} ightarrow {mathcal {C}} ^ {mathcal {J}}}$ присваивает каждому объекту ${displaystyle a}$ из ${displaystyle {mathcal {C}}}$ диаграмма ${displaystyle Delta _ {a}}$ , и каждому морфизму ${displaystyle f: aightarrow b}$ в ${displaystyle {mathcal {C}}}$ то естественная трансформация ${displaystyle eta}$ в ${displaystyle {mathcal {C}} ^ {mathcal {J}}}$ (дается за каждый объект ${displaystyle j}$ из ${displaystyle {mathcal {J}}}$ к ${displaystyle eta _ {j} = f}$ ). Так, например, в случае, если ${displaystyle {mathcal {J}}}$ это дискретная категория с двумя объектами диагональный функтор ${displaystyle {mathcal {C}} ightarrow {mathcal {C}} imes {mathcal {C}}}$ восстанавливается.

Диагональные функторы позволяют определять пределы и копределы диаграмм. Учитывая диаграмма ${displaystyle {mathcal {F}}: {mathcal {J}} ightarrow {mathcal {C}}}$ , естественное преобразование ${displaystyle Delta _ {a} o {mathcal {F}}}$ (для какого-то объекта ${displaystyle a}$ из ${displaystyle {mathcal {C}}}$ ) называется конус за ${displaystyle {mathcal {F}}}$ . Эти конусы и их факторизации точно соответствуют объектам и морфизмам категория запятой ${displaystyle (Delta downarrow {mathcal {F}})}$ , и предел ${displaystyle {mathcal {F}}}$ является конечным объектом в ${displaystyle (Delta downarrow {mathcal {F}})}$ , т.е. универсальная стрела ${displaystyle Delta ightarrow {mathcal {F}}}$ . Дважды копредел из ${displaystyle {mathcal {F}}}$ - начальный объект в категории запятой ${displaystyle ({mathcal {F}} downarrow Delta)}$ , т.е. универсальная стрелка ${displaystyle {mathcal {F}} ightarrow Delta}$ .

Если каждый функтор из ${displaystyle {mathcal {J}}}$ к ${displaystyle {mathcal {C}}}$ имеет ограничение (что будет, если ${displaystyle {mathcal {C}}}$ является полный ), то операция выхода пределов сама является функтором из ${displaystyle {mathcal {C}} ^ {mathcal {J}}}$ к ${displaystyle {mathcal {C}}}$ . Функтором предела является право-сопряженный диагонального функтора. Точно так же функтор копредела (который существует, если категория является кополной) является левым сопряженным к диагональному функтору.

Например, диагональный функтор ${displaystyle {mathcal {C}} ightarrow {mathcal {C}} imes {mathcal {C}}}$ описанный выше является левым сопряженным двоичным функтор продукта и правый сопряженный двоичной функтор копроизведения. Другие известные примеры включают выталкивание, что является пределом охватывать, а конечный объект, что является пределом пустая категория.

Диагональный функтор - Diagonal functor

Смотрите также

Рекомендации