Численное дифференцирование - Numerical differentiation

В числовой анализ, численное дифференцирование описывает алгоритмы для оценки производная из математическая функция или функция подпрограмма используя значения функции и, возможно, другие знания о функции.

Конечные различия

Самый простой метод - использовать конечно-разностные аппроксимации.

Простая двухточечная оценка заключается в вычислении наклона ближайшего секущая линия через точки (Икс, ж(Икс)) и (Икс + час, ж(Икс + час)).^[1] Выбираем небольшое количество час, час представляет собой небольшое изменение в Икс, и он может быть как положительным, так и отрицательным. Наклон этой линии равен

{ displaystyle { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}

Это выражение Ньютон с коэффициент разницы (также известный как разделенная разница ).

Наклон этой секущей линии отличается от наклона касательной на величину, примерно пропорциональную час. В качестве час приближается к нулю, наклон секущей линии приближается к наклону касательной. Следовательно, истинное производная от ж в Икс является пределом значения коэффициента разности, когда секущие линии становятся все ближе и ближе к касательной:

{ displaystyle f '(x) = lim _ {h to 0} { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}

Так как сразу замена 0 для час приводит к ${ displaystyle { frac {0} {0}}}$ неопределенная форма , вычисление производной напрямую может быть неинтуитивным.

Точно так же наклон можно оценить, используя положения (Икс − час) и Икс.

Другая двухточечная формула - вычислить наклон ближайшей секущей линии, проходящей через точки (Икс - час, ж(Икс − час)) и (Икс + час, ж(Икс + час)). Наклон этой линии равен

{ displaystyle { frac {f (x + h) -f (x-h)} {2h}}.}

Эта формула известна как симметричный коэффициент разности. В этом случае ошибки первого порядка аннулируются, поэтому наклон этих секущих линий отличается от наклона касательной на величину, примерно пропорциональную ${ displaystyle h ^ {2}}$ . Следовательно, при малых значениях час это более точное приближение к касательной, чем односторонняя оценка. Однако, хотя наклон рассчитывается при Икс, значение функции при Икс не участвует.

Ошибка оценки определяется выражением

{ Displaystyle R = { frac {-f ^ {(3)} (c)} {6}} h ^ {2}}

,

куда ${ displaystyle c}$ это какая-то точка между ${ displaystyle x-h}$ и ${ displaystyle x + h}$ .Эта ошибка не включает ошибка округления из-за представленных чисел и выполнения расчетов с ограниченной точностью.

Симметричный коэффициент разности используется в качестве метода аппроксимации производной в ряде калькуляторов, включая ТИ-82, ТИ-83, ТИ-84, ТИ-85, все из которых используют этот метод с час = 0.001.^[2]^[3]

Размер шага

Пример, показывающий сложность выбора

{ displaystyle h}

из-за ошибки округления и ошибки формулы

Важное соображение на практике, когда функция вычисляется с использованием арифметика с плавающей запятой выбор размера шага, час. Если выбрано слишком маленькое, вычитание даст большой ошибка округления. Фактически, все конечно-разностные формулы плохо воспитанный^[4] и из-за отмены даст нулевое значение, если час достаточно мала.^[5] Если значение слишком велико, расчет наклона секущей линии будет более точным, но оценка наклона касательной с использованием секущей может быть хуже.

Для основных центральных разностей оптимальным шагом является кубический корень из машина эпсилон.^[6]Для формулы численной производной, рассчитанной при Икс и Икс + час, выбор для час то, что мало без большой ошибки округления, ${ Displaystyle { sqrt { varepsilon}} х}$ (но не когда Икс = 0), где машина эпсилон ε обычно порядка 2,2×10⁻¹⁶ за двойная точность.^[7] Формула для час который уравновешивает ошибку округления с ошибкой секущей для оптимальной точности^[8]

{ displaystyle h = 2 { sqrt { varepsilon left | { frac {f (x)} {f '' (x)}} right |}}}

(но не когда ${ displaystyle f '' (x) = 0}$ ), и для его использования потребуется знание функции.

За одинарная точность проблемы усугубляются тем, что, хотя Икс может быть представимое число с плавающей запятой, Икс + час почти наверняка не будет. Это означает, что Икс + час будет изменено (округлением или усечением) на ближайшее машинно-представимое число, в результате чего (Икс + час) − Икс буду нет равный час; две оценки функции не будут точно час Кроме. В этом отношении, поскольку большинство десятичных дробей представляют собой повторяющиеся последовательности в двоичном формате (точно так же, как 1/3 в десятичном), казалось бы, круглый шаг, такой как час = 0,1 не будет круглым числом в двоичной системе; это 0,000110011001100 ...₂ Возможный подход следующий:

 ч: = sqrt (eps) * x; xph: = x + h; dx: = xph - x; наклон: = (F (xph) - F (x)) / dx;

Однако с компьютерами оптимизация компилятора средства могут не уделять внимания деталям реальной компьютерной арифметики и вместо этого применять аксиомы математики для вывода, что dx и час одинаковые. С C и подобных языках, директива, которая xph это летучая переменная предотвратит это.

Другие методы

Методы высшего порядка

Существуют методы высшего порядка для приближения производной, а также методы для высших производных.

Ниже приведен метод пяти точек для первой производной (пятиточечный трафарет в одном измерении):^[9]

{ displaystyle f '(x) = { frac {-f (x + 2h) + 8f (x + h) -8f (xh) + f (x-2h)} {12h}} + { frac {h) ^ {4}} {30}} f ^ {(5)} (c),}

куда ${ displaystyle c in [x-2h, x + 2h]}$ .

Для других конфигураций трафаретов и производных заказов Калькулятор конечно-разностных коэффициентов - это инструмент, который можно использовать для создания методов приближения производных для любого шаблона с любым порядком производных (при условии, что решение существует).

Высшие производные

Используя коэффициент разности Ньютона,

{ displaystyle f '(x) = lim _ {h to 0} { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

может быть показано следующее^[10] (за п> 0):

{ displaystyle f ^ {(n)} (x) = lim _ {h to 0} { frac {1} {h ^ {n}}} sum _ {k = 0} ^ {n} ( -1) ^ {k + n} { binom {n} {k}} f (x + kh).}

Методы комплексных переменных

Классические конечно-разностные приближения для численного дифференцирования плохо обусловлены. Однако если ${ displaystyle f}$ это голоморфная функция, с действительными значениями на действительной прямой, которые могут быть вычислены в точках комплексной плоскости вблизи ${ displaystyle x}$ , то есть стабильный методы. Например,^[5] первая производная может быть вычислена по формуле комплексной производной:^[11]^[12]^[13]

{ displaystyle f ^ { prime} (x) = Im (f (x + mathrm {i} h)) / h + O (h ^ {2}), quad mathrm {i}: = { sqrt {-1}}.}

Эта формула может быть получена Серия Тейлор расширение:

{ displaystyle f (x + mathrm {i} h) = f (x) + mathrm {i} hf ^ { prime} (x) -h ^ {2} f '' (x) / 2! - mathrm {i} h ^ {3} f ^ {(3)} (x) / 3! + cdots.}

Формула комплексной производной действительна только для вычисления производных первого порядка. Обобщение вышеизложенного для вычисления производных любого порядка использует многокомплексные числа, приводя к многокомплексным производным.^[14]

Как правило, производные любого порядка могут быть рассчитаны с использованием Интегральная формула Коши^[15]:

{ displaystyle f ^ {(n)} (a) = { frac {n!} {2 pi i}} oint _ { gamma} { frac {f (z)} {(za) ^ { п + 1}}} , mathrm {d} z,}

где выполняется интеграция численно.

Использование комплексных переменных для численного дифференцирования было начато Лайнессом и Молером в 1967 году.^[16] Метод, основанный на численном обращении комплекса Преобразование Лапласа был разработан Abate и Dubner.^[17] Форнберг разработал алгоритм, который можно использовать, не требуя знаний о методе или характере функции.^[4]

Дифференциальная квадратура

Дифференциальная квадратура - это приближение производных с использованием взвешенных сумм значений функций.^[18]^[19] Название аналогично квадратура, смысл численное интегрирование, где взвешенные суммы используются в таких методах, как Метод Симпсона или Трапецеидальная линейка. Существуют различные методы определения весовых коэффициентов. Дифференциальная квадратура используется для решения уравнения в частных производных.

Смотрите также

внешняя ссылка

http://mathworld.wolfram.com/NumericalDifferentiation.html
Ресурсы по числовой дифференциации: заметки из учебников, PPT, рабочие листы, аудиовизуальные лекции на YouTube в Численные методы для студентов STEM
ftp://math.nist.gov/pub/repository/diff/src/DIFF Код на Фортране для численного дифференцирования функции с использованием процесса Невилла для экстраполяции из последовательности простых полиномиальных приближений.
Подпрограммы численного дифференцирования библиотеки NAG
http://graphulator.com Онлайн-калькулятор для построения числовых графиков с функцией исчисления.
Способствовать росту. Математическое численное дифференцирование, включая конечное дифференцирование и комплексную ступенчатую производную
Комплексная ступенчатая дифференциация
Дифференциация без разницы к Николас Хайэм, СИАМ Новости.
проект findiff Python

[1] Ричард Л. Берден, Дж. Дуглас Фейрес (2000), Числовой анализ, (7-е изд.), Брукс / Коул. ISBN 0-534-38216-9.

[Merseth2003-2] Кэтрин Клипперт Мерсет (2003). Окна в обучении математике: кейсы для средних и средних классов. Педагогический колледж Press. п.34. ISBN 978-0-8077-4279-2.

[RubySellers2014-3] Тамара Лефкур Руби; Джеймс Селлерс; Лиза Корф; Джереми Ван Хорн; Майк Манн (2014). Каплан А.П. Расчет AB и BC 2015. Kaplan Publishing. п. 299. ISBN 978-1-61865-686-5.

[Fornberg1-4] а ^б Численное дифференцирование аналитических функций, Б. Форнберг - транзакции ACM в математическом программном обеспечении (TOMS), 1981.

[SquireTrapp1-5] а ^б Использование комплексных переменных для оценки производных вещественных функций, У. Сквайр, Г. Трапп - ОБЗОР SIAM, 1998.

[6] Зауэр, Тимоти (2012). Числовой анализ. Пирсон. стр.248.

[7] Следующий Числовые рецепты в C, Глава 5.7.

[8] п. 263.

[9] Abramowitz & Stegun, Таблица 25.2.

[10] Шилов, Георгий. Элементарный действительный и комплексный анализ.

[11] Мартинс, Дж. Р. Р. А .; Sturdza, P .; Алонсо, Дж. Дж. (2003). «Комплексно-ступенчатое приближение производной». Транзакции ACM на математическом ПО. 29 (3): 245–262. CiteSeerX 10.1.1.141.8002. Дои:10.1145/838250.838251.

[12] Дифференциация без разницы к Николас Хайэм

[13] статья из MathWorks блог, опубликованный Клив Молер

[14] «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-01-09. Получено 2012-11-24.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)

[15] Абловиц, М. Дж., Фокас, А. С. (2003). Комплексные переменные: введение и приложения. Издательство Кембриджского университета. Проверить теорему 2.6.2

[LynessMoler1-16] Lyness, J. N .; Молер, К. Б. (1967). «Численное дифференцирование аналитических функций». SIAM J. Numer. Анальный. 4: 202–210. Дои:10.1137/0704019.

[17] Абате, Дж; Дубнер, H (март 1968 г.). «Новый метод генерации разложения функций в степенной ряд». SIAM J. Numer. Анальный. 5 (1): 102–112. Дои:10.1137/0705008.

[18] Дифференциальная квадратура и ее применение в технике: инженерные приложения, Чанг Шу, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-209-9.

[19] Усовершенствованные методы дифференциальной квадратуры, Инъян Чжан, CRC Press, 2009, ISBN 978-1-4200-8248-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]