Коэффициент конечной разности - Finite difference coefficient

В математике для приближения производной к произвольному порядку точности можно использовать конечная разница. Конечная разница может быть центральный, вперед или же назад.

Центральная конечная разность

В этой таблице приведены коэффициенты центральных разностей для нескольких порядков точности и с равномерным шагом сетки:^[1]

Производная	Точность	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
1	2					−1/2	0	1/2
	4				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	8		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					1	−2	1
	4				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	8		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	1	0	−1	1/2
	4			1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
	6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2				1	−4	6	−4	1
	4			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
	4		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
	6	−13/288	19/36	−87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	−19/36	13/288
6	2			1	−6	15	−20	15	−6	1
	4		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
	6	13/240	−19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	−19/24	13/240

Например, третья производная второго порядка точности равна

${ displaystyle f '' '(x_ {0}) приблизительно { frac {- { frac {1} {2}} f (x _ {- 2}) + f (x _ {- 1}) - f ( x _ {+ 1}) + { frac {1} {2}} f (x _ {+ 2})} {h_ {x} ^ {3}}} + O left (h_ {x} ^ {2} верно),}$

куда ${ displaystyle h_ {x}}$ представляет собой равномерный интервал сетки между каждым интервалом конечных разностей, и ${ displaystyle x_ {n} = x_ {0} + nh_ {x}}$.

Для ${ displaystyle m}$-я производная с точностью ${ displaystyle n}$, Существуют ${ displaystyle 2p + 1 = 2 left lfloor { frac {m + 1} {2}} right rfloor -1 + n}$ центральные коэффициенты ${ displaystyle a _ {- p}, a _ {- p + 1}, ..., a_ {p-1}, a_ {p}}$. Они задаются решением системы линейных уравнений

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 1 & ... & 1 & 1 - p & -p + 1 & ... & p-1 & p (- p) ^ {2} & (- p + 1) ^ {2} & ... & (p-1) ^ {2} & p ^ {2} ... & ... & ... & ... & ... ... & ... &. .. & ... & ... ... & ... & ... & ... & ... (- p) ^ {2p} & (- p + 1) ^ { 2p} & ... & (p-1) ^ {2p} & p ^ {2p} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} a _ {- p} a _ {- p + 1} a_ {-p + 2} ... ... ... a_ {p} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 0 0 . .. m! ... 0 end {pmatrix}},}$

где единственное ненулевое значение в правой части находится в ${ Displaystyle (м + 1)}$-бросать.

Доступна реализация с открытым исходным кодом для вычисления коэффициентов конечных разностей произвольных производных и порядка точности в одном измерении.^[2]

Прямая конечная разность

В этой таблице содержатся коэффициенты прямых разностей для нескольких порядков точности и с равномерным шагом сетки:^[1]

Производная	Точность	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
	2	2	−5	4	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
	2	3	−14	26	−24	11	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Например, первая производная с точностью до третьего порядка и вторая производная с точностью до второго порядка равны

${ displaystyle displaystyle f '(x_ {0}) приблизительно displaystyle { frac {- { frac {11} {6}} f (x_ {0}) + 3f (x _ {+ 1}) - { frac {3} {2}} f (x _ {+ 2}) + { frac {1} {3}} f (x _ {+ 3})} {h_ {x}}} + O left (h_ {x} ^ {3} right),}$

${ displaystyle displaystyle f '' (x_ {0}) приблизительно displaystyle { frac {2f (x_ {0}) - 5f (x _ {+ 1}) + 4f (x _ {+ 2}) - f ( x _ {+ 3})} {h_ {x} ^ {2}}} + O left (h_ {x} ^ {2} right),}$

в то время как соответствующие обратные приближения даются

${ displaystyle displaystyle f '(x_ {0}) приблизительно displaystyle { frac {{ frac {11} {6}} f (x_ {0}) - 3f (x _ {- 1}) + { frac {3} {2}} f (x _ {- 2}) - { frac {1} {3}} f (x _ {- 3})} {h_ {x}}} + O left (h_ { x} ^ {3} right),}$

${ displaystyle displaystyle f '' (x_ {0}) приблизительно displaystyle { frac {2f (x_ {0}) - 5f (x _ {- 1}) + 4f (x _ {- 2}) - f ( x _ {- 3})} {h_ {x} ^ {2}}} + O left (h_ {x} ^ {2} right),}$

Обратная конечная разность

В общем, чтобы получить коэффициенты обратных приближений, присвойте всем нечетным производным, перечисленным в таблице, противоположный знак, тогда как для четных производных знаки остаются прежними. Следующая таблица иллюстрирует это:^[3]

Производная	Точность	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0
1	1								−1	1
	2							1/2	−2	3/2
	3						−1/3	3/2	−3	11/6
2	1							1	−2	1
	2						−1	4	−5	2
3	1						−1	3	−3	1
	2					3/2	−7	12	−9	5/2
4	1					1	−4	6	−4	1
	2				−2	11	−24	26	−14	3

Произвольные точки трафарета

Для заданных произвольных точек трафарета ${ displaystyle displaystyle s}$ длины ${ displaystyle displaystyle N}$ с порядком производных ${ Displaystyle Displaystyle д$, конечно-разностные коэффициенты могут быть получены путем решения линейных уравнений ^[4]

${ displaystyle { begin {pmatrix} s_ {1} ^ {0} & cdots & s_ {N} ^ {0} vdots & ddots & vdots s_ {1} ^ {N-1} & cdots & s_ {N} ^ {N-1} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} a_ {1} vdots a_ {N} end {pmatrix}} = d! { begin {pmatrix} delta _ {0, d} vdots delta _ {i, d} vdots delta _ {N-1, d} end {pmatrix}},}$

где ${ displaystyle delta _ {я, j}}$ являются Дельта Кронекера.

Например, для ${ displaystyle s = [- 3, -2, -1,0,1]}$, порядок дифференцирования ${ displaystyle d = 4}$:

${ displaystyle { begin {pmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} a_ {4} a_ {5} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 - 3 & -2 & -1 & 0 & 1 9 & 4 & 1 & 0 & 1 - 27 & -8 & -1 & 0 & 1 81 & 16 & 1 & 0 & 1 end {pmatrix}} ^ {- 1} { begin {pmatrix} 0 0 0 0 24 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 - 4 6 - 4 1 end {pmatrix}}.}$

Порядок точности приближения принимает обычный вид ${ Displaystyle О влево (ч ^ {(N-d)} вправо)}$.

Смотрите также

• Метод конечных разностей
• Конечная разница
• Пятиточечный трафарет
• Численное дифференцирование

Рекомендации