Метод градиентной дискретизации - Gradient discretisation method

Точное решение
${ displaystyle { overline {u}} (x) = { frac {3} {4}} { big (} {0,5} ^ {4/3} - | x-0,5 | ^ {4/3} {большой )}}$
из п-Проблема Лапласа ${ displaystyle - (| { overline {u}} '| ^ {2} { overline {u}}') '(x) = 1}$ в области [0,1] с ${ displaystyle { overline {u}} (0) = { overline {u}} (1) = 0}$ (черная линия) и приблизительный (синяя линия), вычисленные с помощью прерывного метода Галеркина первой степени, подключенного к GDM (однородная сетка с 6 элементами).

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса. используется для имитации воздушного потока вокруг препятствия.
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный  / Неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотический  / Экспоненциальная стабильность Скорость сходимости Серии / Комплексные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разница  (Крэнк – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта

В вычислительной математике метод градиентной дискретизации (GDM) представляет собой структуру, которая содержит классические и современные численные схемы для задач диффузии различных типов: линейные или нелинейные, установившиеся или зависящие от времени. Схемы могут быть согласованными или несоответствующими и могут основываться на очень общих многоугольных или многогранных сетках (или даже могут быть бессеточными).

Некоторые основные свойства требуются для доказательства сходимости GDM. Эти основные свойства позволяют получить полные доказательства сходимости GDM для эллиптических и параболических задач, линейных или нелинейных. Для линейных задач, стационарных или переходных, оценки ошибок могут быть установлены на основе трех показателей, характерных для GDM. ^[1] (количества ${ displaystyle C_ {D}}$, ${ displaystyle S_ {D}}$ и ${ displaystyle W_ {D}}$, Смотри ниже ). Для нелинейных задач доказательства основаны на методах компактности и не требуют каких-либо нефизических предположений о сильной регулярности решения или данных модели.^[2] Нелинейные модели для которых было проведено такое доказательство сходимости GDM, включают: Проблема Стефана моделирующий плавящийся материал, двухфазные потоки в пористой среде, Уравнение Ричардса потока подземных вод - полностью нелинейные уравнения Лере — Лайонса.^[3]

Известно, что любая схема, входящая в структуру GDM, сходится ко всем этим проблемам. В частности, это относится к соответствующие конечные элементы, Смешанные конечные элементы, несоответствующие конечные элементы, а в случае более поздних схем Разрывный метод Галеркина, Гибридный смешанный миметический метод, метод конечных разностей узлового миметика, некоторые схемы конечного объема с дискретной двойственностью и схемы многоточечной аппроксимации потока

Пример линейной задачи диффузии

Учитывать Уравнение Пуассона в ограниченной открытой области ${ displaystyle Omega subset mathbb {R} ^ {d}}$, с однородным Граничное условие Дирихле

${ Displaystyle quad (1) qquad qquad - Delta { overline {u}} = f,}$

куда ${ Displaystyle е в L ^ {2} ( Omega)}$. Обычное чувство слабого решения ^[4] к этой модели это:

${ displaystyle quad (2) qquad { mbox {Find}} { overline {u}} in H_ {0} ^ {1} ( Omega) { mbox {такой, что для всех}} { overline {v}} in H_ {0} ^ {1} ( Omega), quad int _ { Omega} nabla { overline {u}} (x) cdot nabla { overline { v}} (x) dx = int _ { Omega} f (x) { overline {v}} (x) dx.}$

В двух словах, GDM для такой модели состоит в выборе конечномерного пространства и двух операторов восстановления (один для функций, один для градиентов) и замены этих дискретных элементов вместо непрерывных элементов в (2). Точнее, GDM начинается с определения градиентной дискретизации (GD), которая является триплетом ${ Displaystyle D = (X_ {D, 0}, Pi _ {D}, nabla _ {D})}$, куда:

• набор дискретных неизвестных ${ displaystyle X_ {D, 0}}$ - конечномерное вещественное векторное пространство,
• восстановление функции ${ displaystyle Pi _ {D} ~: ~ X_ {D, 0} to L ^ {2} ( Omega)}$ является линейным отображением, восстанавливающим по элементу ${ displaystyle X_ {D, 0}}$, функция над ${ displaystyle Omega}$,
• реконструкция градиента ${ displaystyle nabla _ {D} ~: ~ X_ {D, 0} to L ^ {2} ( Omega) ^ {d}}$ является линейным отображением, которое восстанавливает по элементу ${ displaystyle X_ {D, 0}}$, "градиент" (вектор-функция) над ${ displaystyle Omega}$. Эта градиентная реконструкция должна быть выбрана так, чтобы ${ Displaystyle Vert nabla _ {D} cdot Vert _ {L ^ {2} ( Omega) ^ {d}}}$ это норма на ${ displaystyle X_ {D, 0}}$.

Соответствующая Градиентная Схема для аппроксимации (2) задается следующим образом: найти ${ Displaystyle и в X_ {D, 0}}$ такой, что

${ displaystyle quad (3) qquad qquad forall v in X_ {D, 0}, qquad int _ { Omega} nabla _ {D} u (x) cdot nabla _ {D } v (x) dx = int _ { Omega} f (x) Pi _ {D} v (x) dx.}$

В этом случае GDM является несоответствующим методом аппроксимации (2), который включает в себя метод несоответствующих конечных элементов. Обратите внимание, что обратное неверно в том смысле, что структура GDM включает такие методы, что функция ${ displaystyle nabla _ {D} u}$ не может быть вычислено из функции ${ displaystyle Pi _ {D} u}$.

Следующая оценка погрешности, вдохновленная второй леммой Г. Стрэнга,^[5] держит

${ displaystyle quad (4) qquad qquad W_ {D} ( nabla { overline {u}}) leq Vert nabla { overline {u}} - nabla _ {D} u_ {D } Vert _ {L ^ {2} ( Omega) ^ {d}} leq W_ {D} ( nabla { overline {u}}) + 2S_ {D} ({ overline {u}}) ,}$

и

${ Displaystyle quad (5) qquad qquad Vert { overline {u}} - Pi _ {D} u_ {D} Vert _ {L ^ {2} ( Omega)} leq C_ { D} W_ {D} ( nabla { overline {u}}) + (C_ {D} +1) S_ {D} ({ overline {u}}),}$

определение:

${ Displaystyle quad (6) qquad qquad C_ {D} = max _ {v in X_ {D, 0} setminus {0 }} { frac { Vert Pi _ {D} v Vert _ {L ^ {2} ( Omega)}} { Vert nabla _ {D} v Vert _ {L ^ {2} ( Omega) ^ {d}}}},},}$

который измеряет коэрцитивность (дискретная постоянная Пуанкаре),

${ Displaystyle quad (7) qquad qquad forall varphi in H_ {0} ^ {1} ( Omega), , S_ {D} ( varphi) = min _ {v in X_ {D, 0}} left ( Vert Pi _ {D} v- varphi Vert _ {L ^ {2} ( Omega)} + Vert nabla _ {D} v- nabla varphi Vert _ {L ^ {2} ( Omega) ^ {d}} right),}$

который измеряет ошибку интерполяции,

${ displaystyle quad (8) qquad qquad forall varphi in H _ { operatorname {div}} ( Omega), , W_ {D} ( varphi) = max _ {v in X_ {D, 0} setminus {0 }} { frac { left | int _ { Omega} left ( nabla _ {D} v (x) cdot varphi (x) + Pi _ {D} v (x) operatorname {div} varphi (x) right) , dx right |} { Vert nabla _ {D} v Vert _ {L ^ {2} ( Omega ) ^ {d}}}},}$

который измеряет дефект соответствия.

Обратите внимание, что могут быть получены следующие верхняя и нижняя границы ошибки аппроксимации:

${ displaystyle quad (9) qquad qquad { begin {align} && { frac {1} {2}} [S_ {D} ({ overline {u}}) + W_ {D} ( набла { overline {u}})] & leq & Vert { overline {u}} - Pi _ {D} u_ {D} Vert _ {L ^ {2} ( Omega)} + Vert nabla { overline {u}} - nabla _ {D} u_ {D} Vert _ {L ^ {2} ( Omega) ^ {d}} & leq & (C_ { D} +2) [S_ {D} ({ overline {u}}) + W_ {D} ( nabla { overline {u}})]. End {align}}}$

Тогда основными свойствами, которые необходимы и достаточны для сходимости метода, являются для семейства GD коэрцитивность, GD-согласованность и свойства предельного соответствия, как определено в следующем разделе. В более общем плане этих трех основных свойств достаточно, чтобы доказать сходимость GDM для линейных задач и некоторых нелинейных задач, таких как ${ displaystyle p}$-Проблема Лапласа. Для нелинейных задач, таких как нелинейная диффузия, вырожденные параболические задачи ..., мы добавляем в следующем разделе два других основных свойства, которые могут потребоваться.

Основные свойства, позволяющие конвергенцию GDM

Позволять ${ displaystyle (D_ {m}) _ {m in mathbb {N}}}$ быть семейством GD, определенным как указано выше (обычно связанным с последовательностью регулярных сеток, размер которых стремится к 0).

Коэрцитивность

Последовательность ${ displaystyle (C_ {D_ {m}}) _ {m in mathbb {N}}}$ (определяется формулой (6)) остается ограниченным.

GD-согласованность

Для всех ${ Displaystyle varphi в H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$, ${ Displaystyle lim _ {м к infty} S_ {D_ {m}} ( varphi) = 0}$ (определяется формулой (7)).

Предел-соответствие

Для всех ${ displaystyle varphi in H _ { operatorname {div}} ( Omega)}$, ${ Displaystyle lim _ {м к infty} W_ {D_ {m}} ( varphi) = 0}$ (определяется формулой (8)). Это свойство подразумевает свойство коэрцитивности.

Компактность (необходима для некоторых нелинейных задач)

Для всей последовательности ${ Displaystyle (и_ {м}) _ {м в mathbb {N}}}$ такой, что ${ displaystyle u_ {m} in X_ {D_ {m}, 0}}$ для всех ${ displaystyle m in mathbb {N}}$ и ${ displaystyle ( Vert u_ {m} Vert _ {D_ {m}}) _ {m in mathbb {N}}}$ ограничена, то последовательность ${ displaystyle ( Pi _ {D_ {m}} u_ {m}) _ {m in mathbb {N}}}$ относительно компактен в ${ Displaystyle L ^ {2} ( Omega)}$ (это свойство подразумевает свойство коэрцитивности).

Кусочно-постоянная реконструкция (требуется для некоторых нелинейных задач)

Позволять ${ Displaystyle D = (X_ {D, 0}, Pi _ {D}, nabla _ {D})}$ - градиентная дискретизация, как определено выше. ${ displaystyle Pi _ {D}}$ является кусочно-постоянной реконструкцией, если существует базис ${ Displaystyle (е_ {я}) _ {я в Б}}$ из ${ displaystyle X_ {D, 0}}$ и семейство непересекающихся подмножеств ${ displaystyle ( Omega _ {я}) _ {я in B}}$ из ${ displaystyle Omega}$ такой, что ${ displaystyle Pi _ {D} u = sum _ {i in B} u_ {i} chi _ { Omega _ {i}}}$ для всех ${ displaystyle u = sum _ {i in B} u_ {i} e_ {i} in X_ {D, 0}}$, куда ${ displaystyle chi _ { Omega _ {i}}}$ - характеристическая функция ${ displaystyle Omega _ {i}}$.

Некоторые нелинейные задачи с полными доказательствами сходимости GDM

Мы рассматриваем некоторые проблемы, для которых можно доказать, что GDM сходится, когда выполняются указанные выше основные свойства.

Нелинейные стационарные задачи диффузии

${ displaystyle quad qquad qquad - operatorname {div} ( Lambda ({ overline {u}}) nabla { overline {u}}) = f}$

В этом случае GDM сходится по свойствам коэрцитивности, GD-согласованности, предельного соответствия и компактности.

п-Проблема Лапласа для п > 1

${ displaystyle quad qquad qquad - operatorname {div} (| nabla { overline {u}} | ^ {p-2} nabla { overline {u}}) = f}$

В этом случае необходимо записать основные свойства, заменив ${ Displaystyle L ^ {2} ( Omega)}$ к ${ Displaystyle L ^ {p} ( Omega)}$, ${ displaystyle H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$ к ${ Displaystyle W_ {0} ^ {1, p} ( Omega)}$ и ${ displaystyle H _ { operatorname {div}} ( Omega)}$ к ${ Displaystyle W _ { OperatorName {div}} ^ {p '} ( Omega)}$ с ${ displaystyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {p '}} = 1}$, а GDM сходится только при наличии свойств коэрцитивности, GD-согласованности и предельного соответствия.

Линейное и нелинейное уравнение теплопроводности

${ displaystyle quad qquad qquad partial _ {t} { overline {u}} - operatorname {div} ( Lambda ({ overline {u}}) nabla { overline {u}}) = f}$

В этом случае GDM сходится по свойствам коэрцитивности, GD-согласованности (адаптированной для задач пространства-времени), предельной согласованности и компактности (для нелинейного случая).

Вырожденные параболические задачи

Предположить, что ${ displaystyle beta}$ и ${ displaystyle zeta}$ являются неубывающими липшицевыми функциями:

${ displaystyle quad qquad qquad partial _ {t} beta ({ overline {u}}) - Delta zeta ({ overline {u}}) = f}$

Обратите внимание, что для этой задачи требуется свойство кусочно-постоянной реконструкции, в дополнение к коэрцитивности, GD-согласованности (адаптированной к задачам пространства-времени), свойствам предельного соответствия и компактности.

Обзор некоторых численных методов, являющихся GDM

Все перечисленные ниже методы удовлетворяют первым четырем основным свойствам GDM (коэрцитивность, GD-согласованность, предельное соответствие, компактность), а в некоторых случаях и пятому (кусочно-постоянная реконструкция).

Методы Галеркина и соответствующие методы конечных элементов

Позволять ${ Displaystyle V_ {ч} подмножество H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$ быть натянутым на конечный базис ${ Displaystyle ( psi _ {я}) _ {я в I}}$. В Метод Галеркина в ${ displaystyle V_ {h}}$ идентичен GDM, где определяется

• ${ displaystyle X_ {D, 0} = {u = (u_ {i}) _ {i in I} } = mathbb {R} ^ {I},}$
• ${ displaystyle Pi _ {D} u = sum _ {i in I} u_ {i} psi _ {i}}$
• ${ displaystyle nabla _ {D} u = sum _ {i in I} u_ {i} nabla psi _ {i}.}$

В этом случае, ${ displaystyle C_ {D}}$ - константа, входящая в непрерывное неравенство Пуанкаре, и для всех ${ displaystyle varphi in H _ { operatorname {div}} ( Omega)}$, ${ Displaystyle W_ {D} ( varphi) = 0}$ (определяется формулой (8)). Тогда (4) и (5) вытекают из Лемма Сеа.

"Сосредоточенная масса" ${ displaystyle P ^ {1}}$ Случай конечных элементов входит в структуру GDM, заменяя ${ displaystyle Pi _ {D} u}$ к ${ displaystyle { widetilde { Pi}} _ {D} u = sum _ {i in I} u_ {i} chi _ { Omega _ {i}}}$, куда ${ displaystyle Omega _ {i}}$ является двойственной клеткой с центром в вершине, индексированной ${ displaystyle i in I}$. Использование массового сосредоточения позволяет получить свойство кусочно-постоянной реконструкции.

Несоответствующий конечный элемент

На сетке ${ displaystyle T}$ который является согласованным набором симплексов ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$, несоответствующие ${ displaystyle P ^ {1}}$ конечные элементы определяются базисом ${ Displaystyle ( psi _ {я}) _ {я в I}}$ функций, аффинных в любых ${ displaystyle K in T}$, и значение которого в центре тяжести одной заданной грани сетки равно 1 и 0 на всех остальных (эти конечные элементы используются в [Crouzeix и другие]^[6] для приближения Стокса и Уравнения Навье-Стокса ). Затем метод попадает в структуру GDM с тем же определением, что и в случае метода Галеркина, за исключением того, что ${ displaystyle nabla psi _ {i}}$ следует понимать как «ломаный градиент» ${ displaystyle psi _ {я}}$, в том смысле, что это кусочно-постоянная функция, равная в каждом симплексе градиенту аффинной функции в симплексе.

Смешанный конечный элемент

В смешанный метод конечных элементов состоит в определении двух дискретных пространств, одно для приближения ${ displaystyle nabla { overline {u}}}$ и еще один для ${ displaystyle { overline {u}}}$.^[7] Для определения GDM достаточно использовать дискретные соотношения между этими приближениями. Используя низкую степень Базисные функции Равьяра – Томаса позволяет получить свойство кусочно-постоянной реконструкции.

Разрывный метод Галеркина

Разрывный метод Галеркина заключается в аппроксимации задач кусочно-полиномиальной функцией без требований к переходам от одного элемента к другому.^[8] Он включен в структуру GDM путем включения в дискретный градиент члена скачка, действующего как регуляризация градиента в смысле распределения.

Миметический метод конечных разностей и узловой миметический метод конечных разностей

Это семейство методов было введено [Brezzi и другие]^[9] и завершено в [Липников и другие].^[10] Он позволяет аппроксимировать эллиптические задачи с использованием большого класса многогранных сеток. Доказательство того, что он входит в структуру GDM, сделано в [Droniou и другие].^[2]

Смотрите также

• Метод конечных элементов

Рекомендации

внешняя ссылка

• Метод градиентной дискретизации Жерома Дрониу, Роберта Эймара, Тьерри Галлуэ, Синди Гишар и Рафаэль Эрбин