Многосеточный метод - Multigrid method

В числовой анализ, а многосеточный метод (Метод MG) является алгоритм для решения дифференциальные уравнения используя иерархия из дискретизации. Они являются примером класса техник, называемых методы с несколькими разрешениями, очень полезно в проблемах с выставлением несколько шкал поведения. Например, многие базовые методы релаксации демонстрируют разные скорости сходимости для коротковолновых и длинноволновых компонентов, что предполагает, что эти разные масштабы следует рассматривать по-разному, как в Анализ Фурье подход к многосетке.^[1] Методы MG могут использоваться как решатели, а также предварительные кондиционеры.

Основная идея многосеточной сети заключается в ускорении сходимости базового итерационного метода (известного как релаксация, который обычно снижает коротковолновую ошибку) за счет Глобальный корректировка аппроксимации решения на мелкой сетке время от времени, осуществляемая путем решения грубая проблема. Грубая задача, хотя и дешевле в решении, похожа на проблему с мелкой сеткой в том, что она также имеет коротковолновые и длинноволновые ошибки. Эту проблему также можно решить, сочетая расслабление и обращение к еще более грубым сеткам. Этот рекурсивный процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута сетка, в которой стоимость прямого решения ничтожна по сравнению со стоимостью одной развертки релаксации на мелкой сетке. Этот многосеточный цикл обычно уменьшает все компоненты ошибки на фиксированную величину, значительно меньшую единицы, независимо от размера ячеек мелкой сетки. Типичное применение многосеточных сетей - численное решение эллиптические уравнения в частных производных в двух или более измерениях.^[2]

Многосеточные методы могут применяться в сочетании с любыми обычными методами дискретизации. Например, метод конечных элементов может быть преобразован в многосеточный метод.^[3] В этих случаях многосеточные методы являются одними из самых быстрых методов решения, известных сегодня. В отличие от других методов, многосеточные методы являются общими тем, что они могут обрабатывать произвольные области и граничные условия. Они не зависят от разделимость уравнений или другие особые свойства уравнения. Они также широко использовались для более сложных несимметричных и нелинейных систем уравнений, таких как Уравнения Ламе из эластичность или Уравнения Навье-Стокса.^[4]

Алгоритм

Визуализация итеративного алгоритма Multigrid для быстрой O (n) сходимости.

Существует множество вариаций многосеточных алгоритмов, но общие черты заключаются в том, что иерархия дискретизации (сетки). Важные шаги:^[5]^[6]

Сглаживание - уменьшение высокочастотных ошибок, например, использование нескольких итерации из Метод Гаусса – Зейделя.
Остаточные вычисления - вычисления остаточная ошибка после операции сглаживания.
Ограничение - понижающая дискретизация остаточный погрешность в более грубую сетку.
Интерполяция или же продление - интерполяция поправки, вычисленной на более грубой сетке, на более мелкую сетку.
Исправление - Добавление продольной более крупной сетки на более мелкую сетку.

Существует множество вариантов многосеточных методов с различными компромиссами между скоростью решения одной итерации и скоростью сходимости с указанной итерацией. Три основных типа - это V-цикл, F-цикл и W-цикл. Для дискретная 2D задача, F-Cycle требует на 83% больше времени для вычисления, чем итерация V-Cycle, а итерация W-Cycle занимает на 125% больше. Если проблема возникает в трехмерной области, то итерация F-цикла и итерация W-цикла занимают примерно на 64% и 75% больше времени соответственно, чем итерация V-цикла без учета накладные расходы. Как правило, W-Cycle дает сходство с F-Cycle. Однако в случаях конвекция-диффузия проблемы с высоким Числа Пекле, W-Cycle может показать превосходство по скорости сходимости на итерацию над F-Cycle. Выбор операторов сглаживания чрезвычайно разнообразен, так как они включают Крыловское подпространство методы и могут быть предварительно подготовленный.

Любая итерация геометрического многосеточного цикла выполняется в иерархии сеток и, следовательно, может быть закодирована с использованием рекурсии. Поскольку функция вызывает себя с параметрами меньшего размера (грубее), самая грубая сетка - это то место, где рекурсия останавливается. В случаях, когда система имеет высокий номер условия, процедура коррекции модифицируется таким образом, что только часть продолженного решения с более крупной сеткой добавляется на более мелкую сетку.

Эти шаги могут использоваться, как показано в псевдокоде стиля MATLAB для 1 итерации V-цикл Multigrid:

функцияфи =V_Cycle(фи, ф, ч)	% Рекурсивный V-Cycle Multigrid для решения уравнения Пуассона ( nabla ^ 2 phi = f) на равномерной сетке с шагом h	% Предварительного сглаживания	фи = сглаживание(фи,ж,час);		% Остаточных ошибок вычислений	р = остаточный(фи,ж,час);		% Ограничение	rhs = ограничение(р);	eps = нули(размер(rhs));	% остановить рекурсию при наименьшем размере сетки, в противном случае продолжить рекурсиюесли smallest_grid_size_is_achaught        	eps = сглаживание(eps,rhs,2*час);еще         	eps = V_Cycle (eps, rhs, 2 * h);конец		% Продление и коррекция	фи = фи + продление(eps);		% Пост-сглаживания	фи = сглаживание(фи,ж,час);конец

Следующее представляет Многосеточный F-цикл. Этот многосеточный цикл медленнее, чем V-цикл на итерацию, но приводит к более быстрой сходимости.

функцияфи =F_Cycle(фи, ф, ч)	% Рекурсивная многосетка с F-циклами для решения уравнения Пуассона ( nabla ^ 2 phi = f) на равномерной сетке с шагом h	% Предварительное сглаживание	фи = сглаживание(фи,ж,час);		% Остаточных ошибок вычислений	р = остаточный(фи,ж,час);		% Ограничение	rhs = ограничение(р);	eps = нули(размер(rhs));	% остановить рекурсию при наименьшем размере сетки, в противном случае продолжить рекурсиюесли smallest_grid_size_is_achaught        	eps = сглаживание(eps,rhs,2*час);еще         	eps = F_Cycle (eps, rhs, 2 * h);конец		% Продление и коррекция	фи = фи + продление(eps);		% Повторное сглаживание	фи = сглаживание(фи,ж,час);	% Расчет остаточных ошибок	р = остаточный(фи,ж,час);		% Ограничение	rhs = ограничение(р);	% остановить рекурсию при наименьшем размере сетки, в противном случае продолжить рекурсиюесли smallest_grid_size_is_achaught        	eps = сглаживание(eps,rhs,2*час);еще         	eps = V_Cycle (eps, rhs, 2 * h);конец		% Продление и коррекция	фи = фи + продление(eps);		% Пост-сглаживание	фи = сглаживание(фи,ж,час);конец

Подобным образом процедуры могут быть изменены, как показано в псевдокоде стиля MATLAB для 1 итерации Многосеточный цикл W для еще более высокой скорости сходимости в некоторых случаях:

функцияфи =W_cycle(фи, ф, ч)	% Рекурсивная многосетка с W-циклами для решения уравнения Пуассона ( nabla ^ 2 phi = f) на равномерной сетке с шагом h	% Предварительное сглаживание	фи = сглаживание(фи,ж,час);		% Остаточных ошибок вычислений	р = остаточный(фи,ж,час);		% Ограничение	rhs = ограничение(р);	eps = нули(размер(rhs));	% остановить рекурсию при наименьшем размере сетки, в противном случае продолжить рекурсиюесли smallest_grid_size_is_achaught        	eps = сглаживание(eps,rhs,2*час);еще         	eps = W_cycle (eps, rhs, 2 * h);конец		% Продление и коррекция	фи = фи + продление(eps);		% Повторное сглаживание	фи = сглаживание(фи,ж,час);	% Расчет остаточных ошибок	р = остаточный(фи,ж,час);		% Ограничение	rhs = ограничение(р);	% остановить рекурсию при наименьшем размере сетки, в противном случае продолжить рекурсиюесли smallest_grid_size_is_achaught        	eps = сглаживание(eps,rhs,2*час);еще         	eps = W_cycle (eps, rhs, 2 * h);конец		% Продление и коррекция	фи = фи + продление(eps);		% Пост-сглаживание	фи = сглаживание(фи,ж,час);конец

Вычислительная стоимость

Предполагая двумерную постановку задачи, вычисления перемещаются по иерархии сетки по-разному для различных многосеточных циклов.

Этот подход имеет преимущество перед другими методами в том, что он часто линейно масштабируется с количеством используемых дискретных узлов. Другими словами, он может решить эти проблемы с заданной точностью за количество операций, пропорциональное количеству неизвестных.

Предположим, что имеется дифференциальное уравнение, которое можно решить приближенно (с заданной точностью) на сетке ${ displaystyle i}$ с заданной плотностью точек сетки ${ displaystyle N_ {i}}$ . Кроме того, предположим, что решение на любой сетке ${ displaystyle N_ {i}}$ можно получить с заданными усилиями ${ displaystyle W_ {i} = rho KN_ {i}}$ из раствора на более крупной сетке ${ displaystyle i + 1}$ . Здесь, ${ Displaystyle rho = N_ {я + 1} / N_ {я} <1}$ - это отношение узлов сетки на "соседних" сетках, которое предполагается постоянным по всей иерархии сетки, и ${ displaystyle K}$ представляет собой некоторое постоянное моделирование усилий по вычислению результата для одной точки сетки.

Затем получается следующее рекуррентное соотношение для попытки получить решение на сетке ${ displaystyle k}$ :

{ Displaystyle W_ {k} = W_ {k + 1} + rho KN_ {k}}

Пример скорости сходимости многосеточных циклов по сравнению с другими операторами сглаживания.

В частности, мы находим для самой тонкой сетки ${ displaystyle N_ {1}}$ который

{ Displaystyle W_ {1} = W_ {2} + rho KN_ {1}}

Комбинируя эти два выражения (и используя ${ Displaystyle N_ {k} = rho ^ {k-1} N_ {1}}$ ) дает

{ Displaystyle W_ {1} = KN_ {1} sum _ {p = 0} ^ {n} rho ^ {p}}

С использованием геометрическая серия, затем находим (для конечных ${ displaystyle n}$ )

{ Displaystyle W_ {1}

то есть решение может быть получено в ${ Displaystyle О (Н)}$ время. Следует отметить, что есть одно исключение из ${ Displaystyle О (Н)}$ то есть многосеточный W-цикл, используемый для решения одномерной задачи; это приведет к ${ Displaystyle O (Nlog (N))}$ сложность.

Предварительная подготовка многосеточных сетей

Многосеточный метод с намеренно сниженным допуском может использоваться как эффективный предварительный кондиционер для внешнего итеративного решателя, например,^[7] Решение еще можно получить в ${ Displaystyle О (Н)}$ времени, а также в случае, когда в качестве решателя используется многосеточный метод. Многосеточная предварительная подготовка используется на практике даже для линейных систем, обычно с одним циклом на итерацию, например, в Hypre. Его основное преимущество по сравнению с чисто многосеточным решателем особенно очевидно для нелинейных задач, например, собственное значение проблемы.

Если матрица исходного уравнения или задачи на собственные значения является симметричной положительно определенной (SPD), то предобуславливатель также обычно строится как SPD, так что стандартный сопряженный градиент (CG) итерационные методы все еще можно использовать. Такие наложенные ограничения SPD могут усложнить построение модуля предварительной обработки, например, требуя скоординированного предварительного и последующего сглаживания. Тем не мение, предварительно подготовленный крутой спуск и гибкие методы компьютерной графики для линейных систем SPD и LOBPCG для симметричных задач на собственные значения все показаны^[8] быть устойчивым, если предварительное кондиционирование не является SPD.

Предварительный кондиционер Bramble – Pasciak – Xu

Первоначально описано в Ph.D. Сюй. Тезис ^[9]и позже опубликовано в Bramble-Pasciak-Xu,^[10] BPX-preconditioner - это один из двух основных многосеточных подходов (другой - классический многосеточный алгоритм, такой как V-цикл) для решения крупномасштабных алгебраических систем, которые возникают в результате дискретизации моделей в науке и технике, описываемых уравнениями в частных производных. Принимая во внимание структуру коррекции подпространства,^[11] Блок предварительной обработки BPX - это метод коррекции параллельного подпространства, в котором классический V-цикл является методом последовательной коррекции подпространства. Предобуславливатель BPX, как известно, является более параллельным и в некоторых приложениях более надежным, чем классический многосеточный метод V-цикла. Метод широко используется исследователями и практиками с 1990 года.

Обобщенные многосеточные методы

Многосеточные методы можно обобщить по-разному. Их можно применять естественным образом в пошаговом решении параболические уравнения в частных производных, или их можно применять непосредственно к зависящим от времени уравнения в частных производных.^[12] Исследования многоуровневых методик для гиперболические уравнения в частных производных В процессе.^[13] Многосеточные методы также могут применяться к интегральные уравнения, или для проблем в статистическая физика.^[14]

Другой набор методов множественного разрешения основан на вейвлеты. Эти вейвлет-методы можно комбинировать с многосеточными методами.^[15]^[16] Например, одним из применений вейвлетов является переформулирование подхода конечных элементов в терминах многоуровневого метода.^[17]

Адаптивный многосеточный экспонаты адаптивное уточнение сетки, то есть он регулирует сетку по мере выполнения вычислений способом, зависящим от самого вычисления.^[18] Идея состоит в том, чтобы увеличить разрешение сетки только в тех областях решения, где это необходимо.

Алгебраическая многосетка (AMG)

Практически важные расширения многосеточных методов включают методы, в которых для построения многоуровневой иерархии не используются уравнения в частных производных или геометрические проблемы.^[19] Такой алгебраические многосеточные методы (AMG) строят свою иерархию операторов непосредственно из системной матрицы. В классическом AMG уровни иерархии - это просто подмножества неизвестных без какой-либо геометрической интерпретации. (В более общем смысле, неизвестные с крупной сеткой могут быть конкретными линейными комбинациями неизвестных с мелкой сеткой.) Таким образом, методы AMG становятся решателями черного ящика для определенных классов разреженные матрицы. AMG считается выгодным в основном там, где сложно применить геометрическую многосетку,^[20] но часто используется просто потому, что позволяет избежать кодирования, необходимого для настоящей многосеточной реализации. Хотя классический AMG был разработан первым, связанный алгебраический метод известен как сглаженное агрегирование (SA).

В недавнем обзорном документе ^[21] Цзиньчао Сюй и Людмил Зикатанов понимают "алгебраические многосеточные" методы с абстрактной точки зрения. Они разработали единую структуру, и существующие алгебраические многосеточные методы могут быть последовательно выведены. Была получена абстрактная теория о том, как построить оптимальное грубое пространство, а также квазиоптимальные пространства. Кроме того, они доказали, что при соответствующих предположениях абстрактный двухуровневый метод AMG сходится равномерно относительно размера линейной системы, вариации коэффициентов и анизотропии. Их абстрактная структура охватывает большинство существующих методов AMG, таких как классический AMG, AMG с минимизацией энергии, AMG с несглаженным и сглаженным агрегированием и спектральный AMGe.

Многосеточные по времени методы

Многосеточные методы также были приняты для решения проблемы начального значения.^[22]Особый интерес здесь представляют многосеточные методы, работающие параллельно во времени:^[23]в отличие от классических Рунге-Кутта или же линейный многоступенчатый методы, которые они могут предложить параллелизм во временном направлении. Парареальный Метод параллельной по времени интеграции также можно переформулировать как двухуровневую многосеточную систему по времени.

Multigrid для почти особых проблем

Практически единичные проблемы возникают в ряде важных физических и технических приложений. Простой, но важный пример почти сингулярных задач можно найти в формулировке смещения линейная эластичность для почти несжимаемых материалов. Как правило, основная проблема решения таких почти сингулярных систем сводится к рассмотрению почти сингулярного оператора, задаваемого формулой ${ displaystyle A + varepsilon M}$ робастно относительно положительного, но малого параметра ${ displaystyle varepsilon}$ . Здесь ${ displaystyle A}$ симметричен полуопределенный оператор с большим пустое пространство, пока ${ displaystyle M}$ симметричный положительно определенный оператор. Было проведено множество работ, направленных на создание надежного и быстрого многосеточного метода для решения таких почти особых проблем. Общее руководство было предоставлено в качестве принципа проектирования для достижения параметров (например, размера ячейки и физических параметров, таких как Коэффициент Пуассона которые появляются в почти сингулярном операторе) независимая скорость сходимости многосеточного метода, примененного к таким почти сингулярным системам,^[24] т. е. в каждой сетке пространственное разложение, на основе которого применяется сглаживание, должно быть построено так, чтобы нулевое пространство особой части почти сингулярного оператора было включено в сумму локальных нулевых пространств, пересечение нулевого пространства и локальных пространств, полученных в результате разложения пространства.

Примечания

^ Роман Винандс; Вольфганг Йоппих (2005). Практический анализ Фурье для многосеточных методов. CRC Press. п. 17. ISBN 978-1-58488-492-7.
^ У. Троттенберг; К. В. Остерли; А. Шюллер (2001). Многосеточный. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-701070-0.
^ Ю Чжу; Андреас К. Канжелларис (2006). Многосеточные методы конечных элементов для моделирования электромагнитного поля. Вайли. п. 132 ff. ISBN 978-0-471-74110-7.
^ Шах, Тасним Мохаммад (1989). Анализ многосеточного метода (Тезис). Оксфордский университет. Bibcode:1989STIN ... 9123418S.
^ М. Т. Хит (2002). «Раздел 11.5.7 Многосеточные методы». Научные вычисления: вводный обзор. McGraw-Hill Высшее образование. п. 478 ff. ISBN 978-0-07-112229-0.
^ П. Весселинг (1992). Введение в многосеточные методы. Вайли. ISBN 978-0-471-93083-9.
^ Андрей В Князев, Клаус Неймейр. Эффективное решение симметричных задач на собственные значения с использованием многосеточных предобуславливателей в локально оптимальном блочном методе сопряженных градиентов. Электронные транзакции по численному анализу, 15, 38–55, 2003. http://emis.ams.org/journals/ETNA/vol.15.2003/pp38-55.dir/pp38-55.pdf
^ Хенрикус Боумистер, Эндрю Догерти, Эндрю В. Князев. Несимметричное предварительное кондиционирование для методов сопряженного градиента и наискорейшего спуска. Процедуры информатики, том 51, страницы 276–285, Elsevier, 2015. https://doi.org/10.1016/j.procs.2015.05.241
^ Сюй, Цзиньчао. Теория многоуровневых методов. Vol. 8924558. Итака, Нью-Йорк: Корнельский университет, 1989.
^ Брамбл, Джеймс Х., Джозеф Э. Пашиак и Цзиньчао Сюй. «Параллельные многоуровневые прекондиционеры». Математика вычислений 55, вып. 191 (1990): 1-22.
^ Сюй, Цзиньчао. «Итерационные методы декомпозиции пространства и коррекции подпространства». SIAM обзор 34, нет. 4 (1992): 581-613.
^ Ф. Хюльземанн; М. Коварщик; М. Мор; У. Рюде (2006). «Параллельно-геометрическая многосетка». В Аре Магнус Брузет; Аслак Твейто (ред.). Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных на параллельных компьютерах. Birkhäuser. п. 165. ISBN 978-3-540-29076-6.
^ Например, Я. Блажек (2001). Вычислительная гидродинамика: принципы и приложения. Эльзевир. п. 305. ISBN 978-0-08-043009-6. и Ачи Брандт и Рима Гандлин (2003). "Multigrid для ассимиляции атмосферных данных: анализ". В Томас Ю. Хоу; Эйтан Тадмор (ред.). Гиперболические проблемы: теория, числа, приложения: материалы Девятой Международной конференции по гиперболическим проблемам 2002 г.. Springer. п. 369. ISBN 978-3-540-44333-9.
^ Ачи Брандт (2002). «Мультимасштабные научные вычисления: обзор». У Тимоти Дж. Барта; Тони Чан; Роберт Хеймс (ред.). Многомасштабные и многомасштабные методы: теория и приложения. Springer. п. 53. ISBN 978-3-540-42420-8.
^ Бьёрн Энгквист; Олоф Рунборг (2002). «Численное усреднение на основе вейвлетов с приложениями». У Тимоти Дж. Барта; Тони Чан; Роберт Хеймс (ред.). Мультимасштабные и множественные методы разрешения. Vol. 20 конспектов лекций по вычислительным наукам и технике. Springer. п. 140 ff. ISBN 978-3-540-42420-8.
^ У. Троттенберг; К. В. Остерли; А. Шюллер (2001). Многосеточный. ISBN 978-0-12-701070-0.
^ Альберт Коэн (2003). Численный анализ вейвлет-методов. Эльзевир. п. 44. ISBN 978-0-444-51124-9.
^ У. Троттенберг; К. В. Остерли; А. Шюллер (2001). «Глава 9: Адаптивная многосеточная сеть». Многосеточный. п. 356. ISBN 978-0-12-701070-0.
^ Яир Шапира (2003). «Алгебраическая многосетка». Матричная мультисетка: теория и приложения. Springer. п. 66. ISBN 978-1-4020-7485-1.
^ У. Троттенберг; К. В. Остерли; А. Шюллер (2001). Многосеточный. п. 417. ISBN 978-0-12-701070-0.
^ Сюй Дж. И Зикатанов Л., 2017. Алгебраические многосеточные методы. Acta Numerica, 26, стр. 591-721.
^ Хакбуш, Вольфганг (1985). «Параболические многосеточные методы». Вычислительные методы в прикладных науках и технике, VI: 189–197. Получено 1 августа 2015.
^ Хортон, Грэм (1992). «Параллельный во времени многосеточный метод». Коммуникации в прикладных численных методах. 8 (9): 585–595. Дои:10.1002 / cnm.1630080906.
^ Юн-Джу Ли, Цзиньбяо Ву, Цзиньчао Сю и Людмил Зикатанов, Робастные методы подпространственной коррекции для почти сингулярных систем, математические модели и методы в прикладных науках, Vol. 17, No 11, стр. 1937-1963 (2007)

внешняя ссылка

[1] Роман Винандс; Вольфганг Йоппих (2005). Практический анализ Фурье для многосеточных методов. CRC Press. п. 17. ISBN 978-1-58488-492-7.

[2] У. Троттенберг; К. В. Остерли; А. Шюллер (2001). Многосеточный. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-701070-0.

[3] Ю Чжу; Андреас К. Канжелларис (2006). Многосеточные методы конечных элементов для моделирования электромагнитного поля. Вайли. п. 132 ff. ISBN 978-0-471-74110-7.

[4] Шах, Тасним Мохаммад (1989). Анализ многосеточного метода (Тезис). Оксфордский университет. Bibcode:1989STIN ... 9123418S.

[5] М. Т. Хит (2002). «Раздел 11.5.7 Многосеточные методы». Научные вычисления: вводный обзор. McGraw-Hill Высшее образование. п. 478 ff. ISBN 978-0-07-112229-0.

[6] П. Весселинг (1992). Введение в многосеточные методы. Вайли. ISBN 978-0-471-93083-9.

[7] Андрей В Князев, Клаус Неймейр. Эффективное решение симметричных задач на собственные значения с использованием многосеточных предобуславливателей в локально оптимальном блочном методе сопряженных градиентов. Электронные транзакции по численному анализу, 15, 38–55, 2003. http://emis.ams.org/journals/ETNA/vol.15.2003/pp38-55.dir/pp38-55.pdf

[8] Хенрикус Боумистер, Эндрю Догерти, Эндрю В. Князев. Несимметричное предварительное кондиционирование для методов сопряженного градиента и наискорейшего спуска. Процедуры информатики, том 51, страницы 276–285, Elsevier, 2015. https://doi.org/10.1016/j.procs.2015.05.241

[9] Сюй, Цзиньчао. Теория многоуровневых методов. Vol. 8924558. Итака, Нью-Йорк: Корнельский университет, 1989.

[10] Брамбл, Джеймс Х., Джозеф Э. Пашиак и Цзиньчао Сюй. «Параллельные многоуровневые прекондиционеры». Математика вычислений 55, вып. 191 (1990): 1-22.

[11] Сюй, Цзиньчао. «Итерационные методы декомпозиции пространства и коррекции подпространства». SIAM обзор 34, нет. 4 (1992): 581-613.

[12] Ф. Хюльземанн; М. Коварщик; М. Мор; У. Рюде (2006). «Параллельно-геометрическая многосетка». В Аре Магнус Брузет; Аслак Твейто (ред.). Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных на параллельных компьютерах. Birkhäuser. п. 165. ISBN 978-3-540-29076-6.

[13] Например, Я. Блажек (2001). Вычислительная гидродинамика: принципы и приложения. Эльзевир. п. 305. ISBN 978-0-08-043009-6. и Ачи Брандт и Рима Гандлин (2003). "Multigrid для ассимиляции атмосферных данных: анализ". В Томас Ю. Хоу; Эйтан Тадмор (ред.). Гиперболические проблемы: теория, числа, приложения: материалы Девятой Международной конференции по гиперболическим проблемам 2002 г.. Springer. п. 369. ISBN 978-3-540-44333-9.

[14] Ачи Брандт (2002). «Мультимасштабные научные вычисления: обзор». У Тимоти Дж. Барта; Тони Чан; Роберт Хеймс (ред.). Многомасштабные и многомасштабные методы: теория и приложения. Springer. п. 53. ISBN 978-3-540-42420-8.

[15] Бьёрн Энгквист; Олоф Рунборг (2002). «Численное усреднение на основе вейвлетов с приложениями». У Тимоти Дж. Барта; Тони Чан; Роберт Хеймс (ред.). Мультимасштабные и множественные методы разрешения. Vol. 20 конспектов лекций по вычислительным наукам и технике. Springer. п. 140 ff. ISBN 978-3-540-42420-8.

[16] У. Троттенберг; К. В. Остерли; А. Шюллер (2001). Многосеточный. ISBN 978-0-12-701070-0.

[17] Альберт Коэн (2003). Численный анализ вейвлет-методов. Эльзевир. п. 44. ISBN 978-0-444-51124-9.

[18] У. Троттенберг; К. В. Остерли; А. Шюллер (2001). «Глава 9: Адаптивная многосеточная сеть». Многосеточный. п. 356. ISBN 978-0-12-701070-0.

[19] Яир Шапира (2003). «Алгебраическая многосетка». Матричная мультисетка: теория и приложения. Springer. п. 66. ISBN 978-1-4020-7485-1.

[20] У. Троттенберг; К. В. Остерли; А. Шюллер (2001). Многосеточный. п. 417. ISBN 978-0-12-701070-0.

[21] Сюй Дж. И Зикатанов Л., 2017. Алгебраические многосеточные методы. Acta Numerica, 26, стр. 591-721.

[22] Хакбуш, Вольфганг (1985). «Параболические многосеточные методы». Вычислительные методы в прикладных науках и технике, VI: 189–197. Получено 1 августа 2015.

[23] Хортон, Грэм (1992). «Параллельный во времени многосеточный метод». Коммуникации в прикладных численных методах. 8 (9): 585–595. Дои:10.1002 / cnm.1630080906.

[24] Юн-Джу Ли, Цзиньбяо Ву, Цзиньчао Сю и Людмил Зикатанов, Робастные методы подпространственной коррекции для почти сингулярных систем, математические модели и методы в прикладных науках, Vol. 17, No 11, стр. 1937-1963 (2007)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]