Схема против ветра - Upwind scheme

В вычислительная физика, схемы против ветра обозначают класс числовых дискретизация методы решения гиперболические уравнения в частных производных. В схемах против ветра используется адаптивный или чувствительный к решению конечная разница трафарет для численного моделирования направления распространения информации в поле потока. В схемах против ветра предпринимается попытка дискретизировать гиперболические уравнения в частных производных с использованием разности, смещенной в направлении, определяемом знаком характеристических скоростей. Исторически сложилось так, что происхождение методов против ветра можно проследить до работы Курант, Айзексон и Рис, предложившие метод CIR.^[1]

Уравнение модели

Чтобы проиллюстрировать метод, рассмотрим следующие одномерные линейные уравнение переноса

{displaystyle qquad {frac {partial u} {partial t}} + a {frac {partial u} {partial x}} = 0}

который описывает волну, распространяющуюся вдоль ${displaystyle x}$ -ось со скоростью ${displaystyle a}$ . Это уравнение также является математической моделью для одномерного линейного адвекция. Рассмотрим типичную точку сетки ${displaystyle i}$ в домене. В одномерной области только два направления связаны с точкой ${displaystyle i}$ - влево (в сторону отрицательной бесконечности) и вправо (в сторону положительной бесконечности). Если ${displaystyle a}$ положительно, решение бегущей волны приведенного выше уравнения распространяется вправо, в левую часть ${displaystyle i}$ называется против ветра сторона и правая сторона подветренный сторона. Аналогично, если ${displaystyle a}$ отрицательно, решение бегущей волны распространяется влево, левая часть называется подветренный сторона и правая сторона против ветра сторона. Если конечно-разностная схема для пространственной производной, ${displaystyle partial u / partial x}$ содержит больше точек с наветренной стороны, схема называется смещенный против ветра или просто схема против ветра.

Схема против ветра первого порядка

Моделирование схемы против ветра первого порядка, в которой а = грех (т).

Самая простая из возможных схем против ветра - это схема первого порядка против ветра. Это дается^[2]

{displaystyle quad (1) qquad {frac {u_ {i} ^ {n + 1} -u_ {i} ^ {n}} {Delta t}} + a {frac {u_ {i} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n}} {Delta x}} = 0quad {ext {for}} quad a> 0}

{displaystyle quad (2) qquad {frac {u_ {i} ^ {n + 1} -u_ {i} ^ {n}} {Delta t}} + a {frac {u_ {i + 1} ^ {n} -u_ {i} ^ {n}} {Delta x}} = 0quad {ext {for}} quad a <0}

Компактная форма

Определение

{displaystyle qquad qquad a ^ {+} = {ext {max}} (a, 0) ,, qquad a ^ {-} = {ext {min}} (a, 0)}

и

{displaystyle qquad qquad u_ {x} ^ {-} = {frac {u_ {i} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n}} {Delta x}} ,, qquad u_ {x} ^ { +} = {гидроразрыв {u_ {i + 1} ^ {n} -u_ {i} ^ {n}} {Delta x}}}

два условных уравнения (1) и (2) можно объединить и записать в компактной форме как

{displaystyle quad (3) qquad u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} -Delta tleft [a ^ {+} u_ {x} ^ {-} + a ^ {-} u_ {x} ^ {+} ight]}

Уравнение (3) - это общий способ написания любых схем против ветра.

Стабильность

Схема против ветра стабильный если следующее Условие Куранта – Фридрихса – Леви. (CFL) доволен.^[3]

{displaystyle qquad qquad c = left | {frac {aDelta t} {Delta x}} ight | leq 1.}

А Серия Тейлор Анализ схемы, описанной выше, показывает, что она имеет точность первого порядка в пространстве и времени. Модифицированный анализ волновых чисел показывает, что схема против ветра первого порядка привносит серьезные численное распространение / диссипация в растворе, где существуют большие градиенты из-за необходимости высоких волновых чисел для представления резких градиентов.

Схема против ветра второго порядка

Пространственная точность схемы против ветра первого порядка может быть улучшена за счет включения трех точек данных вместо двух, что обеспечивает более точный шаблон конечных разностей для аппроксимации пространственной производной. Для схемы против ветра второго порядка ${displaystyle u_ {x} ^ {-}}$ становится трехточечной обратной разницей в уравнении (3) и определяется как

{displaystyle qquad qquad u_ {x} ^ {-} = {frac {3u_ {i} ^ {n} -4u_ {i-1} ^ {n} + u_ {i-2} ^ {n}} {2Delta x }}}

и ${displaystyle u_ {x} ^ {+}}$ 3-х балльная прямая разница, определяемая как

{displaystyle qquad qquad u_ {x} ^ {+} = {frac {-u_ {i + 2} ^ {n} + 4u_ {i + 1} ^ {n} -3u_ {i} ^ {n}} {2Delta Икс}}}

Эта схема менее распространена по сравнению со схемой первого порядка точности и называется схемой линейного дифференцирования против ветра (LUD).

Схема против ветра третьего порядка

Для схемы против ветра третьего порядка ${displaystyle u_ {x} ^ {-}}$ в уравнении (3) определяется как

{displaystyle qquad qquad u_ {x} ^ {-} = {frac {2u_ {i + 1} ^ {n} + 3u_ {i} ^ {n} -6u_ {i-1} ^ {n} + u_ {i -2} ^ {n}} {6Delta x}}}

и ${displaystyle u_ {x} ^ {+}}$ определяется как

{displaystyle qquad qquad u_ {x} ^ {+} = {frac {-u_ {i + 2} ^ {n} + 6u_ {i + 1} ^ {n} -3u_ {i} ^ {n} -2u_ { i-1} ^ {n}} {6Delta x}}}

Эта схема менее диффузна по сравнению со схемой второго порядка точности. Однако известно, что в области высокого градиента возникают небольшие дисперсионные ошибки.

Смотрите также

использованная литература

^ Курант, Ричард; Исааксон, Э; Рис, М. (1952). «О решении нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа конечными разностями». Comm. Pure Appl. Математика. 5 (3): 243..255. Дои:10.1002 / cpa.3160050303.
^ Патанкар, С.В. (1980). Числовая передача тепла и поток жидкости. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-89116-522-4.
^ Хирш, К. (1990). Численный расчет внутренних и внешних потоков. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92452-4.

[1] Курант, Ричард; Исааксон, Э; Рис, М. (1952). «О решении нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа конечными разностями». Comm. Pure Appl. Математика. 5 (3): 243..255. Дои:10.1002 / cpa.3160050303.

[2] Патанкар, С.В. (1980). Числовая передача тепла и поток жидкости. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-89116-522-4.

[3] Хирш, К. (1990). Численный расчет внутренних и внешних потоков. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92452-4.

[1]

[2]

[3]