Итерационный метод - Википедия - Iterative method

В вычислительная математика, итерационный метод это математическая процедура который использует начальное значение для генерации последовательности улучшающих приближенных решений для класса задач, в котором п-е приближение выводится из предыдущих. Конкретная реализация итеративного метода, включая прекращение критериев, является алгоритм итерационного метода. Итерационный метод называется сходящийся если соответствующая последовательность сходится при заданных начальных приближениях. Обычно выполняется математически строгий анализ сходимости итерационного метода; тем не мение, эвристический -основанные итерационные методы также распространены.

В отличие, прямые методы попытка решить проблему конечной последовательностью операций. В отсутствие ошибки округления, прямые методы дадут точное решение (например, решение линейной системы уравнений ${ Displaystyle А mathbf {x} = mathbf {b}}$ к Гауссово исключение ). Итерационные методы часто являются единственным выбором для нелинейные уравнения. Однако итерационные методы часто полезны даже для линейных задач, включающих множество переменных (иногда порядка миллионов), где прямые методы были бы чрезмерно дорогими (а в некоторых случаях невозможными) даже при наилучшей доступной вычислительной мощности.^[1]

Привлекательные фиксированные точки

Если уравнение можно представить в виде ж(Икс) = Икс, и решение Икс привлекательный фиксированная точка функции ж, то можно начать с точки Икс₁ в бассейн притяжения из Икс, и разреши Икс_п+1 = ж(Икс_п) за п ≥ 1, а последовательность {Икс_п}_п ≥ 1 сойдется к решению Икс. Здесь Икс_п это пое приближение или итерация Икс и Икс_п+1 следующий или п + 1 итерация Икс. В качестве альтернативы, верхние индексы в круглых скобках часто используются в числовых методах, чтобы не мешать нижним индексам с другими значениями. (Например, Икс^(п+1) = ж(Икс^(п)).) Если функция ж является непрерывно дифференцируемый, достаточным условием сходимости является выполнение спектральный радиус производной строго ограничена единицей в окрестности неподвижной точки. Если это условие выполняется в неподвижной точке, то должна существовать достаточно малая окрестность (область притяжения).

Линейные системы

В случае система линейных уравнений, два основных класса итерационных методов - это стационарные итерационные методы, и более общий Крылова подпространство методы.

Стационарные итерационные методы

Вступление

Стационарные итерационные методы решают линейную систему с оператор приближение к исходному; и на основе измерения погрешности результата (остаточный ), образуют «уравнение коррекции», для которого этот процесс повторяется. Хотя эти методы просты в получении, реализации и анализе, сходимость гарантируется только для ограниченного класса матриц.

Определение

An итерационный метод определяется

{ Displaystyle mathbf {x} ^ {k + 1}: = Psi ( mathbf {x} ^ {k}) ,, quad k geq 0}

и для данной линейной системы ${ Displaystyle А mathbf {x} = mathbf {b}}$ с точным решением ${ Displaystyle mathbf {х} ^ {*}}$ то ошибка к

{ displaystyle mathbf {e} ^ {k}: = mathbf {x} ^ {k} - mathbf {x} ^ {*} ,, quad k geq 0 ,.}

Итерационный метод называется линейный если существует матрица ${ Displaystyle С ин mathbb {R} ^ {п раз п}}$ такой, что

{ displaystyle mathbf {e} ^ {k + 1} = C mathbf {e} ^ {k} quad forall , k geq 0}

и эта матрица называется матрица итераций.Итерационный метод с заданной матрицей итераций. ${ displaystyle C}$ называется сходящийся если выполняется следующее

{ displaystyle lim _ {k rightarrow infty} C ^ {k} = 0 ,.}

Важная теорема утверждает, что для данного итерационного метода и его итерационной матрицы ${ displaystyle C}$ он сходится тогда и только тогда, когда его спектральный радиус ${ displaystyle rho (C)}$ меньше единицы, то есть

{ Displaystyle rho (C) <1 ,.}

Основные итерационные методы работают по расщепление матрица ${ displaystyle A}$ в

{ displaystyle A = M-N}

и здесь матрица ${ displaystyle M}$ должно быть легко обратимый. Итерационные методы теперь определены как

{ Displaystyle M mathbf {x} ^ {k + 1} = N mathbf {x} ^ {k} + b ,, quad k geq 0 ,.}

Отсюда следует, что итерационная матрица имеет вид

{ Displaystyle C = I-M ^ {- 1} A = M ^ {- 1} N ,.}

Примеры

Базовые примеры стационарных итерационных методов используют разбиение матрицы ${ displaystyle A}$ Такие как

{ Displaystyle A = D + L + U ,, quad D: = { text {diag}} ((a_ {ii}) _ {i})}

куда ${ displaystyle D}$ это только диагональная часть ${ displaystyle A}$ , и ${ displaystyle L}$ это строгий нижний треугольная часть из ${ displaystyle A}$ .Соответственно, ${ displaystyle U}$ - строгая верхнетреугольная часть ${ displaystyle A}$ .

Метод Ричардсона: ${ Displaystyle M: = { гидроразрыва {1} { omega}} I quad ( omega neq 0)}$
Метод Якоби: ${ Displaystyle M: = D}$
Затухающий метод Якоби: ${ Displaystyle M: = { гидроразрыва {1} { omega}} D quad ( omega neq 0)}$
Метод Гаусса – Зейделя: ${ Displaystyle M: = D + L}$
Метод последовательного чрезмерного расслабления (SOR): ${ Displaystyle M: = { гидроразрыва {1} { omega}} D + L quad ( omega neq 0)}$
Симметричное последовательное чрезмерное расслабление (SSOR): ${ Displaystyle M: = { гидроразрыва {1} { omega (2- omega)}} (D + omega L) D ^ {- 1} (D + omega U) quad ( omega neq { 0,2 })}$

Линейные стационарные итерационные методы также называют методы релаксации.

Методы подпространства Крылова

Крыловское подпространство методы работают, формируя основа последовательности последовательных степеней матрицы, умноженной на начальную невязку ( Крылова последовательность). Затем формируются приближения к решению путем минимизации невязки по сформированному подпространству. Прототипным методом в этом классе является метод сопряженных градиентов (CG) который предполагает, что матрица системы ${ displaystyle A}$ является симметричный положительно определенный.Для симметричных (и, возможно, неопределенных) ${ displaystyle A}$ один работает с метод минимальной невязки (MINRES). В случае даже несимметричных матричных методов, таких как обобщенный метод минимальной невязки (GMRES) и метод двусопряженных градиентов (BiCG).

Сходимость методов подпространства Крылова

Поскольку эти методы составляют основу, очевидно, что метод сходится в N итераций, где N размер системы. Однако при наличии ошибок округления это утверждение не выполняется; кроме того, на практике N может быть очень большим, и итерационный процесс достигает достаточной точности уже намного раньше. Анализ этих методов труден, в зависимости от сложной функции спектр оператора.

Прекондиционеры

Аппроксимирующий оператор, который появляется в стационарных итерационных методах, также может быть включен в Методы подпространства Крылова Такие как GMRES (альтернативно, предварительно подготовленный Методы Крылова можно рассматривать как ускорение стационарных итерационных методов), где они становятся преобразованиями исходного оператора в предположительно более обусловленный. Строительство прекондиционеров - большая область исследований.

История

Вероятно, первый итерационный метод решения линейной системы появился в письме Гаусс его ученику. Он предложил решить систему уравнений 4 на 4, многократно решая компонент, в котором невязка была наибольшей.^{[нужна цитата ]}.

Теория стационарных итерационных методов была прочно обоснована работами D.M. Молодой начиная с 1950-х гг. Метод сопряженного градиента также был изобретен в 1950-х годах. Корнелиус Ланцош, Магнус Хестенес и Эдуард Штифель, но в то время его природа и применимость были неправильно поняты. Только в 1970-х годах стало понятно, что методы, основанные на сопряженности, очень хорошо работают для уравнения в частных производных, особенно эллиптического типа.

Смотрите также

внешняя ссылка

[1] Амриткар, Амит; де Стерлер, Эрик; Свиридович, Катажина; Тафти, Данеш; Ахуджа, Капил (2015). «Переработка подпространств Крылова для приложений CFD и новый гибридный решатель рециклинга». Журнал вычислительной физики. 303: 222. arXiv:1501.03358. Bibcode:2015JCoPh.303..222A. Дои:10.1016 / j.jcp.2015.09.040.

[1]