Алгоритм Флойда-Уоршолла - Floyd–Warshall algorithm

Алгоритм Флойда-Уоршолла

Учебный класс	Задача о кратчайшем пути для всех пар (для взвешенных графиков)
Структура данных	График
Худший случай спектакль	${ Displaystyle Theta (| V | ^ {3})}$
Лучший случай спектакль	${ Displaystyle Theta (| V | ^ {3})}$
Средний спектакль	${ Displaystyle Theta (| V | ^ {3})}$
Худший случай космическая сложность	${ Displaystyle Theta (| V | ^ {2})}$

В Информатика, то Алгоритм Флойда-Уоршолла (также известен как Алгоритм Флойда, то Алгоритм Роя – Уоршолла, то Алгоритм Роя – Флойда, или Алгоритм WFI) является алгоритм для поиска кратчайшие пути в взвешенный график с положительными или отрицательными весами ребер (но без отрицательных циклов).^[1][2] За одно выполнение алгоритма будут найдены длины (суммарные веса) кратчайших путей между всеми парами вершин. Хотя он не возвращает подробные сведения о самих путях, их можно реконструировать с помощью простых модификаций алгоритма. Версии алгоритма также можно использовать для поиска переходное закрытие отношения ${ displaystyle R}$, или (в связи с Система голосования Шульце ) широчайшие пути между всеми парами вершин взвешенного графа.

История и нейминг

Алгоритм Флойда – Уоршалла является примером динамическое программирование, и был опубликован в признанной в настоящее время форме Роберт Флойд в 1962 г.^[3] Однако, по сути, это то же самое, что и алгоритмы, ранее опубликованные Бернард Рой в 1959 г.^[4] а также Стивен Уоршалл в 1962 г.^[5] для нахождения транзитивного замыкания графа,^[6] и тесно связан с Алгоритм Клини (опубликовано в 1956 г.) для преобразования детерминированный конечный автомат в регулярное выражение.^[7] Современная формулировка алгоритма в виде трех вложенных циклов for была впервые описана Питером Ингерманом также в 1962 году.^[8]

Алгоритм

Алгоритм Флойда – Уоршалла сравнивает все возможные пути через граф между каждой парой вершин. Это можно сделать с помощью ${ Displaystyle Theta (| V | ^ {3})}$ сравнений на графике, даже если там может быть до ${ Displaystyle Omega (| V | ^ {2})}$ ребер в графе, и каждая комбинация ребер проверяется. Это достигается путем постепенного улучшения оценки кратчайшего пути между двумя вершинами, пока оценка не станет оптимальной.

Рассмотрим график ${ displaystyle G}$ с вершинами ${ displaystyle V}$ пронумерованные от 1 до${ displaystyle N}$. Далее рассмотрим функцию ${ displaystyle mathrm {shortPath} (я, j, k)}$ который возвращает кратчайший путь из ${ displaystyle i}$ к ${ displaystyle j}$ используя вершины только из множества ${ Displaystyle {1,2, ldots, к }}$ как промежуточные точки по пути. Теперь, учитывая эту функцию, наша цель - найти кратчайший путь из каждого ${ displaystyle i}$ для каждого ${ displaystyle j}$ с помощью любой вершина в ${ Displaystyle {1,2, ldots, N }}$.

Для каждой из этих пар вершин ${ Displaystyle mathrm {shortPath} (я, j, k)}$ может быть либо

(1) путь, который не проходит ${ displaystyle k}$ (использует только вершины из набора ${ Displaystyle {1, ldots, k-1 }}$.)

или же

(2) путь, который действительно проходит ${ displaystyle k}$ (из ${ displaystyle i}$ к ${ displaystyle k}$ а затем из ${ displaystyle k}$ к ${ displaystyle j}$, оба используют только промежуточные вершины в${ Displaystyle {1, ldots, k-1 }}$)

Мы знаем, что лучший путь от ${ displaystyle i}$ к ${ displaystyle j}$ который использует только вершины ${ displaystyle 1}$ через ${ displaystyle k-1}$ определяется ${ Displaystyle mathrm {ShortPath} (я, j, k-1)}$, и ясно, что если бы был лучший путь от ${ displaystyle i}$ к ${ displaystyle k}$ к ${ displaystyle j}$, то длина этого пути будет объединением кратчайшего пути из ${ displaystyle i}$ к ${ displaystyle k}$ (только с использованием промежуточных вершин в ${ Displaystyle {1, ldots, k-1 }}$) и кратчайший путь из ${ displaystyle k}$ к ${ displaystyle j}$ (только с использованием промежуточных вершин в${ Displaystyle {1, ldots, k-1 }}$).

Если ${ Displaystyle ш (я, j)}$ это вес ребра между вершинами ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$, мы можем определить ${ Displaystyle mathrm {shortPath} (я, j, k)}$ с точки зрения следующих рекурсивный формула: базовый случай

${ Displaystyle mathrm {shortPath} (я, j, 0) = вес (я, j)}$

и рекурсивный случай

${ displaystyle mathrm {shortPath} (я, j, k) =}$

${ displaystyle mathrm {min} { Big (} mathrm {shortPath} (i, j, k-1),}$

${ displaystyle mathrm {shortPath} (я, k, k-1) + mathrm {shortPath} (k, j, k-1) { Big)}}$.

Эта формула составляет основу алгоритма Флойда – Уоршалла. Алгоритм работает путем первых вычислений ${ Displaystyle mathrm {shortPath} (я, j, k)}$ для всех ${ displaystyle (я, j)}$ пары для ${ displaystyle k = 1}$, тогда ${ displaystyle k = 2}$, и так далее. Этот процесс продолжается до тех пор, пока ${ displaystyle k = N}$, и мы нашли кратчайший путь для всех ${ displaystyle (я, j)}$ пары с использованием любых промежуточных вершин. Псевдокод для этой базовой версии следующий:^{[оригинальное исследование? ]}

позволять dist be a | V | × | V | массив минимальных расстояний, инициализированный как ∞ (бесконечность)для каждого край (ты, v) делать    dist [ты][v] ← w (ты, v)  // Вес края (ты, v)для каждого вершина v делать    dist [v][v] ← 0за k из 1 к | V | за я из 1 к | V | за j из 1 к | V | если dist [я][j]> dist [я][k] + dist [k][j] dist [я][j] ← dist [я][k] + dist [k][j]            конец, если

Пример

Алгоритм выше выполняется на графике слева внизу:

До первой рекурсии внешнего цикла, помеченного k = 0 выше единственные известные пути соответствуют отдельным ребрам в графе. В k = 1, будут найдены пути, проходящие через вершину 1: в частности, найден путь [2,1,3], заменяющий путь [2,3], который имеет меньше ребер, но более длинный (с точки зрения веса). В k = 2, найдены пути, проходящие через вершины {1,2}. Красные и синие прямоугольники показывают, как путь [4,2,1,3] собирается из двух известных путей [4,2] и [2,1,3], встреченных в предыдущих итерациях, с 2 на пересечении. Путь [4,2,3] не рассматривается, потому что [2,1,3] - это кратчайший путь, встреченный до сих пор от 2 до 3. При k = 3, найдены пути, проходящие через вершины {1,2,3}. Наконец, в k = 4, найдены все кратчайшие пути.

Матрица расстояний на каждой итерации k, с обновленными расстояниями в смелый, будет:

Поведение с отрицательными циклами

Отрицательный цикл - это цикл, сумма ребер которого равна отрицательному значению. Между любой парой вершин нет кратчайшего пути ${ displaystyle i}$, ${ displaystyle j}$ которые образуют часть отрицательного цикла, потому что длины пути от ${ displaystyle i}$ к ${ displaystyle j}$ может быть сколь угодно малым (отрицательным). Для численно значимого вывода алгоритм Флойда – Уоршалла предполагает отсутствие отрицательных циклов. Тем не менее, если есть отрицательные циклы, алгоритм Флойда – Уоршолла может быть использован для их обнаружения. Интуиция такая:

• Алгоритм Флойда – Уоршалла итеративно пересматривает длины путей между всеми парами вершин. ${ displaystyle (я, j)}$, в том числе где ${ displaystyle i = j}$;
• Изначально длина пути ${ Displaystyle (я, я)}$ равно нулю;
• Тропинка ${ Displaystyle [я, к, ldots, я]}$ может только улучшить это, если его длина меньше нуля, т.е. обозначает отрицательный цикл;
• Таким образом, после алгоритма ${ Displaystyle (я, я)}$ будет отрицательным, если существует путь отрицательной длины от ${ displaystyle i}$ вернуться к ${ displaystyle i}$.

Следовательно, чтобы обнаружить отрицательный циклы Используя алгоритм Флойда – Уоршалла, можно проверить диагональ матрицы путей, и наличие отрицательного числа указывает на то, что граф содержит по крайней мере один отрицательный цикл.^[9] Во время выполнения алгоритма, если есть отрицательный цикл, могут появиться экспоненциально большие числа, вплоть до ${ displaystyle Omega ( cdot 6 ^ {n-1} w_ {max})}$, куда ${ displaystyle w_ {max}}$ - наибольшее абсолютное значение отрицательного ребра в графе. Чтобы избежать проблем переполнения / потери значимости, следует проверять наличие отрицательных чисел на диагонали матрицы путей внутри внутреннего цикла for алгоритма.^[10] Очевидно, что в неориентированном графе отрицательное ребро создает отрицательный цикл (т. Е. Замкнутый обход), включающий его инцидентные вершины. Учитывая все ребра над пример графа как неориентированный, например последовательность вершин 4 - 2 - 4 представляет собой цикл с весовой суммой −2.

Реконструкция пути

Алгоритм Флойда – Уоршалла обычно предоставляет только длины путей между всеми парами вершин. С помощью простых изменений можно создать метод для восстановления фактического пути между любыми двумя вершинами конечной точки. Хотя кто-то может быть склонен хранить фактический путь от каждой вершины к каждой другой вершине, это не обязательно, и на самом деле это очень дорого с точки зрения памяти. Вместо этого дерево кратчайшего пути можно рассчитать для каждого узла в ${ Displaystyle Theta (| E |)}$ время используя ${ Displaystyle Theta (| V |)}$ память для хранения каждого дерева, что позволяет нам эффективно восстанавливать путь из любых двух связанных вершин.

Псевдокод ^[11]

позволять расстаться ${ Displaystyle | V |  раз | V |}$ массив минимальных расстояний, инициализированный ${ displaystyle  infty}$ (бесконечность)позволять следующий быть ${ Displaystyle | V |  раз | V |}$ массив индексов вершин, инициализированный нольпроцедура FloydWarshallWithPathReconstruction() является    для каждого край (u, v) делать        dist [u] [v] ← w (u, v) // Вес ребра (u, v)        следующий [u] [v] ← v для каждого вершина v делать        dist [v][v] ← 0 вперед [v] [v] ← v за k из 1 к | V | делать // стандартная реализация Floyd-Warshall        за я из 1 к | V | за j из 1 к | V | если dist [i] [j]> dist [i] [k] + dist [k] [j] тогда                    dist [i] [j] ← dist [i] [k] + dist [k] [j] next [i] [j] ← next [i] [k] »

процедура Путь (u, v) если следующий [u] [v] = ноль тогда        возвращаться [] путь = [u] пока ты ≠ v        u ← далее [u] [v] path.append (u) возвращаться дорожка

Анализ

Позволять ${ displaystyle n}$ быть ${ displaystyle | V |}$, количество вершин. Найти все ${ Displaystyle п ^ {2}}$ из ${ Displaystyle mathrm {shortPath} (я, j, k)}$ (для всех ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$) из${ Displaystyle mathrm {ShortPath} (я, j, k-1)}$ требует ${ displaystyle 2n ^ {2}}$ операции. Поскольку мы начинаем с${ displaystyle mathrm {shortPath} (i, j, 0) = mathrm {edgeCost} (i, j)}$ и вычислить последовательность ${ displaystyle n}$ матрицы ${ displaystyle mathrm {shortPath} (i, j, 1)}$, ${ displaystyle mathrm {shortPath} (i, j, 2)}$, ${ displaystyle ldots}$, ${ displaystyle mathrm {shortPath} (i, j, n)}$, общее количество использованных операций равно ${ Displaystyle п cdot 2n ^ {2} = 2n ^ {3}}$. Следовательно сложность алгоритма ${ Displaystyle Theta (п ^ {3})}$.

Приложения и обобщения

Алгоритм Флойда-Уоршалла может использоваться, среди прочего, для решения следующих задач:

• Кратчайшие пути в ориентированных графах (алгоритм Флойда).
• Переходное закрытие ориентированных графов (алгоритм Уоршолла). В оригинальной формулировке алгоритма Уоршалла граф не взвешен и представлен булевой матрицей смежности. Тогда операция сложения заменяется на логическое соединение (И) и минимальная операция логическая дизъюнкция (ИЛИ ЖЕ).
• Нахождение регулярное выражение обозначая обычный язык принято конечный автомат (Алгоритм Клини, близкое обобщение алгоритма Флойда – Уоршалла)^[12]
• Инверсия из настоящий матрицы (Алгоритм Гаусса – Жордана ) ^[13]
• Оптимальная маршрутизация. В этом приложении нужно найти путь с максимальным потоком между двумя вершинами. Это означает, что вместо того, чтобы брать минимумы, как в псевдокоде выше, вместо этого используются максимумы. Веса ребер представляют фиксированные ограничения для потока. Веса путей представляют собой узкие места; поэтому операция сложения, указанная выше, заменяется минимальной операцией.
• Быстрое вычисление Сети следопытов.
• Самые широкие пути / пути с максимальной пропускной способностью
• Вычисление канонической формы матриц разностных границ (DBM)
• Вычисление сходства между графами

Реализации

Реализации доступны для многих языки программирования.

• За C ++, в boost :: graph библиотека
• За C #, в QuickGraph
• За C #, в QuickGraphPCL (Ответвление QuickGraph с лучшей совместимостью с проектами, использующими переносимые библиотеки классов.)
• За Ява, в График Apache Commons библиотека
• За JavaScript, в Cytoscape библиотека
• За MATLAB, в Matlab_bgl упаковка
• За Perl, в График модуль
• За Python, в SciPy библиотека (модуль scipy.sparse.csgraph ) или же NetworkX библиотека
• За р, в пакетах e1071 и Rfast

Сравнение с другими алгоритмами кратчайшего пути

Алгоритм Флойда – Уоршалла - хороший выбор для вычисления путей между всеми парами вершин в плотные графы, в котором большинство или все пары вершин соединены ребрами. За разреженные графики с неотрицательными краевыми весами лучше использовать Алгоритм Дейкстры от каждой возможной стартовой вершины, так как время работы повторного Дейкстры (${ Displaystyle O (| E || V | + | V | ^ {2} log | V |)}$ с помощью Куча Фибоначчи ) лучше, чем ${ Displaystyle O (| V | ^ {3})}$ время работы алгоритма Флойда – Уоршалла, когда ${ displaystyle | E |}$ значительно меньше, чем ${ displaystyle | V | ^ {2}}$. Для разреженных графов с отрицательными ребрами, но без отрицательных циклов, Алгоритм Джонсона может использоваться с тем же асимптотическим временем работы, что и повторный подход Дейкстры.

Также известны алгоритмы, использующие быстрое матричное умножение для ускорения вычисления кратчайшего пути для всех пар в плотных графах, но они обычно делают дополнительные предположения о весах ребер (например, требуют, чтобы они были маленькими целыми числами).^[14][15] Кроме того, из-за высоких постоянных факторов во времени их работы они обеспечивают ускорение по сравнению с алгоритмом Флойда – Уоршалла только для очень больших графов.

Рекомендации

внешняя ссылка

• Интерактивная анимация алгоритма Флойда – Уоршалла.
• Интерактивная анимация алгоритма Флойда – Уоршалла (Мюнхенский технический университет)