Метод Якоби - Jacobi method

В числовая линейная алгебра, то Метод Якоби представляет собой итерационный алгоритм определения решений строго по диагонали система линейных уравнений. Решается для каждого диагонального элемента и подставляется приблизительное значение. Затем процесс повторяется до тех пор, пока он не сойдется. Этот алгоритм представляет собой урезанную версию Метод преобразования Якоби диагонализации матрицы. Метод назван в честь Карл Густав Джейкоб Якоби.

Описание

Позволять

${displaystyle Amathbf {x} = mathbf {b}}$

быть квадратной системой п линейные уравнения, где:

${displaystyle A = {egin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & cdots & a_ {1n} a_ {21} & a_ {22} & cdots & a_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {n1} & a_ {n2} & cdots & a_ {nn} end {bmatrix}}, qquad mathbf {x} = {egin {bmatrix} x_ {1} x_ {2} vdots x_ {n} end {bmatrix}}, qquad mathbf {b} = {egin {bmatrix} b_ {1} b_ {2} vdots b_ {n} end {bmatrix}}.}$

потом А можно разложить на диагональ компонент D, нижняя треугольная часть L и верхняя треугольная часть U:

${displaystyle A = D + L + Uqquad {ext {where}} qquad D = {egin {bmatrix} a_ {11} & 0 & cdots & 0 0 & a_ {22} & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & a_ {nn} end {bmatrix }} {ext {and}} L + U = {egin {bmatrix} 0 & a_ {12} & cdots & a_ {1n} a_ {21} & 0 & cdots & a_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {n1} & a_ {n2} & cdots & 0end {bmatrix}}.}$

Затем решение получается итеративно через

${displaystyle mathbf {x} ^ {(k + 1)} = D ^ {- 1} (mathbf {b} - (L + U) mathbf {x} ^ {(k)}),}$

куда ${displaystyle mathbf {x} ^ {(k)}}$ это kое приближение или итерация ${displaystyle mathbf {x}}$ и ${displaystyle mathbf {x} ^ {(k + 1)}}$ следующий или k + 1 итерация ${displaystyle mathbf {x}}$. Таким образом, формула на основе элементов:

${displaystyle x_ {i} ^ {(k + 1)} = {frac {1} {a_ {ii}}} left (b_ {i} -sum _ {jeq i} a_ {ij} x_ {j} ^ { (k)} ight), quad i = 1,2, ldots, n.}$

Расчет ${displaystyle x_ {i} ^ {(k + 1)}}$ требует каждый элемент в Икс^(k) кроме себя. в отличие от Метод Гаусса – Зейделя, мы не можем перезаписать ${displaystyle x_ {i} ^ {(k)}}$ с ${displaystyle x_ {i} ^ {(k + 1)}}$, так как это значение потребуется для остальной части вычислений. Минимальный объем памяти - два вектора размера п.

Алгоритм

Вход: первоначальное предположение ${displaystyle x ^ {(0)}}$ к решению, (диагональная доминантная) матрица ${displaystyle A}$, вектор правой части ${displaystyle b}$, критерий сходимостиВыход: решение при достижении сходимостиКомментарии: псевдокод, основанный на приведенной выше формуле на основе элементов${displaystyle k = 0}$пока конвергенция не достигнута делать    за я: = 1 шаг до п делать        ${displaystyle sigma = 0}$        за j: = 1 шаг до п делать            если j ≠ я тогда                ${displaystyle sigma = sigma + a_ {ij} x_ {j} ^ {(k)}}$            конец        конец        ${displaystyle x_ {i} ^ {(k + 1)} = {{frac {1} {a_ {ii}}} left ({b_ {i} -sigma} ight)}}$    конец    ${displaystyle k = k + 1}$конец

Конвергенция

Стандартное условие сходимости (для любого итерационного метода) - это когда спектральный радиус матрицы итераций меньше 1:

${displaystyle ho (D ^ {- 1} (L + U)) <1.}$

Достаточным (но не необходимым) условием сходимости метода является то, что матрица А строго или несводимо диагонально доминирующий. Строгое диагональное преобладание строки означает, что для каждой строки абсолютное значение диагонального члена больше, чем сумма абсолютных значений других членов:

${displaystyle left | a_ {ii} ight |> sum _ {jeq i} {left | a_ {ij} ight |}.}$

Иногда метод Якоби сходится, даже если эти условия не выполняются.

Отметим, что метод Якоби не сходится для всех симметричных положительно определенная матрица.Например

${displaystyle A = {egin {pmatrix} 29 & 2 & 1 2 & 6 & 1 1 & 1 & {frac {1} {5}} end {pmatrix}} четверка Правая четверка D ^ {- 1} (L + U) = {egin {pmatrix} 0 & { frac {2} {29}} & {frac {1} {29}} {frac {1} {3}} & 0 & {frac {1} {6}} 5 & 5 & 0end {pmatrix}} четырехъядерный Правый четырехугольник ho (D ^ {- 1} (L + U)) приблизительно 1.0661 ,.}$

Примеры

Пример 1

Линейная система вида ${displaystyle Ax = b}$ с первоначальной оценкой ${displaystyle x ^ {(0)}}$ дан кем-то

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 2 & 1 5 & 7 end {bmatrix}}, b = {egin {bmatrix} 11 13 end {bmatrix}} quad {ext {and}} quad x ^ {(0)} = {egin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix}}.}$

Воспользуемся уравнением ${displaystyle x ^ {(k + 1)} = D ^ {- 1} (b- (L + U) x ^ {(k)})}$, описанный выше, для оценки ${displaystyle x}$. Сначала перепишем уравнение в более удобном виде ${displaystyle D ^ {- 1} (b- (L + U) x ^ {(k)}) = Tx ^ {(k)} + C}$, куда ${displaystyle T = -D ^ {- 1} (L + U)}$ и ${displaystyle C = D ^ {- 1} b}$. Из известных ценностей

${displaystyle D ^ {- 1} = {egin {bmatrix} 1/2 & 0 0 & 1/7 end {bmatrix}}, L = {egin {bmatrix} 0 & 0 5 & 0 end {bmatrix}} quad {ext {and} } quad U = {egin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}}.}$

мы определяем ${displaystyle T = -D ^ {- 1} (L + U)}$ в качестве

${displaystyle T = {egin {bmatrix} 1/2 & 0 0 & 1/7 end {bmatrix}} left {{egin {bmatrix} 0 & 0 -5 & 0 end {bmatrix}} + {egin {bmatrix} 0 & -1 0 & 0 end {bmatrix}} ight} = {egin {bmatrix} 0 & -1 / 2 -5 / 7 & 0 end {bmatrix}}.}$

Дальше, ${displaystyle C}$ находится как

${displaystyle C = {egin {bmatrix} 1/2 & 0 0 & 1/7 end {bmatrix}} {egin {bmatrix} 11 13 end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} 11/2 13/7 конец {bmatrix}}.}$

С ${displaystyle T}$ и ${displaystyle C}$ рассчитано, мы оцениваем ${displaystyle x}$ в качестве ${displaystyle x ^ {(1)} = Tx ^ {(0)} + C}$:

${displaystyle x ^ {(1)} = {egin {bmatrix} 0 & -1 / 2 -5 / 7 & 0 end {bmatrix}} {egin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix}} + {egin {bmatrix} } 11/2 13/7 end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} 5.0 8/7 end {bmatrix}} приблизительно {egin {bmatrix} 5 1.143 end {bmatrix}}.}$

Следующая итерация дает

${displaystyle x ^ {(2)} = {egin {bmatrix} 0 & -1 / 2 -5 / 7 & 0 end {bmatrix}} {egin {bmatrix} 5.0 8/7 end {bmatrix}} + {egin {bmatrix} 11/2 13/7 end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} 69/14 -12/7 end {bmatrix}} приблизительно {egin {bmatrix} 4.929 -1.714 end {bmatrix }}.}$

Этот процесс повторяется до схождения (т.е. до тех пор, пока ${displaystyle | Ax ^ {(n)} - b |}$ маленький). Решение после 25 итераций:

${displaystyle x = {egin {bmatrix} 7.111 -3.222end {bmatrix}}.}$

Пример 2

Предположим, нам дана следующая линейная система:

${displaystyle {egin {align} 10x_ {1} -x_ {2} + 2x_ {3} & = 6, - x_ {1} + 11x_ {2} -x_ {3} + 3x_ {4} & = 25, 2x_ {1} -x_ {2} + 10x_ {3} -x_ {4} & = - 11, 3x_ {2} -x_ {3} + 8x_ {4} & = 15.end {выровнено}}}$

Если мы выберем (0, 0, 0, 0) в качестве начального приближения первое приближенное решение дается выражением

${displaystyle {egin {выравнивается} x_ {1} & = (6 + 0- (2 * 0)) / 10 = 0,6, x_ {2} & = (25 + 0 + 0- (3 * 0)) / 11 = 25/11 = 2,2727, x_ {3} & = (- 11- (2 * 0) + 0 + 0) /10=-1.1,x_ {4} & = (15- (3 * 0) +0) /8=1.875.end {выровнено}}}$

Используя полученные приближения, итерационная процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность. Ниже приведены приблизительные решения после пяти итераций.

${displaystyle x_ {1}}$	${displaystyle x_ {2}}$	${displaystyle x_ {3}}$	${displaystyle x_ {4}}$
0.6	2.27272	-1.1	1.875
1.04727	1.7159	-0.80522	0.88522
0.93263	2.05330	-1.0493	1.13088
1.01519	1.95369	-0.9681	0.97384
0.98899	2.0114	-1.0102	1.02135

Точное решение системы (1, 2, −1, 1).

Пример 3 с использованием Python и NumPy

Следующая численная процедура просто выполняет итерацию для получения вектора решения.

def Якоби(А, б, x_init, эпсилон=1e-10, max_iterations=500):    D = нп.диагональ(нп.диагональ(А))    LU = А - D    Икс = x_init    D_inv = нп.диагональ(1 / нп.диагональ(D))    за я в классифицировать(max_iterations):        x_new = нп.точка(D_inv, б - нп.точка(LU, Икс))        если нп.линалг.норма(x_new - Икс) < эпсилон:            возвращаться x_new        Икс = x_new    возвращаться Икс# проблемные данныеА = нп.множество([    [5, 2, 1, 1],    [2, 6, 2, 1],    [1, 2, 7, 1],    [1, 1, 2, 8]])б = нп.множество([29, 31, 26, 19])# вы можете выбрать любой начальный векторx_init = нп.нули(len(б))Икс = Якоби(А, б, x_init)Распечатать("Икс:", Икс)Распечатать("вычисленный b:", нп.точка(А, Икс))Распечатать("реальный б:", б)

Производит вывод:

x: [3.99275362 2.95410628 2.16183575 0.96618357] вычислено b: [29. 31. 26. 19.] реальный b: [29 31 26 19]

Весовой метод Якоби

Взвешенная итерация Якоби использует параметр ${displaystyle omega}$ для вычисления итерации как

${displaystyle mathbf {x} ^ {(k + 1)} = omega D ^ {- 1} (mathbf {b} - (L + U) mathbf {x} ^ {(k)}) + left (1-омега ight) mathbf {x} ^ {(k)}}$

с ${displaystyle omega = 2/3}$ обычный выбор.^[1]Из отношения ${displaystyle L + U = A – D}$, это также можно выразить как

${displaystyle mathbf {x} ^ {(k + 1)} = omega D ^ {- 1} mathbf {b} + left (I-omega D ^ {- 1} Aight) mathbf {x} ^ {(k)} }$.

Сходимость в симметричном положительно определенном случае

В случае, если матрица системы ${displaystyle A}$ симметричный положительно определенный типа можно показать сходимость.

Позволять ${displaystyle C = C_ {omega} = I-омега D ^ {- 1} A}$ - матрица итераций, тогда сходимость гарантирована для

${displaystyle ho (C_ {omega}) <1quad Longleftrightarrow quad 0$

куда ${displaystyle lambda _ {ext {max}}}$ - максимальное собственное значение.

Спектральный радиус может быть минимизирован для конкретного выбора ${displaystyle omega = omega _ {ext {opt}}}$ следующее

${displaystyle min _ {omega} ho (C_ {omega}) = ho (C_ {omega _ {ext {opt}}}) = 1- {frac {2} {kappa (D ^ {- 1} A) +1 }} quad {ext {for}} quad omega _ {ext {opt}}: = {frac {2} {lambda _ {ext {min}} (D ^ {- 1} A) + lambda _ {ext {max }} (D ^ {- 1} A)}} ,,}$

куда ${displaystyle kappa}$ это номер условия матрицы.

Смотрите также

• Метод Гаусса – Зейделя
• Последовательное чрезмерное расслабление
• Итерационный метод § Линейные системы
• Распространение гауссовской веры
• Расщепление матрицы

Рекомендации

внешняя ссылка

• Эта статья включает текст из статьи Jacobi_method на CFD-Wiki что находится под GFDL лицензия.

• Блэк, Ноэль; Мур, Ширли и Вайсштейн, Эрик В. «Метод Якоби». MathWorld.
• Метод Якоби с сайта www.math-linux.com