Лемма Сеаса - Википедия - Céas lemma

Лемма Сеа это лемма в математика. Представлен Жан Сеа в его Кандидат наук. диссертации, это важный инструмент для доказательства оценок ошибок для метод конечных элементов применительно к эллиптический уравнения в частных производных.

Утверждение леммы

Позволять ${ displaystyle V}$ быть настоящий Гильбертово пространство с норма ${ Displaystyle | cdot |.}$ Позволять ${ displaystyle a: V times V to mathbb {R}}$ быть билинейная форма со свойствами

• ${ Displaystyle | а (v, ш) | Leq гамма | v | , | ш |}$ для некоторой постоянной ${ displaystyle gamma> 0}$ и все ${ displaystyle v, w}$ в ${ displaystyle V}$ (непрерывность )
• ${ Displaystyle а (v, v) geq альфа | v | ^ {2}}$ для некоторой постоянной ${ displaystyle alpha> 0}$ и все ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V}$ (принуждение или же ${ displaystyle V}$-эллиптичность).

Позволять ${ displaystyle L: V to mathbb {R}}$ быть ограниченный линейный оператор. Рассмотрим задачу поиска элемента ${ displaystyle u}$ в ${ displaystyle V}$ такой, что

${ Displaystyle а (и, v) = L (v)}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V.}$

Рассмотрим ту же задачу на конечномерном подпространстве ${ displaystyle V_ {h}}$ из ${ Displaystyle V,}$ так, ${ displaystyle u_ {h}}$ в ${ displaystyle V_ {h}}$ удовлетворяет

${ Displaystyle а (и_ {ч}, v) = L (v)}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V_ {h}.}$

Посредством Теорема Лакса – Милграма, каждая из этих проблем имеет ровно одно решение. Лемма Сеа утверждает, что

${ displaystyle | u-u_ {h} | leq { frac { gamma} { alpha}} | u-v |}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V_ {h}.}$

То есть подпространственное решение ${ displaystyle u_ {h}}$ является "лучшим" приближением ${ displaystyle u}$ в ${ displaystyle V_ {h},}$ вплоть до постоянная ${ displaystyle gamma / alpha.}$

Доказательство простое

${ Displaystyle альфа | u-u_ {h} | ^ {2} leq a (u-u_ {h}, u-u_ {h}) = a (u-u_ {h}, uv) + a (u-u_ {h}, v-u_ {h}) = a (u-u_ {h}, uv) leq gamma | u-u_ {h} | | uv |}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V_ {h}.}$

Мы использовали ${ displaystyle a}$-ортогональность ${ displaystyle u-u_ {h}}$ и ${ displaystyle V_ {h}}$

${ displaystyle a (u-u_ {h}, v) = 0, forall v in V_ {h}}$

что непосредственно следует из ${ displaystyle V_ {h} subset V}$

${ Displaystyle а (и, v) = L (v) = а (и_ {ч}, v)}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V_ {h}}$.

Примечание: Лемма Сеа верна на сложный Кроме того, в гильбертовых пространствах используется полуторалинейная форма ${ Displaystyle а ( cdot, cdot)}$ вместо билинейного. Тогда предположение о коэрцитивности становится ${ Displaystyle | а (v, v) | geq альфа | v | ^ {2}}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V}$ (обратите внимание на знак абсолютного значения вокруг ${ Displaystyle а (v, v)}$).

Оценка погрешности в энергетической норме

Подпространственное решение ${ displaystyle u_ {h}}$ это проекция ${ displaystyle u}$ на подпространство ${ displaystyle V_ {h}}$ в отношении внутреннего продукта ${ Displaystyle а ( cdot, cdot)}$.

Во многих приложениях билинейная форма ${ displaystyle a: V times V to mathbb {R}}$ симметрично, поэтому

${ Displaystyle а (v, вес) = а (вес, v)}$ для всех ${ displaystyle v, w}$ в ${ displaystyle V.}$

Это, вместе с указанными выше свойствами этой формы, означает, что ${ Displaystyle а ( cdot, cdot)}$ является внутренний продукт на ${ displaystyle V.}$ Результирующая норма

${ Displaystyle | v | _ {a} = { sqrt {a (v, v)}}}$

называется энергетическая норма, поскольку ему соответствует физическая энергия во многих проблемах. Эта норма эквивалентна исходной норме ${ Displaystyle | cdot |.}$

С использованием ${ displaystyle a}$-ортогональность ${ displaystyle u-u_ {h}}$ и ${ displaystyle V_ {h}}$ и Неравенство Коши – Шварца

${ displaystyle | u-u_ {h} | _ {a} ^ {2} = a (u-u_ {h}, u-u_ {h}) = a (u-u_ {h}, uv) leq | u-u_ {h} | _ {a} cdot | uv | _ {a}}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V_ {h}}$.

Следовательно, в энергетической норме неравенство леммы Сеа принимает вид

${ displaystyle | u-u_ {h} | _ {a} leq | u-v | _ {a}}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V_ {h}}$

(обратите внимание, что постоянная ${ displaystyle gamma / alpha}$ справа больше нет).

Это означает, что подпространственное решение ${ displaystyle u_ {h}}$ является наилучшим приближением к полнопространственному решению ${ displaystyle u}$ относительно энергетической нормы. Геометрически это означает, что ${ displaystyle u_ {h}}$ это проекция решения ${ displaystyle u}$ на подпространство ${ displaystyle V_ {h}}$ в отношении внутреннего продукта ${ Displaystyle а ( cdot, cdot)}$ (см. рисунок рядом).

Используя этот результат, можно также получить более точную оценку в норме ${ displaystyle | cdot |}$. С

${ Displaystyle альфа | u-u_ {h} | ^ {2} leq a (u-u_ {h}, u-u_ {h}) = | u-u_ {h} | _ { a} ^ {2} leq | uv | _ {a} ^ {2} leq gamma | uv | ^ {2}}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V_ {h}}$,

следует, что

${ displaystyle | u-u_ {h} | leq { sqrt { frac { gamma} { alpha}}} | u-v |}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V_ {h}}$.

Применение леммы Сеа

Мы применим лемму Сеа, чтобы оценить погрешность вычисления решения эллиптическое дифференциальное уравнение посредством метод конечных элементов.

Струна с фиксированными концами под действием силы, направленной вниз.

Рассмотрим задачу поиска функции ${ displaystyle u: [a, b] to mathbb {R}}$ удовлетворяющие условиям

${ Displaystyle { begin {cases} -u '' = е { mbox {in}} [a, b] u (a) = u (b) = 0 end {cases}}}$

куда ${ displaystyle f: [a, b] to mathbb {R}}$ дано непрерывная функция.

Физически решение ${ displaystyle u}$ к этой двухочковой краевая задача представляет форму, принятую нить под воздействием такой силы, что в каждой точке ${ displaystyle x}$ между ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ то плотность силы является ${ Displaystyle е (х) mathbf {е}}$ (куда ${ displaystyle mathbf {e}}$ это единичный вектор указывает вертикально, в то время как конечные точки строки находятся на горизонтальной линии, см. рисунок рядом). Например, эта сила может быть сила тяжести, когда ${ displaystyle f}$ - постоянная функция (поскольку сила тяжести одинакова во всех точках).

Пусть гильбертово пространство ${ displaystyle V}$ быть Соболевское пространство ${ displaystyle H_ {0} ^ {1} (а, б),}$ который является пространством всех квадратично интегрируемые функции ${ displaystyle v}$ определено на ${ Displaystyle [а, б]}$ у которых есть слабая производная на ${ Displaystyle [а, б]}$ с ${ displaystyle v '}$ также интегрируемы с квадратом, и ${ displaystyle v}$ удовлетворяет условиям ${ Displaystyle v (a) = v (b) = 0.}$ Внутренний продукт на этом пространстве

${ displaystyle (v, w) = int _ {a} ^ {b} ! v '(x) w' (x) , dx}$ для всех ${ displaystyle v}$ и ${ displaystyle w}$ в ${ displaystyle V.}$

После умножения исходной краевой задачи на ${ displaystyle v}$ в этом пространстве и выполняя интеграция по частям, получаем эквивалентную задачу

${ Displaystyle а (и, v) = L (v)}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ Displaystyle V,}$

с

${ displaystyle a (u, v) = int _ {a} ^ {b} ! u '(x) v' (x) , dx}$

(здесь билинейная форма задается тем же выражением, что и внутреннее произведение, это не всегда так), и

${ Displaystyle L (v) = int _ {a} ^ {b} ! f (x) v (x) , dx.}$

Можно показать, что билинейная форма ${ Displaystyle а ( cdot, cdot)}$ и оператор ${ displaystyle L}$ удовлетворяют условиям леммы Сеа.

Функция в ${ displaystyle V_ {h}}$ (красным), а типичный набор базисных функций в ${ displaystyle V_ {h}}$ (в синем).

Чтобы определить конечномерное подпространство ${ displaystyle V_ {h}}$ из ${ Displaystyle V,}$ рассмотреть раздел

${ displaystyle a = x_ {0}$

интервала ${ Displaystyle [а, б],}$ и разреши ${ displaystyle V_ {h}}$ - пространство всех непрерывных функций, аффинный на каждом подынтервале в разделе (такие функции называются кусочно-линейный ). Кроме того, предположим, что любая функция в ${ displaystyle V_ {h}}$ принимает значение 0 в конечных точках ${ displaystyle [a, b].}$ Следует, что ${ displaystyle V_ {h}}$ является векторным подпространством в ${ displaystyle V}$ чье измерение ${ displaystyle n-1}$ (количество точек в разделе, не являющихся конечными точками).

Позволять ${ displaystyle u_ {h}}$ быть решением проблемы подпространства

${ Displaystyle а (и_ {ч}, v) = L (v)}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V_ {h},}$

так что можно думать о ${ displaystyle u_ {h}}$ как кусочно-линейного приближения к точному решению ${ displaystyle u.}$ По лемме Сеа существует постоянная ${ displaystyle C> 0}$ зависит только от билинейной формы ${ Displaystyle а ( cdot, cdot),}$ такой, что

${ Displaystyle | и-и_ {ч} | leq С | и-v |}$ для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V_ {h}.}$

Чтобы явно вычислить ошибку между ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle u_ {h},}$ рассмотрим функцию ${ displaystyle pi u}$ в ${ displaystyle V_ {h}}$ который имеет те же значения, что и ${ displaystyle u}$ в узлах перегородки (так ${ displaystyle pi u}$ получается линейной интерполяцией на каждом интервале ${ Displaystyle [х_ {я}, х_ {я + 1}]}$ от ценностей ${ displaystyle u}$ в конечных точках интервала). Это можно показать с помощью Теорема Тейлора что существует постоянная ${ displaystyle K}$ это зависит только от конечных точек ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b,}$ такой, что

${ displaystyle | u '(x) - ( pi u)' (x) | leq Kh | u '' | _ {L ^ {2} (a, b)}}$

для всех ${ displaystyle x}$ в ${ Displaystyle [а, б],}$ куда ${ displaystyle h}$ - наибольшая длина подынтервалов ${ Displaystyle [х_ {я}, х_ {я + 1}]}$ в разбиении, а норма в правой части - это L² норма.

Это неравенство затем дает оценку ошибки

${ Displaystyle | и- пи и |.}$

Затем, подставив ${ displaystyle v = pi u}$ в лемме Сеа следует, что

${ displaystyle | u-u_ {h} | leq Ch | u '' | _ {L ^ {2} (a, b)},}$

куда ${ displaystyle C}$ - это константа, отличная от указанной выше (она зависит только от билинейной формы, которая неявно зависит от интервала ${ Displaystyle [а, б]}$).

Этот результат имеет фундаментальное значение, поскольку в нем говорится, что метод конечных элементов можно использовать для приближенного расчета решения нашей проблемы, и что ошибка в вычисленном решении уменьшается пропорционально размеру раздела. ${ displaystyle h.}$ Лемма Сеа может быть применена в том же ключе для получения оценок ошибок для задач конечных элементов в более высоких измерениях (здесь область определения ${ displaystyle u}$ был в одном измерении), а при использовании более высокого порядка многочлены для подпространства ${ displaystyle V_ {h}.}$

Рекомендации

• Сеа, Жан (1964). Вариация аппроксимации проблем с ограничениями (PDF) (Кандидатская диссертация). Annales de l'Institut Fourier 14. 2. стр. 345–444. Получено 2010-11-27. (Оригинальная работа J. Céa)

• Джонсон, Клас (1987). Численное решение уравнений в частных производных методом конечных элементов. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-34514-6.

• Монах, Питер (2003). Методы конечных элементов для уравнений Максвелла. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850888-3.

• Roos, H.-G .; Stynes, M .; Тобиска, Л. (1996). Численные методы для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений: задачи конвекции-диффузии и обтекания. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-60718-8.

• Eriksson, K .; Estep, D .; Hansbo, P .; Джонсон, К. (1996). Вычислительные дифференциальные уравнения. Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-56738-6.

• Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: приложения к математической физике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94442-7.

• Бреннер, Сюзанна С.; Л. Риджуэй Скотт (2002). Математическая теория методов конечных элементов (2-е изд.). ISBN  0-387-95451-1. OCLC  48892839.
• Ciarlet, Филипп Г. (2002). Метод конечных элементов для эллиптических задач ((Перепечатка SIAM Classics) изд.). ISBN  0-89871-514-8. OCLC  48892573.