Нотация Лейбница - Википедия - Leibnizs notation

dy

dx

d²у

dx²

Первая и вторая производные от у относительно Икс, в обозначениях Лейбница.

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646–1716), немецкий философ, математик и тезка этого широко используемого математического обозначения в исчислении.

В исчисление, Обозначения Лейбница, названный в честь немецкого философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц, использует символы $dx$ и $dy$ представлять бесконечно малые (или бесконечно малый ) приращения $Икс$ и $у$ соответственно так же, как $Δ Икс$ и $Δ у$ представляют собой конечные приращения $Икс$ и $у$ , соответственно.^[1]

Учитывать $у$ как функция переменной $Икс$ , или же $у$ = $ж (Икс)$ . Если это так, то производная из $у$ относительно $Икс$ , который позже стал рассматриваться как предел

{ displaystyle lim _ { Delta x rightarrow 0} { frac { Delta y} { Delta x}} = lim _ { Delta x rightarrow 0} { frac {f (x + Delta x ) -f (x)} { Delta x}},}

был, по словам Лейбница, частное бесконечно малого приращения $у$ бесконечно малым приращением $Икс$ , или же

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = f '(x),}

где правая часть Обозначения Жозефа-Луи Лагранжа для производной от $ж$ в $Икс$ . Бесконечно малые приращения называются дифференциалы. С этим связан интеграл в котором бесконечно малые приращения суммируются (например, для вычисления длин, площадей и объемов как суммы крошечных частей), для которой Лейбниц также предоставил близкую систему обозначений, включающую те же дифференциалы, обозначение, эффективность которого оказалась решающей в развитии математики континентальной Европы. .

Концепция бесконечно малых Лейбница, долгое время считавшаяся слишком неточной для использования в качестве основы исчисления, в конечном итоге была заменена строгими концепциями, развитыми Weierstrass и другие в 19 веке. Следовательно, факторное обозначение Лейбница было переинтерпретировано, чтобы обозначить предел современного определения. Однако во многих случаях символ действительно действовал как частное, и его полезность сохраняла его популярность даже перед лицом нескольких конкурирующих обозначений. В 20 веке было разработано несколько различных формализмов, которые могут придать строгий смысл понятиям бесконечно малых и бесконечно малых смещений, в том числе нестандартный анализ, касательное пространство, Обозначение O и другие.

Производные и интегралы исчисления могут быть упакованы в современную теорию дифференциальные формы, в которой производная действительно является отношением двух дифференциалов, а интеграл также ведет себя в точном соответствии с обозначениями Лейбница. Однако это требует, чтобы производная и интеграл сначала были определены другими средствами, и как таковые выражают самосогласованность и вычислительную эффективность нотации Лейбница, а не дают ей новую основу.

История

Подход Ньютона – Лейбница к исчисление бесконечно малых был введен в 17 веке. Пока Ньютон работал с флюсии Лейбниц основывал свой подход на обобщении сумм и разностей.^[2] Лейбниц был первым, кто использовал ${ displaystyle textstyle int}$ персонаж. В основе персонажа лежит латинское слово сумма («сумма»), которую он написал umma с удлиненный s в то время широко использовался в Германии. Рассматривая различия как обратную операцию суммирования,^[3] он использовал символ $d$ , первая буква латыни дифференциация, чтобы указать эту обратную операцию.^[2] Лейбниц придирчиво относился к обозначениям; проводить годы, экспериментируя, корректируя, отвергая и переписываясь с другими математиками о них.^[4] Обозначения, которые он использовал для дифференциала $у$ варьировались последовательно от $ω$ , $л$ , и $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} у / d$ пока он наконец не остановился на $dy$ .^[5] Его знак интеграла впервые появилось публично в статье "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" (О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечных), опубликованной в Acta Eruditorum в июне 1686 г.,^[6]^[7] но он использовал его в частных рукописях по крайней мере с 1675 года.^[8]^[9]^[10] Лейбниц впервые использовал $dx$ в статье "Nova Methodus pro Maximis et Minimis "также опубликовано в Acta Eruditorum в 1684 г.^[11] Пока символ $dx / dy$ действительно появляется в частных рукописях 1675 г.,^[12]^[13] в таком виде он не фигурирует ни в одной из вышеупомянутых опубликованных работ. Лейбниц, однако, использовал такие формы, как $dy ad dx$ и $dy : dx$ в печати.^[11]

Английские математики были обременены точечной записью Ньютона до 1803 г., когда Роберт Вудхаус опубликовал описание континентальной системы обозначений. Позже Аналитическое общество в Кембриджский университет способствовал принятию обозначений Лейбница.

В конце XIX века последователи Вейерштрасса перестали буквально понимать обозначения Лейбница для производных и интегралов. То есть математики считали, что концепция бесконечно малые содержала логические противоречия в своем развитии. Ряд математиков 19-го века (Вейерштрасс и другие) нашли логически строгие способы обработки производных и интегралов без бесконечно малых с использованием пределов, как показано выше, в то время как Коши использовал как бесконечно малые, так и пределы (см. Cours d'Analyse ). Тем не менее, обозначения Лейбница все еще широко используются. Хотя обозначения не следует понимать буквально, они обычно проще, чем альтернативы, когда техника разделение переменных используется при решении дифференциальных уравнений. В физических приложениях можно, например, рассматривать ж(Икс) измеряется в метрах в секунду, а dИкс в секундах, так что ж(Икс) dИкс измеряется в метрах, как и значение его определенного интеграла. Таким образом, обозначение Лейбница находится в гармонии с размерный анализ.

Обозначения Лейбница для дифференцирования

Предположим, что зависимая переменная $у$ представляет функцию $ж$ независимой переменной $Икс$ , то есть,

{ Displaystyle у = е (х).}

Тогда производная функции $ж$ , у Лейбница обозначение за дифференциация, можно записать как

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} , { text {или}} { frac {d} {dx}} y , { text {или}} { frac {d { bigl (} f (x) { bigr)}} {dx}}.}

Выражение Лейбница, также иногда записанное $dy / dx$ , является одним из нескольких обозначений, используемых для производных и производных функций. Распространенной альтернативой является обозначение Лагранжа

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} , = y '= f' (x).}

Другая альтернатива - Обозначение Ньютона, часто используется для производных по времени (например, скорость ), для чего необходимо поставить точку над зависимой переменной (в данном случае $Икс$ ):

{ displaystyle { frac {dx} {dt}} = { dot {x}}.}

Лагранжа "основной «Нотация особенно полезна при обсуждении производных функций и имеет то преимущество, что имеет естественный способ обозначения значения производной функции при конкретном значении. Однако у нотации Лейбница есть и другие достоинства, которые сохраняли ее популярность на протяжении многих лет.

В современной интерпретации выражение $dy / dx$ не следует понимать как деление двух величин $dx$ и $dy$ (как и предполагал Лейбниц); скорее, все выражение следует рассматривать как один символ, сокращенный для

{ displaystyle lim _ { Delta x to 0} { frac { Delta y} { Delta x}}}

(Примечание $Δ$ против. $d$ , куда $Δ$ указывает на конечную разность).

Выражение также можно рассматривать как приложение дифференциальный оператор $d / dx$ (опять же, один символ) на $у$ , рассматриваемый как функция $Икс$ . Этот оператор написан $D$ в Обозначение Эйлера. Лейбниц не использовал эту форму, но его использование символа $d$ довольно близко соответствует этой современной концепции.

Хотя в нотации не подразумевается деление, нотация, подобная делению, полезна, поскольку во многих ситуациях оператор производной ведет себя как деление, что упрощает получение и запоминание некоторых результатов о производных.^[14]Эта система обозначений обязана своей долговечностью тому факту, что она, кажется, достигает самой сути геометрических и механических приложений исчисления.^[15]

Обозначения Лейбница для высших производных

Если $у = ж (Икс)$ , то $п$ -я производная от $ж$ в обозначениях Лейбница дается выражением,^[16]

{ displaystyle f ^ {(n)} (x) = { frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}}.}

Это обозначение для вторая производная, получается с помощью $d / dx$ как оператор следующим образом,^[16]

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} , = , { frac {d} {dx}} left ({ frac {dy} {dx}} верно).}

Третья производная, которую можно записать как

{ displaystyle { frac {d left ({ frac {d left ({ frac {dy} {dx}} right)} {dx}} right)} {dx}} ,,}

можно получить из

{ displaystyle { frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}}} , = , { frac {d} {dx}} left ({ frac {d ^ {2} y } {dx ^ {2}}} right) , = , { frac {d} {dx}} left ({ frac {d} {dx}} left ({ frac {dy} { dx}} right) right).}

Точно так же индуктивно могут быть получены высшие производные.

Хотя с тщательно подобранными определениями можно интерпретировать $dy / dx$ как частное от дифференциалы, этого не следует делать с формами более высокого порядка.^[17]

Однако это обозначение не использовалось Лейбницем. В печати он не использовал многоуровневую нотацию или числовые показатели (до 1695 г.). Написать $Икс 3$ например, он написал бы $ххх$ , что было обычным делом в его время. Квадрат дифференциала, как он может отображаться в длина дуги формула, например, была записана как $dxdx$ . Однако Лейбниц использовал свое $d$ обозначение, как мы бы сегодня использовали операторы, а именно он записал бы вторую производную как $папа$ и третья производная как $папа$ . В 1695 году Лейбниц начал писать $d 2 \cdot Икс$ и $d 3 \cdot Икс$ за $ddx$ и $dddx$ соответственно, но l'Hôpital в своем учебнике по исчислению, написанном примерно в то же время, использовал оригинальные формы Лейбница.^[18]

Использование в различных формулах

Одна из причин того, что обозначения Лейбница в исчислении сохранились так долго, заключается в том, что они позволяют легко вспомнить соответствующие формулы, используемые для дифференцирования и интегрирования. Например, Правило цепи - предположим, что функция $грамм$ дифференцируема в $Икс$ и $у = ж (ты)$ дифференцируема в $ты = грамм (Икс)$ . Тогда составная функция $у = ж (грамм (Икс))$ дифференцируема в $Икс$ и его производная может быть выражена в обозначениях Лейбница как,^[19]

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} cdot { frac {du} {dx}}.}

Это можно обобщить, чтобы иметь дело с составом нескольких должным образом определенных и связанных функций, $ты 1, ты 2, ..., ты п$ и будет выражаться как,

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du_ {1}}} cdot { frac {du_ {1}} {du_ {2}}} cdot { frac {du_ {2}} {du_ {3}}} cdots { frac {du_ {n}} {dx}}.}

Так же интеграция путем замены формула может быть выражена как^[20]

{ displaystyle int y , dx = int y { frac {dx} {du}} , du,}

куда $Икс$ рассматривается как функция новой переменной $ты$ и функция $у$ слева выражается через $Икс$ в то время как справа он выражается в терминах $ты$ .

Если $у = ж (Икс)$ куда $ж$ дифференцируемая функция, которая обратимый, производная обратной функции, если она существует, может быть задана как^[21]

{ displaystyle { frac {dx} {dy}} = { frac {1} { left ({ frac {dy} {dx}} right)}},}

где круглые скобки добавлены, чтобы подчеркнуть тот факт, что производная не является дробью.

Один из самых простых видов дифференциальные уравнения является^[22]

{ Displaystyle M (x) + N (y) { frac {dy} {dx}} = 0,}

куда $M$ и $N$ являются непрерывными функциями. Решение (неявно) такого уравнения может быть выполнено путем изучения уравнения в его дифференциальная форма,

{ Displaystyle М (х) dx + N (y) dy = 0}

и интегрируя, чтобы получить

{ Displaystyle int M (x) , dx + int N (y) , dy = C.}

Переписывание, когда возможно, дифференциального уравнения в эту форму и применение приведенного выше аргумента, известно как разделение переменных метод решения таких уравнений.

В каждом из этих случаев нотация Лейбница для производной, похоже, действует как дробь, хотя в ее современной интерпретации это не так.

Современное обоснование бесконечно малых

В 1960-х годах, опираясь на более ранние работы Эдвин Хьюитт и Ежи Лось, Авраам Робинсон разработал математические объяснения бесконечно малых Лейбница, приемлемые по современным стандартам строгости, и разработал нестандартный анализ на основе этих идей. Методы Робинсона используют лишь небольшая часть математиков. Джером Кейслер написал учебник по математике для первого года обучения, Элементарное исчисление: бесконечно малый подход, основанный на подходе Робинсона.

С точки зрения современной теории инфинитезимальных, $Δ Икс$ бесконечно малая $Икс$ -инкремент, $Δ у$ соответствующий $у$ -инкремент, а производная - стандартная часть бесконечно малого отношения:

{ displaystyle f '(x) = { rm {st}} { Bigg (} { frac { Delta y} { Delta x}} { Bigg)}}

.

Затем устанавливается ${ displaystyle dx = Delta x}$ , ${ displaystyle dy = f '(x) dx}$ , так что по определению ${ displaystyle f '(x)}$ это соотношение $dy$ к $dx$ .

Точно так же, хотя большинство математиков сейчас рассматривают интеграл

{ Displaystyle int е (х) , dx}

как предел

{ displaystyle lim _ { Delta x rightarrow 0} sum _ {i} f (x_ {i}) , Delta x,}

куда $Δ Икс$ это интервал, содержащий $Икс я$ , Лейбниц рассматривал это как сумму (знак интеграла для него обозначал суммирование) бесконечно многих бесконечно малых величин $ж (Икс) dx$ . С точки зрения нестандартного анализа, интеграл правильно рассматривать как стандартную часть такой бесконечной суммы.

Компромисс, необходимый для получения точности этих концепций, заключается в том, что набор действительные числа должен быть расширен до набора гиперреальные числа.

Другие обозначения Лейбница

Лейбниц экспериментировал с множеством различных обозначений в различных областях математики. Он считал, что хорошая система обозначений является основой математики. В письме к l'Hôpital в 1693 году он говорит:^[23]

Один из секретов анализа состоит в характеристике, то есть в искусстве умелого использования имеющихся знаков, и вы заметите, сэр, по небольшой рамке [по определителям], что Виета и Декарт не знали всех тайн. .

Со временем он уточнил свои критерии хорошей записи и пришел к осознанию ценности «принятия символизма, который можно было бы выстроить в линию, как обычный шрифт, без необходимости расширять промежутки между линиями, чтобы освободить место для символов с растягивающимися частями».^[24] Например, в своих ранних работах он много использовал винкулум для обозначения группировки символов, но позже он представил идею использования для этой цели пар круглых скобок, тем самым успокаивая наборщиков, которым больше не нужно было увеличивать промежутки между строками на странице и делая страницы более привлекательными.^[25]

Многие из более чем 200 новых символов, введенных Лейбницем, используются и сегодня.^[26] Помимо дифференциалов $dx$ , $dy$ и уже упомянутый знак интеграла (), он также ввел двоеточие (:) для деления, точку (⋅) для умножения, геометрические знаки для подобия (~) и сравнения (≅), использование Recorde's знак равенства (=) для пропорций (заменяющий Oughtred's :: обозначение) и двухсуффиксное обозначение для определителей.^[23]

Смотрите также

Примечания

^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ ^а ^б Кац 1993, п. 524
^ Кац 1993, п. 529
^ Мазур 2014, п. 166
^ Кахори 1993, Vol. II, стр. 203, сноска 4
^ Свец, Фрэнк Дж., Математическое сокровище: статьи Лейбница по исчислению - интегральное исчисление, Конвергенция, Математическая ассоциация Америки, получено 11 февраля, 2017
^ Стиллвелл, Джон (1989). Математика и ее история. Springer. п.110.
^ Лейбниц, Г. В. (2005) [1920]. Ранние математические рукописи Лейбница. Перевод Чайлд, Дж. М. Довер. С. 73–74, 80. ISBN 978-0-486-44596-0.
^ Лейбниц, Г. В., Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674–1676., Берлин: Akademie Verlag, 2008, стр. 288–295 ("Analyseos tetragonisticae pars secunda", 29 октября 1675 г.) и 321–331 ("Methodi tangentium inversae instance", 11 ноября 1675 г.).
^ Олдрич, Джон. «Раннее использование символов исчисления». Получено 20 апреля 2017.
^ ^а ^б Кахори 1993, Vol. II, стр. 204
^ Лейбниц, Г. В., Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674–1676., Берлин: Akademie Verlag, 2008, стр. 321–331 особ. 328 ("Methodi tangentium inversae instance", 11 ноября 1675 г.).
^ Кахори 1993, Vol. II, стр. 186
^ Jordan, D. W .; Смит, П. (2002). Математические методы: введение в инженерные, физические и математические науки. Издательство Оксфордского университета. п. 58.
^ Кахори 1993, Vol. II, стр. 262
^ ^а ^б Бриггс и Кокран 2010, п. 141
^ Своковски 1983, п. 135
^ Кахори 1993, стр. 204-205
^ Бриггс и Кокран 2010, п. 176
^ Своковски 1983, п. 257
^ Своковски 1983, п. 369
^ Своковски 1983, п. 895
^ ^а ^б Кахори 1993, Vol. II, стр. 185
^ Кахори 1993, Vol. II, стр. 184
^ Мазур 2014, стр. 167-168
^ Мазур 2014, п. 167

Бесконечно малые
История	Адекватность Обозначения Лейбница Интегральный символ Критика нестандартного анализа Аналитик Метод механических теорем Принцип Кавальери Метод неделимых
Связанные отрасли	Нестандартный анализ Нестандартное исчисление Теория внутреннего множества Синтетическая дифференциальная геометрия Гладкий анализ бесконечно малых Конструктивный нестандартный анализ Теория бесконечно малых деформаций (физика)
Формализации	Дифференциалы Гиперреальные числа Двойные числа Сюрреалистические числа
Индивидуальные концепции	Стандартная функция детали Принцип передачи Hyperinteger Теорема об увеличении Монада Внутренний набор Поле Леви-Чивита Сверхконечное множество Закон непрерывности Переполнение Микропрерывность Трансцендентный закон однородности
Математики	Готфрид Вильгельм Лейбниц Авраам Робинсон Пьер де Ферма Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер
Учебники	Анализируйте des Infiniment Petits Элементарное исчисление Cours d'Analyse