Параболоидальные координаты - Википедия - Paraboloidal coordinates

Параболоидальные координаты трехмерны ортогональные координаты ${ Displaystyle ( му, ню, лямбда)}$ которые обобщают двумерные параболические координаты. Они обладают эллиптическими параболоиды как однокоординатные поверхности. Таким образом, их следует отличать от параболические цилиндрические координаты и параболические координаты вращения, оба из которых также являются обобщениями двумерных параболических координат. Координатные поверхности первых представляют собой параболические цилиндры, а координатные поверхности вторых - круговой параболоиды.

В отличие от цилиндрических и вращательных параболических координат, но аналогично соответствующим эллипсоидальные координаты, координатные поверхности параболоидальной системы координат равны нет получается путем вращения или проецирования любой двумерной ортогональной системы координат.

Координатные поверхности трехмерных параболоидальных координат.

Основные формулы

Декартовы координаты ${ Displaystyle (х, у, г)}$ может быть получен из эллипсоидальных координат ${ Displaystyle ( му, ню, лямбда)}$ уравнениями^[1]

${ Displaystyle х ^ {2} = { гидроразрыва {4} {b-c}} ( mu -b) (b- nu) (b- lambda)}$

${ Displaystyle у ^ {2} = { гидроразрыва {4} {b-c}} ( mu -c) (c- nu) ( lambda -c)}$

${ displaystyle z = mu + nu + lambda -b-c}$

с

${ displaystyle mu> b> lambda> c> nu> 0}$

Следовательно, поверхности постоянного ${ displaystyle mu}$ - открывающиеся вниз эллиптические параболоиды:

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} { mu -b}} + { frac {y ^ {2}} { mu -c}} = - 4 (z- mu)}$

Аналогично, поверхности постоянного ${ displaystyle nu}$ находятся вверх раскрывающиеся эллиптические параболоиды,

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {b- nu}} + { frac {y ^ {2}} {c- nu}} = 4 (z- nu)}$

тогда как поверхности постоянного ${ displaystyle lambda}$ являются гиперболическими параболоидами:

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {b- lambda}} - { frac {y ^ {2}} { lambda -c}} = 4 (z- lambda)}$

Коэффициенты масштабирования

Масштабные коэффициенты для параболоидальных координат ${ Displaystyle ( му, ню, лямбда)}$ находятся^[2]

${ Displaystyle ч _ { му} = влево [{ гидроразрыва { влево ( му - ню вправо) влево ( му - лямбда вправо)} { влево ( му -b вправо) left ( mu -c right)}} right] ^ {1/2}}$

${ Displaystyle час _ { ню} = влево [{ гидроразрыва { влево ( му - ню вправо) влево ( лямбда - ню вправо)} { влево (б- ню вправо) left (c- nu right)}} right] ^ {1/2}}$

${ Displaystyle час _ { лямбда} = влево [{ гидроразрыва { влево ( лямбда - ню вправо) влево ( му - лямбда вправо)} { влево (б- лямбда вправо) left ( lambda -c right)}} right] ^ {1/2}}$

Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен

${ Displaystyle dV = { гидроразрыва {( му - ню) ( му - лямбда) ( лямбда - ню)} { влево [( му -b) ( му -c) (b- nu) (c- nu) (b- lambda) ( lambda -c) right] ^ {1/2}}} d lambda d mu d nu}$

Дифференциальные операторы

Общие дифференциальные операторы можно выразить в координатах ${ Displaystyle ( му, ню, лямбда)}$ путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы для этих операторов, которые применимы к любым трехмерным ортогональным координатам. Например, оператор градиента является

${ displaystyle nabla = left [{ frac { left ( mu -b right) left ( mu -c right)} { left ( mu - nu right) left ( mu - lambda right)}} right] ^ {1/2} mathbf {e} _ { mu} { frac { partial} { partial mu}} + left [{ frac { left (b- nu right) left (c- nu right)} { left ( mu - nu right) left ( lambda - nu right)}} right] ^ {1/2} mathbf {e} _ { nu} { frac { partial} { partial nu}} + left [{ frac { left (b- lambda right) left ( lambda -c right)} { left ( lambda - nu right) left ( mu - lambda right)}} right] ^ {1/2} mathbf {e} _ { лямбда} { frac { partial} { partial lambda}}}$

и Лапласиан является

${ Displaystyle { begin {align} nabla ^ {2} = & left [{ frac { left ( mu -b right) left ( mu -c right)} { left ( mu - nu right) left ( mu - lambda right)}} right] ^ {1/2} { frac { partial} { partial mu}} left [( mu - б) ^ {1/2} ( mu -c) ^ {1/2} { frac { partial} { partial mu}} right] & + left [{ frac { left (b- nu right) left (c- nu right)} { left ( mu - nu right) left ( lambda - nu right)}} right] ^ {1 / 2} { frac { partial} { partial nu}} left [(b- nu) ^ {1/2} (c- nu) ^ {1/2} { frac { partial } { partial nu}} right] & + left [{ frac { left (b- lambda right) left ( lambda -c right)} { left ( lambda - nu right) left ( mu - lambda right)}} right] ^ {1/2} { frac { partial} { partial lambda}} left [(b- lambda) ^ {1/2} ( lambda -c) ^ {1/2} { frac { partial} { partial lambda}} right] end {выровнено}}}$

Приложения

Параболоидальные координаты могут быть полезны для решения некоторых уравнения в частных производных. Например, Уравнение лапласа и Уравнение Гельмгольца оба отделяемый в параболоидальных координатах. Следовательно, координаты могут использоваться для решения этих уравнений в геометриях с параболоидальной симметрией, то есть с граничными условиями, заданными на сечениях параболоидов.

Уравнение Гельмгольца имеет вид ${ displaystyle ( nabla ^ {2} + k ^ {2}) psi = 0}$. Принимая ${ Displaystyle psi = M ( mu) N ( Nu) Lambda ( lambda)}$, разделенные уравнения имеют вид^[3]

${ displaystyle { begin {align} & ( mu -b) ( mu -c) { frac {d ^ {2} M} {d mu ^ {2}}} + { frac {1} {2}} left [2 mu - (b + c) right] { frac {dM} {d mu}} + left [k ^ {2} mu ^ {2} + alpha _ {3} mu - alpha _ {2} right] M = 0 & (b- nu) (c- nu) { frac {d ^ {2} N} {d nu ^ { 2}}} + { frac {1} {2}} left [2 nu - (b + c) right] { frac {dN} {d nu}} + left [k ^ {2 } nu ^ {2} + alpha _ {3} nu - alpha _ {2} right] N = 0 & (b- lambda) ( lambda -c) { frac {d ^ {2} Lambda} {d lambda ^ {2}}} - { frac {1} {2}} left [2 lambda - (b + c) right] { frac {d Lambda} {d lambda}} - left [k ^ {2} lambda ^ {2} + alpha _ {3} lambda - alpha _ {2} right] Lambda = 0 конец {выровнен }}}$

куда ${ displaystyle alpha _ {2}}$ и ${ displaystyle alpha _ {3}}$ - две константы разделения. Аналогичным образом разделенные уравнения для уравнения Лапласа можно получить, задав ${ displaystyle k = 0}$ в приведенном выше.

Каждое из разделенных уравнений можно записать в виде Уравнение Бэра. Однако прямое решение уравнений затруднено отчасти потому, что константы разделения ${ displaystyle alpha _ {2}}$ и ${ displaystyle alpha _ {3}}$ появляются одновременно во всех трех уравнениях.

Следуя описанному выше подходу, параболоидальные координаты использовались для решения электрическое поле окружающий проведение параболоид.^[4]

Рекомендации

Библиография

• Лью Ян Вун, LC, Willatzen M (2011). Разделимые краевые задачи в физике. Wiley-VCH. ISBN  978-3-527-41020-0.
• Морс ПМ, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 664. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.184 –185. LCCN  55010911.
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п.180. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Арфкен Г (1970). Математические методы для физиков (2-е изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. С. 119–120.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 98. LCCN  67025285.
• Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции. Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN  0-86720-293-9. То же, что и Morse & Feshbach (1953), заменяя ты_k для ξ_k.
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Параболоидальные координаты (μ, ν, λ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 44–48 (Таблица 1.11). ISBN  978-0-387-18430-2.

внешняя ссылка

• MathWorld описание конфокальных параболоидальных координат