Вытянутые сфероидальные координаты - Prolate spheroidal coordinates

Три координатные поверхности вытянутых сфероидальных координат. Красный вытянутый сфероид (растянутая сфера) соответствует μ = 1, а синий двухлистный гиперболоид соответствует ν = 45 °. Желтая полуплоскость соответствует φ = −60 °, что измеряется относительно Икс-ось (выделена зеленым). Черная сфера представляет собой точку пересечения трех поверхностей, которая имеет Декартовы координаты примерно (0,831, -1,439, 2,182).

Вытянутые сфероидальные координаты являются трехмерными ортогональный система координат который возникает в результате вращения двумерного эллиптическая система координат относительно фокальной оси эллипса, т. е. оси симметрии, на которой расположены фокусы. Вращение вокруг другой оси производит сжатые сфероидальные координаты. Вытянутые сфероидальные координаты также можно рассматривать как предельный случай из эллипсоидальные координаты в котором два самых маленьких главные оси равны по длине.

Вытянутые сфероидальные координаты могут использоваться для решения различных уравнения в частных производных в котором граничные условия соответствуют его симметрии и форме, например, решение для поля, создаваемого двумя центрами, которые взяты в качестве фокусов на z-ось. Один из примеров - решение для волновая функция из электрон движется в электромагнитное поле двух положительно заряженных ядра, как в молекулярный ион водорода, H₂⁺. Другой пример - решение для электрическое поле порожденный двумя небольшими электрод чаевые. Другие ограничивающие случаи включают области, созданные линейным сегментом (μ = 0) или прямую с отсутствующим отрезком (ν = 0).

Определение

Вытянутые сфероидальные координаты μ и ν за а = 1. Линии равных значений μ и ν показаны на xz-плоскость, т.е. для φ = 0. Поверхности постоянного μ и ν получаются вращением вокруг z-оси, так что диаграмма действительна для любой плоскости, содержащей z-axis: т.е. для любого φ.

Наиболее распространенное определение вытянутых сфероидальных координат ${ Displaystyle ( му, ню, varphi)}$ является

${ Displaystyle х = а зп му грех ню соз varphi}$

${ Displaystyle у = а зп му грех ню грех varphi}$

${ Displaystyle г = а сш му соз ню}$

куда ${ displaystyle mu}$ неотрицательное действительное число и ${ Displaystyle ню в [0, пи]}$. Азимутальный угол ${ displaystyle varphi}$ принадлежит интервалу ${ displaystyle [0,2 pi]}$.

Тригонометрическая идентичность

${ displaystyle { frac {z ^ {2}} {a ^ {2} cosh ^ {2} mu}} + { frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ { 2} sinh ^ {2} mu}} = cos ^ {2} nu + sin ^ {2} nu = 1}$

показывает, что поверхности постоянного ${ displaystyle mu}$ форма вытянутый сфероиды, поскольку они эллипсы вращались вокруг оси, соединяющей их очаги. Аналогично гиперболическое тригонометрическое тождество

${ displaystyle { frac {z ^ {2}} {a ^ {2} cos ^ {2} nu}} - { frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ { 2} sin ^ {2} nu}} = cosh ^ {2} mu - sinh ^ {2} mu = 1}$

показывает, что поверхности постоянного ${ displaystyle nu}$ форма гиперболоиды революции.

Расстояния от очагов, расположенных на ${ displaystyle (х, y, z) = (0,0, pm a)}$ находятся

${ displaystyle r _ { pm} = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + (z mp a) ^ {2}}} = a ( cosh mu mp cos nu ).}$

Коэффициенты масштабирования

Масштабные коэффициенты для эллиптических координат ${ Displaystyle ( му, ню)}$ равны

${ displaystyle h _ { mu} = h _ { nu} = a { sqrt { sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu}}}$

тогда как коэффициент азимутального масштаба

${ Displaystyle ч _ { varphi} = а зп му грех ню,}$

в результате метрика

${ displaystyle { begin {align} ds ^ {2} & = h _ { mu} ^ {2} d mu ^ {2} + h _ { nu} ^ {2} d nu ^ {2} + h _ { varphi} ^ {2} d varphi ^ {2} & = a ^ {2} left [( sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu) d mu ^ {2} + ( sh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu) d nu ^ {2} + ( sinh ^ {2} mu sin ^ {2} nu) d varphi ^ {2} right]. end {align}}}$

Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен

${ Displaystyle dV = a ^ {3} sinh mu sin nu ( sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu) , d mu , d nu , d varphi}$

и лапласиан можно записать

${ displaystyle { begin {align} nabla ^ {2} Phi = {} & { frac {1} {a ^ {2} ( sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu)}} left [{ frac { partial ^ {2} Phi} { partial mu ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} Phi} { partial nu ^ {2}}} + coth mu { frac { partial Phi} { partial mu}} + cot nu { frac { partial Phi} { partial nu}} right ] [6pt] & {} + { frac {1} {a ^ {2} sinh ^ {2} mu sin ^ {2} nu}} { frac { partial ^ {2} Phi} { partial varphi ^ {2}}} конец {выровнено}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как ${ Displaystyle набла cdot mathbf {F}}$ и ${ Displaystyle набла раз mathbf {F}}$ можно выразить в координатах ${ Displaystyle ( му, ню, varphi)}$ путем подстановки масштабных множителей в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Альтернативное определение

В принципе, определение вытянутых сфероидальных координат может быть вырожденным. Другими словами, один набор координат может соответствовать двум точкам в Декартовы координаты; это проиллюстрировано здесь двумя черными сферами, по одной на каждом листе гиперболоида и расположенными в точке (Икс, у, ±z). Однако ни одно из представленных здесь определений не является вырожденным.

Альтернативный и геометрически интуитивный набор вытянутых сфероидальных координат ${ Displaystyle ( сигма, тау, фи)}$ иногда используются, где ${ displaystyle sigma = cosh mu}$ и ${ Displaystyle тау = соз ню}$. Следовательно, кривые постоянного ${ displaystyle sigma}$ являются вытянутыми сфероидами, а кривые постоянного ${ Displaystyle тау}$ являются гиперболоидами революции. Координата ${ Displaystyle тау}$ принадлежит интервалу [−1, 1], тогда как ${ displaystyle sigma}$ координата должна быть больше или равна единице.

Координаты ${ displaystyle sigma}$ и ${ Displaystyle тау}$ имеют простое отношение к расстояниям до фокусов ${ displaystyle F_ {1}}$ и ${ displaystyle F_ {2}}$. Для любой точки на плоскости сумма ${ displaystyle d_ {1} + d_ {2}}$ расстояний до очагов равно ${ displaystyle 2a sigma}$, а их разница ${ displaystyle d_ {1} -d_ {2}}$ равно ${ displaystyle 2a tau}$. Таким образом, расстояние до ${ displaystyle F_ {1}}$ является ${ Displaystyle а ( сигма + тау)}$, а расстояние до ${ displaystyle F_ {2}}$ является ${ Displaystyle а ( сигма - тау)}$. (Напомним, что ${ displaystyle F_ {1}}$ и ${ displaystyle F_ {2}}$ расположены в ${ displaystyle z = -a}$ и ${ displaystyle z = + a}$соответственно.) Это дает следующие выражения для ${ displaystyle sigma}$, ${ Displaystyle тау}$, и ${ displaystyle varphi}$:

${ displaystyle sigma = { frac {1} {2a}} left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + (z + a) ^ {2}}} + { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + (za) ^ {2}}} right)}$

${ displaystyle tau = { frac {1} {2a}} left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + (z + a) ^ {2}}} - { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + (za) ^ {2}}} right)}$

${ displaystyle varphi = arctan left ({ frac {y} {x}} right)}$

В отличие от аналогичных сжатые сфероидальные координаты координаты вытянутого сфероида (σ, τ, φ) равны нет выродиться; другими словами, есть уникальное обратимое соответствие между ними и Декартовы координаты

${ Displaystyle х = а { sqrt {( sigma ^ {2} -1) (1- тау ^ {2})}} соз varphi}$

${ displaystyle y = a { sqrt {( sigma ^ {2} -1) (1- tau ^ {2})}} sin varphi}$

${ Displaystyle г = а сигма тау}$

Альтернативные масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для альтернативных эллиптических координат ${ Displaystyle ( сигма, тау, varphi)}$ находятся

${ displaystyle h _ { sigma} = a { sqrt { frac { sigma ^ {2} - tau ^ {2}} { sigma ^ {2} -1}}}}$

${ displaystyle h _ { tau} = a { sqrt { frac { sigma ^ {2} - tau ^ {2}} {1- tau ^ {2}}}}}$

в то время как коэффициент азимутального масштаба теперь

${ displaystyle h _ { varphi} = a { sqrt { left ( sigma ^ {2} -1 right) left (1- tau ^ {2} right)}}}$

Следовательно, бесконечно малый элемент объема становится

${ Displaystyle dV = a ^ {3} ( sigma ^ {2} - tau ^ {2}) , d sigma , d tau , d varphi}$

а лапласиан равен

${ displaystyle { begin {align} nabla ^ {2} Phi = {} & { frac {1} {a ^ {2} ( sigma ^ {2} - tau ^ {2})}} left {{ frac { partial} { partial sigma}} left [ left ( sigma ^ {2} -1 right) { frac { partial Phi} { partial sigma} } right] + { frac { partial} { partial tau}} left [(1- tau ^ {2}) { frac { partial Phi} { partial tau}} right ] right } & {} + { frac {1} {a ^ {2} ( sigma ^ {2} -1) (1- tau ^ {2})}} { frac { частичный ^ {2} Phi} { partial varphi ^ {2}}} end {выровнен}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как ${ Displaystyle набла cdot mathbf {F}}$ и ${ Displaystyle набла раз mathbf {F}}$ можно выразить в координатах ${ Displaystyle ( сигма, тау)}$ путем подстановки масштабных множителей в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Как и в случае с сферические координаты, Уравнение Лапласа может быть решено методом разделение переменных получить решения в виде вытянутые сфероидальные гармоники, которые удобно использовать, когда граничные условия задаются на поверхности с постоянной вытянутой сфероидальной координатой (см. Smythe, 1968).

Рекомендации

Библиография

Никаких угловых соглашений

• Морс PM, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 661. Использует ξ₁ = а шиш μ, ξ₂ = грех ν, и ξ₃ = cos φ.
• Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции. Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN  0-86720-293-9. То же, что и Morse & Feshbach (1953), заменяя ты_k за ξ_k.
• Смайт, WR (1968). Статическое и динамическое электричество (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 97. LCCN  67025285. Использует координаты ξ = cosh μ, η = грех ν, и φ.

Угловое соглашение

• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п.177. LCCN  59014456. Корн и Корн используют координаты (μ, ν, φ), но также вводят вырожденные координаты (σ, τ, φ).
• Маргенау H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.180 –182. LCCN  55010911. Подобно Корну и Корну (1961), но использует холодность θ = 90 ° - ν вместо широта ν.
• Moon PH, Спенсер DE (1988). «Вытянутые сфероидальные координаты (η, θ, ψ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 28–30 (таблица 1.06). ISBN  0-387-02732-7. Мун и Спенсер используют условное обозначение широты θ = 90° − νи переименовать φ в качестве ψ.

Необычная условность

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. (1984). Электродинамика сплошных сред (том 8 Курс теоретической физики ) (2-е изд.). Нью-Йорк: Pergamon Press. С. 19–29. ISBN  978-0-7506-2634-7. Рассматривает вытянутые сфероидальные координаты как предельный случай общей эллипсоидальные координаты. Использует координаты (ξ, η, ζ), которые имеют единицы расстояния в квадрате.

внешняя ссылка

• MathWorld описание вытянутых сфероидальных координат