Планиметр - Planimeter

А планиметр, также известный как платометр, это измерительный инструмент используется для определения площадь произвольной двумерной формы.

Строительство

Есть несколько видов планиметров, но все они работают одинаково. Точный способ, которым они сконструированы, различается, при этом основными типами механических планиметров являются полярные, линейные и планиметры Прайца или «топорика». Швейцарцы математик Якоб Амслер-Лаффон построил первый современный планиметр в 1854 году, концепция которого была впервые предложена Иоганном Мартином Германом в 1814 году. Многие разработки последовали за знаменитым планиметром Амслера, включая электронные версии.

Тип Амслера (полярный) состоит из двухзвенного рычага. В конце одной ссылки находится указатель, используемый для обведения границы измеряемой формы. Другой конец рычага свободно поворачивается на грузе, который не дает ему двигаться. Рядом с местом соединения двух звеньев находится измерительное колесо калиброванного диаметра со шкалой, показывающей точное вращение, и червячная передача для вспомогательной шкалы счетчика оборотов. Когда очерчивается контур области, это колесо катится по поверхности рисунка. Оператор устанавливает колесо, устанавливает счетчик на ноль, а затем обводит указатель по периметру фигуры. Когда обводка завершена, шкала на измерительном колесе показывает площадь фигуры.

Когда измерительное колесо планиметра движется перпендикулярно его оси, оно катится, и это движение регистрируется. Когда измерительное колесо движется параллельно своей оси, колесо скользит без качения, поэтому это движение игнорируется. Это означает, что планиметр измеряет расстояние, которое проходит его измерительное колесо, спроецированное перпендикулярно оси вращения измерительного колеса. Площадь формы пропорциональна количеству оборотов, на которые вращается измерительное колесо.

Конструкция полярного планиметра ограничена областями измерения в пределах, определяемых его размером и геометрией. Однако линейный тип не имеет ограничений в одном измерении, потому что он может катиться. Его колеса не должны скользить, потому что движение должно быть ограничено прямой линией.

Разработки планиметра позволяют установить положение планиметра. первый момент области (центр массы ), и даже второй момент площади.

На изображениях показаны принципы построения линейного и полярного планиметра. Стрелка M на одном конце планиметра следует по контуру C измеряемой поверхности S. Для линейного планиметра движение «колена» E ограничено у-ось. Для полярного планиметра «локоть» соединен с плечом, а другая его конечная точка O находится в фиксированном положении. К рычагу ME подсоединено измерительное колесо, ось вращения которого параллельна ME. Движение рычага ME можно разложить на движение, перпендикулярное ME, заставляющее колесо вращаться, и движение, параллельное ME, вызывающее скольжение колеса, не влияющее на его показания.

Принцип

Принцип линейного планиметра

Работу линейного планиметра можно объяснить измерением площади прямоугольника ABCD (см. Изображение). Перемещая указатель от A к B, рука EM движется по желтому параллелограмму с площадью, равной PQ × EM. Эта площадь также равна площади параллелограмма A «ABB». Измерительное колесо измеряет расстояние PQ (перпендикулярно EM). Двигаясь от C к D, плечо EM движется по зеленому параллелограмму, площадь которого равна площади прямоугольника D «DCC». Измерительное колесо теперь движется в противоположном направлении, вычитая это показание из первого. Движения по BC и DA одинаковы, но противоположны, поэтому они компенсируют друг друга, не влияя на показания колеса. Конечный результат - это измерение разницы между желтой и зеленой зонами, которая является площадью ABCD.

Математический вывод

Работу линейного планиметра можно обосновать, применив Теорема Грина на компоненты векторное поле N, определяемое по:

${ Displaystyle ! , N (х, у) = (Ь-у, х),}$

куда б это у-координата локтя E.

Это векторное поле перпендикулярно измерительному плечу EM:

${ displaystyle { overrightarrow {EM}} cdot N = xN_ {x} + (y-b) N_ {y} = 0}$

и имеет постоянный размер, равный длине м измерительной руки:

${ Displaystyle ! , | N | = { sqrt {(b-y) ^ {2} + x ^ {2}}} = m}$

Потом:

${ displaystyle { begin {align} & oint _ {C} (N_ {x} , dx + N_ {y} , dy) = iint _ {S} left ({ frac { partial N_ {y}} { partial x}} - { frac { partial N_ {x}} { partial y}} right) , dx , dy [8pt] = {} & iint _ { S} left ({ frac { partial x} { partial x}} - { frac { partial (by)} { partial y}} right) , dx , dy = iint _ { S} , dx , dy = A, end {align}}}$

потому что:

${ displaystyle { frac { partial} { partial y}} (yb) = { frac { partial} { partial y}} { sqrt {m ^ {2} -x ^ {2}}} = 0,}$

Левая часть приведенного выше уравнения равна площади А заключенный в контур, пропорционален расстоянию, измеренному измерительным колесом, с коэффициентом пропорциональности м, длина измерительной руки.

Обоснование приведенного выше вывода заключается в том, что линейный планиметр регистрирует только движение, перпендикулярное своему измерительному рычагу, или когда

${ Displaystyle N cdot (dx, dy) = N_ {x} dx + N_ {y} dy}$ не равно нулю. Когда это количество интегрировано по замкнутой кривой C, Теорема Грина и область следуют.

Полярные координаты

Связь с теоремой Грина можно понять в терминах интегрирование в полярных координатах: в полярных координатах площадь вычисляется интегралом ${ displaystyle scriptstyle int _ { theta} { tfrac {1} {2}} (r ( theta)) ^ {2} , d theta,}$ где интегрируемая форма квадратичный в р, Это означает, что скорость изменения площади в зависимости от угла изменяется квадратично с радиусом.

Для параметрическое уравнение в полярных координатах, где оба р и θ изменяется как функция времени, это становится

${ displaystyle int _ {t} { tfrac {1} {2}} (r (t)) ^ {2} , d ( theta (t)) = int _ {t} { tfrac { 1} {2}} (r (t)) ^ {2} , { dot { theta}} (t) , dt.}$

Для полярного планиметра полное вращение колеса пропорционально ${ displaystyle scriptstyle int _ {t} r (t) , { dot { theta}} (t) , dt,}$ поскольку вращение пропорционально пройденному расстоянию, которое в любой момент времени пропорционально радиусу и изменению угла, как в окружности круга (${ displaystyle scriptstyle int r , d theta = 2 pi r}$).

Этот последний интегрант ${ Displaystyle scriptstyle г (т) , { точка { тета}} (т)}$ можно распознать как производную от предыдущего подынтегрального выражения ${ Displaystyle scriptstyle { tfrac {1} {2}} (г (т)) ^ {2} { точка { theta}} (т)}$ (относительно р), и показывает, что полярный планиметр вычисляет интеграл площадей через производная, что отражено в теореме Грина, которая приравнивает линейный интеграл функции на (1-мерном) контуре к (2-мерному) интегралу производной.

Смотрите также

• Математический инструмент
• Интеграф
• Формула шнурков

Рекомендации

• Брайант, Джон; Сангвин, Крис (2007), «Глава 8: В погоне за вешалками», Насколько круглый ваш круг? Где встречаются инженерия и математика, Princeton University Press, стр. 138–171, ISBN  978-0-691-13118-4
• Гаттердам, Р. В. (1981), "Планиметр как пример теоремы Грина", Амер. Математика. Ежемесячно, 88: 701–704, Дои:10.2307/2320679
• Ходжсон, Джон Л. (1 апреля 1929 г.), "Интеграция схем расходомеров", J. Sci. Instrum., 6 (4): 116–118, Дои:10.1088/0950-7671/6/4/302
• Хорсбург, Э. М. (1914), Празднование 300-летия Напьера: Справочник выставки реликвий Напье и книг, инструментов и устройств для облегчения расчетов, Королевское общество Эдинбурга
• Дженнингс, Г. (1985), Современная геометрия с приложениями, Springer
• Лоуэлл, Л. И. (1954), "Комментарии к полярному планиметру", Амер. Математика. Ежемесячно, 61: 467–469, Дои:10.2307/2308082
• Уитли, Дж. Ю. (1908), Полярный планиметр, Нью-Йорк: Keuffel & Esser

внешняя ссылка

• Планиметр топорика
• П. Кункель: Сайт Уистлералли, Планиметр
• Блюдо Ларри Planimeter
• Страница планиметра Вюрцбурга
• Страница планиметра Роберта Фута
• Компьютерная модель планиметра
• Таня Лейсе с пояснения планиметра и Как вращается колесо планиметра
• Сделайте простой планиметр
• Фото: географы с планиметрами (1940–1941).
• О. Нилл и Д. Винтер: Теорема Грина и планиметр