Галилей-ковариантная тензорная формулировка - Galilei-covariant tensor formulation

В Галилей-ковариантная тензорная формулировка является методом рассмотрения нерелятивистской физики с использованием расширенной группы Галилея в качестве группы представлений теории. Он построен в световом конусе пятимерного многообразия.

Takahashi et. др., в 1988 г. начал изучение Галилеевская симметрия, где могла бы быть развита явно ковариантная нерелятивистская теория поля. Теория построена в световом конусе (4,1) Пространство Минковского.^[1][2][3][4] Ранее, в 1985 г., Duval et. al. построили аналогичную тензорную формулировку в контексте Теория Ньютона – Картана.^[5] Некоторые другие авторы также разработали аналогичный галилеев тензорный формализм.^[6][7][8]

Галилеево многообразие

Преобразования Галилея:

${ displaystyle { textbf {x}} '= R { textbf {x}} - { textbf {v}} t + { textbf {a}}}$

${ displaystyle t '= t + { textbf {b}}.}$

куда ${ displaystyle R}$ обозначает трехмерные евклидовы вращения, ${ displaystyle { textbf {v}}}$ относительная скорость, определяющая галилеевы бусты, а означает пространственные переводы и б, для временных переводов. Рассмотрим частицу со свободной массой ${ displaystyle m}$; соотношение массовой оболочки дается формулой ${ displaystyle p ^ {2} -2mE = 0}$.

Затем мы можем определить 5-вектор, ${ displaystyle p ^ { mu} = (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}, m, E) = (p_ {i}, m, E)}$, с ${ Displaystyle я = 1,2,3}$.

Таким образом, мы можем определить скалярное произведение типа

${ displaystyle p _ { mu} p _ { nu} g ^ { mu nu} = p_ {i} p_ {i} -p_ {5} p_ {4} -p_ {4} p_ {5} = p ^ {2} -2mE = k,}$

куда

${ displaystyle g ^ { mu nu} = pm { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & -1 & 0 end {pmatrix}},}$

метрика пространства-времени, а ${ displaystyle p _ { nu} g ^ { mu nu} = p ^ { mu}}$.^[3]

Расширенная алгебра Галилея

Пятимерный Алгебра Пуанкаре выходит из метрики ${ displaystyle g ^ { mu nu}}$ инвариант,

${ displaystyle [P _ { mu}, P _ { nu}] = 0,}$

${ displaystyle { frac {1} {i}} ~ [M _ { mu nu}, P _ { rho}] = g _ { mu rho} P _ { nu} -g _ { nu rho} P _ { mu} ,}$

${ displaystyle { frac {1} {i}} ~ [M _ { mu nu}, M _ { rho sigma}] = g _ { mu rho} M _ { nu sigma} -g _ { mu sigma} M _ { nu rho} -g _ { nu rho} M _ { mu sigma} + eta _ { nu sigma} M _ { mu rho} ,,}$

Мы можем записать генераторы как

${ displaystyle J_ {i} = { frac {1} {2}} epsilon _ {ijk} M_ {jk},}$

${ displaystyle K_ {i} = M_ {5i},}$

${ displaystyle C_ {i} = M_ {4i},}$

${ displaystyle D = M_ {54}.}$

Тогда не обращающиеся в нуль коммутационные соотношения перепишутся как

${ displaystyle left [J_ {i}, J_ {j} right] = i epsilon _ {ijk} J_ {k},}$

${ displaystyle left [J_ {i}, C_ {j} right] = i epsilon _ {ijk} C_ {k},}$

${ displaystyle left [D, K_ {i} right] = iK_ {i},}$

${ displaystyle left [P_ {4}, D right] = iP_ {4},}$

${ displaystyle left [P_ {i}, K_ {j} right] = i delta _ {ij} P_ {5},}$

${ displaystyle left [P_ {4}, K_ {i} right] = iP_ {i},}$

${ displaystyle left [P_ {5}, D right] = - iP_ {5},}$

${ displaystyle left [J_ {i}, K_ {j} right] = i epsilon _ {ijk} K_ {k},}$

${ displaystyle left [K_ {i}, C_ {j} right] = i delta _ {ij} D + i epsilon _ {ijk} J_ {k},}$

${ displaystyle left [C_ {i}, D right] = iC_ {i},}$

${ displaystyle left [J_ {i}, P_ {j} right] = i epsilon _ {ijk} P_ {k},}$

${ displaystyle left [P_ {i}, C_ {j} right] = i delta _ {ij} P_ {4},}$

${ displaystyle left [P_ {5}, C_ {i} right] = iP_ {i}.}$

Важной подалгеброй Ли является

${ displaystyle [P_ {4}, P_ {i}] = 0}$

${ displaystyle [P_ {i}, P_ {j}] = 0}$

${ displaystyle [J_ {i}, P_ {4}] = 0}$

${ displaystyle [K_ {i}, K_ {j}] = 0}$

${ displaystyle left [J_ {i}, J_ {j} right] = i epsilon _ {ijk} J_ {k},}$

${ displaystyle left [J_ {i}, P_ {j} right] = i epsilon _ {ijk} P_ {k},}$

${ displaystyle left [J_ {i}, K_ {j} right] = i epsilon _ {ijk} K_ {k},}$

${ displaystyle left [P_ {4}, K_ {i} right] = iP_ {i},}$

${ displaystyle left [P_ {i}, K_ {j} right] = i delta _ {ij} P_ {5},}$

${ displaystyle P_ {4}}$ генератор временных трансляций (Гамильтониан ), п_я генератор пространственных трансляций (оператор импульса ), ${ displaystyle K_ {i}}$ является генератором галилеевых бустов, и ${ displaystyle J_ {i}}$ обозначает генератор вращения (оператор углового момента ). Генератор ${ displaystyle P_ {5}}$ это Инвариант Казимира и ${ displaystyle P ^ {2} -2P_ {4} P_ {5}}$ является дополнительным Инвариант Казимира. Эта алгебра изоморфна расширенной Галилееву алгебру в (3 + 1) измерениях с ${ displaystyle P_ {5} = M}$, The центральный заряд, интерпретируемая как масса, и ${ displaystyle P_ {4} = H}$.^{[нужна цитата ]}

Третий инвариант Казимира имеет вид ${ Displaystyle W _ { mu , 5} W ^ { mu} {} _ {5}}$, куда ${ Displaystyle W _ { mu nu} = epsilon _ { mu alpha beta rho nu} P ^ { alpha} M ^ { beta rho}}$ является 5-мерным аналогом Псевдовектор Паули – Любанского.^{[нужна цитата ]}

Структуры Баргмана

В 1985 году Дюваль, Бурде и Кунцле показали, что четырехмерную теорию гравитации Ньютона – Картана можно переформулировать как Редукция Калуцы – Клейна пятимерной гравитации Эйнштейна в нулевом направлении. Используемая метрика такая же, как метрика Галилея, но со всеми положительными элементами.

${ displaystyle g ^ { mu nu} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0 end {pmatrix}}.}$

Этот подъем считается полезным для нерелятивистских голографический модели.^[9] Гравитационные модели в этой структуре показали, что можно точно рассчитать прецессию ртути.^[10]

Смотрите также

• Галилейская группа
• Теория представлений галилеевой группы
• Группа Лоренца
• Группа Пуанкаре
• Псевдовектор Паули – Любанского

Рекомендации