Фундаментальное векторное поле - Fundamental vector field

При изучении математика и особенно дифференциальная геометрия, фундаментальные векторные поля являются инструментом, который описывает бесконечно малое поведение гладкий Группа Ли действие на гладкое многообразие. Такой векторные поля найти важные приложения в изучении Теория лжи, симплектическая геометрия, и изучение Действия гамильтоновой группы.

Мотивация

Важно для приложений по математике и физика[1] это понятие поток на коллекторе. В частности, если это гладкое многообразие и гладкий векторное поле, интересно найти интегральные кривые к . Точнее, учитывая кто-то интересуется кривыми такой, что

для которых локальные решения гарантируются Теорема существования и единственности обыкновенных дифференциальных уравнений. Если кроме того полное векторное поле, то поток , определяемую как совокупность всех интегральных кривых для , это диффеоморфизм из . Течение данный на самом деле действие добавки Группа Ли на .

И наоборот, каждое плавное действие определяет полное векторное поле через уравнение

Тогда это простой результат[2] что существует взаимно однозначное соответствие между действия на и полные векторные поля на .

На языке теории течения векторное поле называется бесконечно малый генератор.[3] Интуитивно поведение потока в каждой точке соответствует «направлению», указанному векторным полем. Возникает естественный вопрос, можно ли установить аналогичное соответствие между векторными полями и более произвольными действиями группы Ли на .

Определение

Позволять - группа Ли с соответствующими Алгебра Ли . Кроме того, пусть - гладкое многообразие, наделенное плавное действие . Обозначим карту такой, что , называется карта орбиты соответствующий .[4] За , фундаментальное векторное поле соответствующий является любым из следующих эквивалентных определений:[2][4][5]

куда это дифференциал гладкого отображения и это нулевой вектор в векторное пространство .

Карта можно затем показать как Гомоморфизм алгебр Ли.[5]

Приложения

Группы Ли

Алгебра Ли группы Ли можно отождествить с лево или правоинвариантными векторными полями на . Это хорошо известный результат[3] что такие векторные поля изоморфны , касательное пространство в единице. Фактически, если мы позволим действуют на себя посредством правого умножения, соответствующие фундаментальные векторные поля являются в точности левоинвариантными векторными полями.

Действия гамильтоновой группы

в мотивация, было показано, что существует взаимно однозначное соответствие между гладкими действия и полные векторные поля. Точно так же существует биективное соответствие между симплектическими действиями (индуцированными диффеоморфизмы все симплектоморфизмы ) и заполнить симплектические векторные поля.

Близко родственная идея - идея Гамильтоновы векторные поля. Для симплектического многообразия мы говорим, что является гамильтоновым векторным полем, если существует гладкая функция удовлетворение

где карта это интерьерный продукт. Это мотивирует определение понятия Гамильтонова группа действий следующим образом: Если группа Ли с алгеброй Ли и это групповое действие на гладком многообразии , то мы говорим, что является действием гамильтоновой группы, если существует карта моментов так что для каждого ,

куда и фундаментальное векторное поле

Рекомендации

  1. ^ Хоу, Бо-Ю (1997), Дифференциальная геометрия для физиков, Всемирная научная издательская компания, ISBN  978-9810231057
  2. ^ а б Ана Каннас да Силва (2008). Лекции по симплектической геометрии. Springer. ISBN  978-3540421955.
  3. ^ а б Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия. Springer. ISBN  0-387-95448-1.
  4. ^ а б Оден, Мишель (2004). Действия тора на симплектических многообразиях. Birkhäuser. ISBN  3-7643-2176-8.
  5. ^ а б Либерманн, Полетт; Марль, Шарль-Мишель (1987). Симплектическая геометрия и аналитическая механика. Springer. ISBN  978-9027724380.