Фундаментальное векторное поле - Fundamental vector field

При изучении математика и особенно дифференциальная геометрия, фундаментальные векторные поля являются инструментом, который описывает бесконечно малое поведение гладкий Группа Ли действие на гладкое многообразие. Такой векторные поля найти важные приложения в изучении Теория лжи, симплектическая геометрия, и изучение Действия гамильтоновой группы.

Мотивация

Важно для приложений по математике и физика^[1] это понятие поток на коллекторе. В частности, если ${displaystyle M}$ это гладкое многообразие и ${displaystyle X}$ гладкий векторное поле, интересно найти интегральные кривые к ${displaystyle X}$. Точнее, учитывая ${displaystyle pin M}$ кто-то интересуется кривыми ${displaystyle gamma _ {p}: mathbb {R} o M}$ такой, что

${displaystyle gamma _ {p} '(t) = X_ {gamma _ {p} (t)}, qquad gamma _ {p} (0) = p,}$

для которых локальные решения гарантируются Теорема существования и единственности обыкновенных дифференциальных уравнений. Если ${displaystyle X}$ кроме того полное векторное поле, то поток ${displaystyle X}$, определяемую как совокупность всех интегральных кривых для ${displaystyle X}$, это диффеоморфизм из ${displaystyle M}$. Течение ${displaystyle phi _ {X}: mathbb {R} imes M o M}$ данный ${displaystyle phi _ {X} (t, p) = гамма _ {p} (t)}$ на самом деле действие добавки Группа Ли ${displaystyle (mathbb {R}, +)}$ на ${displaystyle M}$.

И наоборот, каждое плавное действие ${displaystyle A: mathbb {R} imes M o M}$ определяет полное векторное поле ${displaystyle X}$ через уравнение

${displaystyle X_ {p} = left. {frac {d} {dt}} ight | _ {t = 0} A (t, p).}$

Тогда это простой результат^[2] что существует взаимно однозначное соответствие между ${displaystyle mathbb {R}}$ действия на ${displaystyle M}$ и полные векторные поля на ${displaystyle M}$.

На языке теории течения векторное поле ${displaystyle X}$ называется бесконечно малый генератор.^[3] Интуитивно поведение потока в каждой точке соответствует «направлению», указанному векторным полем. Возникает естественный вопрос, можно ли установить аналогичное соответствие между векторными полями и более произвольными действиями группы Ли на ${displaystyle M}$.

Определение

Позволять ${displaystyle G}$ - группа Ли с соответствующими Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Кроме того, пусть ${displaystyle M}$ - гладкое многообразие, наделенное плавное действие ${displaystyle A: G imes M o M}$. Обозначим карту ${displaystyle A_ {p}: G o M}$ такой, что ${displaystyle A_ {p} (g) = A (g, p)}$, называется карта орбиты ${displaystyle A}$ соответствующий ${displaystyle p}$.^[4] За ${displaystyle Xin {mathfrak {g}}}$, фундаментальное векторное поле ${displaystyle X ^ {#}}$ соответствующий ${displaystyle X}$ является любым из следующих эквивалентных определений:^[2][4][5]

• ${displaystyle X_ {p} ^ {#} = d_ {e} A_ {p} (X)}$
• ${displaystyle X_ {p} ^ {#} = d _ {(e, p)} слева (X, 0_ {T_ {p} M} ight)}$
• ${displaystyle X_ {p} ^ {#} = left. {frac {d} {dt}} ight | _ {t = 0} Aleft (exp (tX), pight)}$

куда ${displaystyle d}$ это дифференциал гладкого отображения и ${displaystyle 0_ {T_ {p} M}}$ это нулевой вектор в векторное пространство ${displaystyle T_ {p} M}$.

Карта ${displaystyle {mathfrak {g}} o Gamma (TM), Xmapsto X ^ {#}}$ можно затем показать как Гомоморфизм алгебр Ли.^[5]

Приложения

Группы Ли

Алгебра Ли группы Ли ${displaystyle G}$ можно отождествить с лево или правоинвариантными векторными полями на ${displaystyle G}$. Это хорошо известный результат^[3] что такие векторные поля изоморфны ${displaystyle T_ {e} G}$, касательное пространство в единице. Фактически, если мы позволим ${displaystyle G}$ действуют на себя посредством правого умножения, соответствующие фундаментальные векторные поля являются в точности левоинвариантными векторными полями.

Действия гамильтоновой группы

в мотивация, было показано, что существует взаимно однозначное соответствие между гладкими ${displaystyle mathbb {R}}$ действия и полные векторные поля. Точно так же существует биективное соответствие между симплектическими действиями (индуцированными диффеоморфизмы все симплектоморфизмы ) и заполнить симплектические векторные поля.

Близко родственная идея - идея Гамильтоновы векторные поля. Для симплектического многообразия ${displaystyle (M, omega)}$мы говорим, что ${displaystyle X_ {H}}$ является гамильтоновым векторным полем, если существует гладкая функция ${displaystyle H: M o mathbb {R}}$ удовлетворение

${displaystyle dH = iota _ {X_ {H}} omega}$

где карта ${displaystyle iota}$ это интерьерный продукт. Это мотивирует определение понятия Гамильтонова группа действий следующим образом: Если ${displaystyle G}$ группа Ли с алгеброй Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ и ${displaystyle A: G imes M o M}$ это групповое действие ${displaystyle G}$ на гладком многообразии ${displaystyle M}$, то мы говорим, что ${displaystyle A}$ является действием гамильтоновой группы, если существует карта моментов ${displaystyle mu: M o {mathfrak {g}} ^ {*}}$ так что для каждого ${displaystyle Xin {mathfrak {g}}}$,

${displaystyle dmu ^ {X} = iota _ {X ^ {#}} omega,}$

куда ${displaystyle mu ^ {X}: M o mathbb {R}, pmapsto langle mu (p), Xangle}$ и ${displaystyle X ^ {#}}$ фундаментальное векторное поле ${displaystyle X}$

Рекомендации