Полная кривизна - Total curvature

Эта кривая имеет общую кривизну 6π, и индекс / номер поворота 3, хотя он имеет только номер намотки 2 о п.

В математический изучение дифференциальная геометрия кривых, то полная кривизна из погруженный плоская кривая это интеграл из кривизна вдоль кривой, взятой относительно длина дуги:

Общая кривизна замкнутой кривой всегда кратна 2.π, называется показатель кривой, или номер поворота - это номер намотки подразделения касательный вектор о начале координат, или, что то же самое, о степени отображения на единичный круг присвоение каждой точке кривой вектора единичной скорости в этой точке. Эта карта похожа на Карта Гаусса для поверхностей.

Сравнение с поверхностями

Это соотношение между локальным геометрическим инвариантом, кривизной и глобальным топологический инвариант, индекс, характерен для результатов в многомерных Риманова геометрия такой как Теорема Гаусса – Бонне.

Инвариантность

Согласно Теорема Уитни – Граустейна, полная кривизна инвариантна относительно регулярная гомотопия кривой: это степень Карта Гаусса. Однако он не инвариантен относительно гомотопии: прохождение через перегиб (куспид) изменяет число поворота на 1.

Напротив, номер намотки относительно точки инвариантен относительно гомотопий, которые не проходят через точку, и изменяется на 1, если кто-то проходит через точку.

Обобщения

Закрытый многоугольная цепь, с общей кривизной 2π.

Конечное обобщение состоит в том, что внешние углы треугольника или, в более общем смысле, любого простой многоугольник, складываем до 360 ° = 2π радиан, что соответствует числу поворота 1. В общем, многоугольные цепи которые не возвращаются сами по себе (без углов 180 °), имеют четко определенную общую кривизну, интерпретируя кривизну как точечные массы на углах.

В полная абсолютная кривизна кривой определяется почти так же, как и общая кривизна, но с использованием абсолютного значения кривизны вместо кривизны со знаком. Это 2π для выпуклые кривые в плоскости и больше для невыпуклых кривых.[1] Его также можно обобщить на кривые в пространствах с более высокой размерностью, сглаживая касательная разворачивающаяся к γ в плоскость и вычисление общей кривизны полученной кривой. То есть полная кривизна кривой в п-мерное пространство

где κп−1 последняя кривизна Френе ( кручение кривой) и sgn это сигнум функция.

Минимальная общая абсолютная кривизна любой трехмерной кривой, представляющей данную узел является инвариантный узла. Этот инвариант имеет значение 2π для развязки, но на Теорема Фэри-Милнора это не менее 4π для любого другого узла.[2]

использованная литература

  1. ^ Чен, Банг-Йен (2000), "Римановы подмногообразия", Справочник по дифференциальной геометрии, Вып. я, Северная Голландия, Амстердам, стр. 187–418, Дои:10.1016 / S1874-5741 (00) 80006-0, Г-Н  1736854. См., В частности, раздел 21.1, «Индекс поворота и общая кривизна кривой», стр. 359–360.
  2. ^ Милнор, Джон В. (1950), «О полной кривизне узлов», Анналы математики, Вторая серия, 52 (2): 248–257, Дои:10.2307/1969467, JSTOR  1969467
  • Кунель, Вольфганг (2005), Дифференциальная геометрия: кривые - поверхности - многообразия (2-е изд.) Американского математического общества, ISBN  978-0-8218-3988-1 (перевод Брюса Ханта)
  • Салливан, Джон М. (2008), «Кривые конечной полной кривизны», Дискретная дифференциальная геометрия, Обервольфах Семин., 38, Birkhäuser, Basel, стр. 137–161, arXiv:математика / 0606007, Дои:10.1007/978-3-7643-8621-4_7, Г-Н  2405664