Теорема Фэри-Милнора - Fary–Milnor theorem

в математическая теория узлов, то Теорема Фэри-Милнора, названный в честь Иштван Фари и Джон Милнор, утверждает, что трехмерный плавные кривые с маленьким полная кривизна должно быть несвязанный. Теорема была независимо доказана Фари в 1949 г. и Милнором в 1950 г. Позже было показано, что она следует из существования квадрисканты (Денн 2004 ).

Заявление

Если K какой-либо закрытый изгиб в Евклидово пространство это достаточно гладкий определить кривизна κ в каждой из своих точек, и если полная абсолютная кривизна меньше или равно 4π, то K является развязанный, то есть:

${ displaystyle { text {If}} , oint _ {K} ! | kappa (s) | , operatorname {d} s leq 4 pi { text {then}} K { text {- это неузел}}.}$

Шов бейсбол следует по кривой без узлов с общей кривизной примерно 4π. Сделав кривую более извилистой, можно сделать узлы произвольно большой кривизной.

В контрапозитивный говорит нам, что если K не является узлом, т.е. K не является изотопический к окружности, то общая кривизна будет строго больше 4π. Обратите внимание на то, что общая кривизна меньше или равна 4π это просто достаточное условие за K быть развязанным; это не необходимое условие. Другими словами, хотя все узлы с общей кривизной меньше или равной 4π являются несучками, существуют неузлы с кривизной, строго превышающей 4π.

Обобщения на негладкие кривые

Для замкнутых многоугольных цепей тот же результат имеет место с заменой интеграла кривизны на сумму углов между соседними сегментами цепи. Аппроксимируя произвольные кривые многоугольными цепями, можно распространить определение полной кривизны на более широкие классы кривых, в пределах которых также выполняется теорема Фари – Милнора (Милнор 1950, Салливан 2008 ).

Рекомендации

• Денн, Элизабет Джейн (2004), Чередующиеся квадрицепсы узлов, Кандидат наук. диссертация, Университет Иллинойса в Урбана-Шампейн, arXiv:математика / 0510561, Bibcode:2005математика ..... 10561D.
• Фэри, И. (1949), "Sur la Courbure Totale d'une Courbe gauche faisant un nœud", Bulletin de la Société Mathématique de France, 77: 128–138.
• Милнор, Дж. У. (1950), «О полной кривизне узлов», Анналы математики, 52 (2): 248–257, Дои:10.2307/1969467.
• Салливан, Джон М. (2008), «Кривые конечной полной кривизны», Дискретная дифференциальная геометрия, Обервольфах Семин., 38, Birkhäuser, Basel, стр. 137–161, arXiv:математика / 0606007, Дои:10.1007/978-3-7643-8621-4_7, МИСТЕР  2405664.

внешняя ссылка

• Феннер, Стивен А. (1990), Общая кривизна узла (длинная). Феннер описывает геометрическое доказательство теоремы и связанной с ней теоремы о том, что любая гладкая замкнутая кривая имеет полную кривизну не менее 2π.