Регулярная гомотопия - Regular homotopy

в математический поле топология, а регулярная гомотопия относится к особому виду гомотопия между погружения одного многообразие в другой. Гомотопия должна быть однопараметрическим семейством иммерсий.

Похожий на гомотопические классы, два погружения определяются как принадлежащие к одному и тому же регулярному гомотопическому классу, если между ними существует регулярная гомотопия. Регулярная гомотопия для иммерсий подобна изотопия вложений: оба они являются ограниченными типами гомотопий. Другими словами, две непрерывные функции ${displaystyle f, g: M o N}$ гомотопны, если они представляют точки в одних и тех же компонентах пути пространства отображений ${displaystyle C (M, N)}$, Учитывая компактно-открытая топология. В пространство погружений является подпространством ${displaystyle C (M, N)}$ состоящий из погружений, обозначим его ${displaystyle Imm (M, N)}$. Два погружения ${displaystyle f, g: M o N}$ находятся регулярно гомотопный если они представляют точки в одном компоненте пути ${displaystyle Imm (M, N)}$.

Примеры

Эта кривая полная кривизна 6π, и номер поворота 3.

В Теорема Уитни – Граустейна. классифицирует регулярные гомотопические классы окружности на плоскости; два погружения регулярно гомотопны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые номер поворота - эквивалентно, полная кривизна; эквивалентно, если и только если их Карты Гаусса иметь одинаковую степень /номер намотки.

Классификация погружений сфер Смейла показывает, что выворот сферы существуют, что может быть реализовано с помощью этого Поверхность Морина.

Стивен Смейл классифицировал регулярные гомотопические классы k-сфера погружена в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ - они классифицируются по гомотопическим группам Многообразия Штифеля, которое является обобщением отображения Гаусса, причем здесь k частные производные не исчезают. Следствие его работы состоит в том, что существует только один регулярный гомотопический класс 2-сфера погружена в ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$. В частности, это означает, что выворот сферы существуют, т.е. можно вывернуть 2-сферу «наизнанку».

Оба этих примера сводятся к сведению регулярной гомотопии к гомотопии; впоследствии это было существенно обобщено в принцип гомотопии (или же час-принцип) подход.

Рекомендации

• Уитни, Хасслер (1937). «О правильных замкнутых кривых на плоскости». Compositio Mathematica. 4: 276–284.
• Смейл, Стивен (Февраль 1959 г.). «Классификация погружений двух сфер» (PDF). Труды Американского математического общества. 90 (2): 281–290. Дои:10.2307/1993205. JSTOR  1993205.
• Смейл, Стивен (Март 1959 г.). «Классификация погружений сфер в евклидовы пространства» (PDF). Анналы математики. 69 (2): 327–344. Дои:10.2307/1970186. JSTOR  1970186.