Коллектор Штифеля - Stiefel manifold

В математика, то Коллектор Штифеля ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {R} ^ {n})}$ это набор всех ортонормированный k-рамки в ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ То есть это набор упорядоченных ортонормированных k-наборы векторов в ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ Он назван в честь швейцарского математика. Эдуард Штифель. Таким же образом можно определить сложный Коллектор Штифеля ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {C} ^ {n})}$ ортонормированного k-рамки в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ и кватернионный Коллектор Штифеля ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {H} ^ {n})}$ ортонормированного k-рамки в ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ . В более общем смысле конструкция применима к любым реальным, сложным или кватернионным внутреннее пространство продукта.

В некоторых контекстах некомпактный Многообразие Штифеля определяется как множество всех линейно независимый k-рамки в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {n}, mathbb {C} ^ {n},}$ или же ${ Displaystyle mathbb {H} ^ {n};}$ это гомотопически эквивалентно, поскольку компактное многообразие Штифеля является деформационный отвод некомпактного, по Грам – Шмидт. Утверждения о некомпактной форме соответствуют утверждениям для компактной формы, заменяя ортогональную группу (или унитарную, или симплектическую группу) на общая линейная группа.

Топология

Позволять ${ Displaystyle mathbb {F}}$ стоять за ${ Displaystyle mathbb {R}, mathbb {C},}$ или же ${ displaystyle mathbb {H}.}$ Многообразие Штифеля ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {F} ^ {n})}$ можно рассматривать как набор п × k матрицы написав k-кадр как матрица k вектор-столбец в ${ displaystyle mathbb {F} ^ {n}.}$ Условие ортонормированности выражается как А*А = ${ displaystyle I_ {k}}$ куда А* обозначает сопряженный транспонировать из А и ${ displaystyle I_ {k}}$ обозначает k × k единичная матрица. Тогда у нас есть

{ displaystyle V_ {k} ( mathbb {F} ^ {n}) = left {A in mathbb {F} ^ {n times k}: A ^ {*} A = I_ {k} верно}.}

В топология на ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {F} ^ {n})}$ это топология подпространства унаследовано от ${ displaystyle mathbb {F} ^ {n times k}.}$ С этой топологией ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {F} ^ {n})}$ это компактный многообразие чье измерение дается

{ Displaystyle { begin {align} dim V_ {k} ( mathbb {R} ^ {n}) & = nk - { frac {1} {2}} k (k + 1) dim V_ {k} ( mathbb {C} ^ {n}) & = 2nk-k ^ {2} dim V_ {k} ( mathbb {H} ^ {n}) & = 4nk-k (2k -1) конец {выровнено}}}

Как однородное пространство

Каждое из многообразий Штифеля ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {F} ^ {n})}$ можно рассматривать как однородное пространство для действие из классическая группа естественным образом.

Каждое ортогональное преобразование k-рамка в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ приводит к другому k-frame и любые два k-кадры связаны некоторым ортогональным преобразованием. Другими словами, ортогональная группа O (п) действует переходно на ${ displaystyle V_ {k} ( mathbb {R} ^ {n}).}$ В подгруппа стабилизатора данного фрейма - это подгруппа, изоморфная O (п−k), который нетривиально действует на ортогональное дополнение пространства, охватываемого этим фреймом.

Аналогичным образом унитарная группа U (п) действует транзитивно на ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {C} ^ {n})}$ со стабилизирующей подгруппой U (п−k) и симплектическая группа Sp (п) действует транзитивно на ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {H} ^ {n})}$ со стабилизирующей подгруппой Sp (п−k).

В каждом случае ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {F} ^ {n})}$ можно рассматривать как однородное пространство:

{ displaystyle { begin {align} V_ {k} ( mathbb {R} ^ {n}) & cong { mbox {O}} (n) / { mbox {O}} (nk) V_ {k} ( mathbb {C} ^ {n}) & cong { mbox {U}} (n) / { mbox {U}} (nk) V_ {k} ( mathbb {H } ^ {n}) & cong { mbox {Sp}} (n) / { mbox {Sp}} (nk) end {выравнивается}}}

Когда k = п, соответствующее действие свободно, так что многообразие Штифеля ${ Displaystyle V_ {п} ( mathbb {F} ^ {п})}$ это главное однородное пространство для соответствующей классической группы.

Когда k строго меньше, чем п затем специальная ортогональная группа ТАК(п) также действует транзитивно на ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {R} ^ {n})}$ с подгруппой стабилизатора, изоморфной SO (п−k) так что

{ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {R} ^ {n}) cong { mbox {SO}} (n) / { mbox {SO}} (nk) qquad { mbox {for}} к <п.}

То же верно и для действия особая унитарная группа на ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {C} ^ {n})}$

{ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {C} ^ {n}) cong { mbox {SU}} (n) / { mbox {SU}} (nk) qquad { mbox {for}} к <п.}

Таким образом, для k = п - 1 многообразие Штифеля является главным однородным пространством для соответствующего специальный классическая группа.

Единая мера

Коллектор Штифеля может быть оснащен единообразная мера, т.е. Мера Бореля то есть инвариантный под действием указанных выше групп. Например, ${ Displaystyle V_ {1} ( mathbb {R} ^ {2})}$ который изоморфен единичной окружности на евклидовой плоскости, имеет своей равномерной мерой очевидную равномерную меру (длина дуги ) по кругу. Эту меру несложно попробовать на ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {F} ^ {n})}$ используя гауссовский случайные матрицы: если ${ Displaystyle А в mathbb {F} ^ {п раз k}}$ случайная матрица с независимые записи одинаково распределены согласно стандартное нормальное распределение на ${ Displaystyle mathbb {F}}$ и А = QR это QR-факторизация из А, то матрицы, ${ displaystyle Q in mathbb {F} ^ {n times k}, R in mathbb {F} ^ {k times k}}$ находятся независимые случайные величины и Q распределяется по единой мере на ${ displaystyle V_ {k} ( mathbb {F} ^ {n}).}$ Этот результат является следствием Теорема разложения Бартлетта.^[1]

Особые случаи

1 кадр в ${ Displaystyle mathbb {F} ^ {п}}$ не что иное, как единичный вектор, поэтому многообразие Штифеля ${ Displaystyle V_ {1} ( mathbb {F} ^ {n})}$ это просто единичная сфера в ${ displaystyle mathbb {F} ^ {n}.}$ Следовательно:

{ Displaystyle { begin {align} V_ {1} ( mathbb {R} ^ {n}) & = S ^ {n-1} V_ {1} ( mathbb {C} ^ {n}) & = S ^ {2n-1} V_ {1} ( mathbb {H} ^ {n}) & = S ^ {4n-1} end {выровнено}}}

Учитывая 2 кадра в ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ пусть первый вектор определяет точку в S^п−1 а второй блок касательный вектор к сфере в этой точке. Таким образом, многообразие Штифеля ${ Displaystyle V_ {2} ( mathbb {R} ^ {n})}$ может быть отождествлен с единичный касательный пучок к S^п−1.

Когда k = п или же п−1 мы видели в предыдущем разделе, что ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {F} ^ {n})}$ является главным однородным пространством, поэтому диффеоморфный к соответствующей классической группе:

{ displaystyle { begin {align} V_ {n-1} ( mathbb {R} ^ {n}) & cong mathrm {SO} (n) V_ {n-1} ( mathbb {C } ^ {n}) & cong mathrm {SU} (n) end {выровнено}}}

{ displaystyle { begin {align} V_ {n} ( mathbb {R} ^ {n}) & cong mathrm {O} (n) V_ {n} ( mathbb {C} ^ {n }) & cong mathrm {U} (n) V_ {n} ( mathbb {H} ^ {n}) & cong mathrm {Sp} (n) end {выравнивается}}}

Функциональность

Учитывая ортогональное включение между векторными пространствами ${ displaystyle X hookrightarrow Y,}$ изображение набора k ортонормированные векторы ортонормированы, поэтому существует индуцированное замкнутое включение многообразий Штифеля, ${ Displaystyle V_ {k} (X) hookrightarrow V_ {k} (Y),}$ а это функториальный. Более тонко, учитывая п-мерное векторное пространство Икс, то двойная основа конструкция дает взаимно однозначное соответствие между основаниями для Икс и основания для двойственного пространства ${ displaystyle X ^ {*},}$ которая является непрерывной и, таким образом, дает гомеоморфизм верхних многообразий Штифеля ${ displaystyle V_ {n} (X) { stackrel { sim} { to}} V_ {n} (X ^ {*}).}$ Это также функториально для изоморфизмов векторных пространств.

В качестве основного пакета

Есть естественная проекция

{ displaystyle p: V_ {k} ( mathbb {F} ^ {n}) to G_ {k} ( mathbb {F} ^ {n})}

из многообразия Штифеля ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {F} ^ {n})}$ к Грассманиан из k-самолеты в ${ Displaystyle mathbb {F} ^ {п}}$ который отправляет k-рамка к подпространство охваченный этим фреймом. В волокно над заданной точкой п в ${ Displaystyle G_ {к} ( mathbb {F} ^ {n})}$ это набор всех ортонормированных k-рамки, содержащиеся в пространстве п.

Эта проекция имеет структуру главный грамм-пучок куда грамм ассоциированная классическая группа степени k. Возьмем реальный случай для конкретности. Существует естественное правое действие O (k) на ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {R} ^ {n})}$ который вращает k-рамка в пространстве, которое она занимает. Это действие бесплатное, но не переходное. В орбиты этого действия в точности ортонормированы k-кадры, охватывающие данный k-мерное подпространство; то есть они волокна карты п. Аналогичные аргументы справедливы в комплексном и кватернионном случаях.

Тогда у нас есть последовательность основных связок:

{ displaystyle { begin {align} mathrm {O} (k) & to V_ {k} ( mathbb {R} ^ {n}) to G_ {k} ( mathbb {R} ^ {n }) mathrm {U} (k) & to V_ {k} ( mathbb {C} ^ {n}) to G_ {k} ( mathbb {C} ^ {n}) mathrm {Sp} (k) & to V_ {k} ( mathbb {H} ^ {n}) to G_ {k} ( mathbb {H} ^ {n}) end {выровнено}}}

В векторные пучки связанный к этим главным расслоениям естественным действием грамм на ${ displaystyle mathbb {F} ^ {k}}$ просто тавтологические связки над грассманианами. Другими словами, многообразие Штифеля ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {F} ^ {n})}$ ортогональный, унитарный или симплектический комплект кадров ассоциированный с тавтологическим расслоением на грассманиане.

Когда переходишь к ${ Displaystyle п к infty}$ предел, эти пакеты становятся универсальные пакеты для классических групп.

Гомотопия

Многообразия Штифеля входят в семейство расслоения:

{ displaystyle V_ {k-1} ( mathbb {R} ^ {n-1}) to V_ {k} ( mathbb {R} ^ {n}) to S ^ {n-1},}

таким образом, первый нетривиальный гомотопическая группа пространства ${ Displaystyle V_ {к} ( mathbb {R} ^ {n})}$ находится в измерении п − k. Более того,

{ displaystyle pi _ {nk} V_ {k} ( mathbb {R} ^ {n}) simeq { begin {cases} mathbb {Z} & n-k { text {даже или}} k = 1 mathbb {Z} _ {2} & n-k { text {odd and}} k> 1 end {case}}}

Этот результат используется в теоретико-препятственном определении Классы Штифеля – Уитни.

Смотрите также

Множество флагов