Дифференциальная геометрия поверхностей - Differential geometry of surfaces

Карл Фридрих Гаусс в 1828 г.

В математика, то дифференциальная геометрия поверхностей имеет дело с дифференциальная геометрия из гладкий; плавный поверхности с различными дополнительными конструкциями, чаще всего Риманова метрика.Поверхности были тщательно изучены с разных точек зрения: внешне, относящиеся к их встраивание в Евклидово пространство и по сути, отражая их свойства, определяемые исключительно расстоянием внутри поверхности, измеренным по кривым на поверхности. Одна из фундаментальных исследуемых концепций - это Гауссова кривизна, впервые подробно изученный Карл Фридрих Гаусс,^[1] который показал, что кривизна является внутренним свойством поверхности, независимым от ее изометрического вложения в евклидово пространство.

Поверхности естественно возникают как графики из функции пары переменные, а иногда появляются в параметрической форме или как места связаны с космические кривые. Важную роль в их исследовании сыграли Группы Ли (в духе Программа Эрланген ), а именно группы симметрии из Евклидова плоскость, то сфера и гиперболическая плоскость. Эти группы Ли можно использовать для описания поверхностей постоянной гауссовой кривизны; они также являются важным компонентом современного подхода к внутренней дифференциальной геометрии через связи. С другой стороны, внешние свойства, основанные на вложении поверхности в евклидово пространство, также широко изучаются. Это хорошо иллюстрирует нелинейная Уравнения Эйлера – Лагранжа. в вариационное исчисление: хотя Эйлер разработал уравнения с одной переменной, чтобы понять геодезические, определенных независимо от вложения, одно из основных приложений Лагранжа двух уравнений с переменными было минимальные поверхности, концепция, которая может быть определена только в терминах вложения.

История

Бернхард Риманн (1826-1866)

Объемы некоторых квадратичные поверхности из революция были рассчитаны Архимед.^[2] Развитие исчисление в семнадцатом веке предоставил более систематический способ их вычисления.^[3] Кривизна общих поверхностей впервые была изучена Эйлер. В 1760 г.^[4] он доказал формулу кривизны плоского сечения поверхности и в 1771 г.^[5] он рассматривал поверхности, представленные в параметрической форме. Monge заложил основы своей теории в своих классических мемуарах L'application de l'analyse à la géometrie появившаяся в 1795 г. Определяющий вклад в теорию поверхностей внесен Гаусс в двух замечательных статьях 1825 и 1827 гг.^[1] Это ознаменовало новый отход от традиции, потому что Гаусс впервые рассмотрел внутренний геометрия поверхности, свойства которой определяются только геодезическими расстояниями между точками на поверхности независимо от того, каким образом поверхность расположена в окружающем евклидовом пространстве. Венчающий результат, Теорема Egregium Гаусса установил, что Гауссова кривизна является внутренним инвариантом, т.е. инвариантным относительно локальных изометрии. Эта точка зрения была распространена на многомерные пространства Риман и привело к тому, что сегодня известно как Риманова геометрия. Девятнадцатый век был золотым веком теории поверхностей как с топологической, так и с дифференциально-геометрической точки зрения, и большинство ведущих геометров посвятили себя их изучению.^{[нужна цитата ]} Дарбу собрал много результатов в своем четырехтомном трактате Теория поверхностей (1887–1896).

Обзор

Интуитивно довольно знакомо сказать, что лист растения, поверхность стекла или форма лица имеют определенные изгибы, и что все эти формы, даже без учета каких-либо отличительных знаков, имеют определенные геометрические формы. особенности, которые отличают одно от другого. Дифференциальная геометрия поверхностей занимается математическим пониманием таких явлений. Изучение этой области, которое в современной форме было начато в 1700-х годах, привело к развитию многомерной и абстрактной геометрии, такой как Риманова геометрия и общая теория относительности.^{[оригинальное исследование? ]}

Существенный математический объект - объект регулярная поверхность. Хотя соглашения различаются по точному определению, они образуют общий класс подмножеств трехмерных Евклидово пространство (ℝ³), которые отражают часть знакомого понятия «поверхность». Анализируя класс кривых, лежащих на такой поверхности, и степень, в которой эти поверхности заставляют их изгибаться в ℝ³, каждой точке поверхности можно сопоставить два числа, называемых основные искривления. Их среднее значение называется средняя кривизна поверхности, а их продукт называется Гауссова кривизна.

Есть много классических примеров регулярных поверхностей, в том числе:

• знакомые примеры, такие как плоскости, цилиндры и сферы
• минимальные поверхности, которые определяются тем свойством, что их средняя кривизна равна нулю в каждой точке. Наиболее известные примеры: катеноиды и геликоиды, хотя было обнаружено гораздо больше. Минимальные поверхности также могут быть определены свойствами, связанными с площадь поверхности, в результате чего они обеспечивают математическую модель формы мыльные фильмы при натяжении на проволочный каркас
• линейчатые поверхности, которые представляют собой поверхности, через каждую точку которых проходит хотя бы одна прямая линия; примеры включают цилиндр и гиперболоид одного листа.

Удивительный результат Карл Фридрих Гаусс, известный как теорема эгрегиум, показали, что гауссова кривизна поверхности, которая по своему определению связана с тем, как кривые на поверхности меняют направление в трехмерном пространстве, на самом деле может быть измерена длинами кривых, лежащих на поверхностях вместе с углами, образованными при двух кривые на поверхности пересекаются. Терминологически это говорит о том, что гауссова кривизна может быть вычислена из первая фундаментальная форма (также называется метрический тензор ) поверхности. В вторая основная форма, напротив, это объект, который кодирует, как длина и углы кривых на поверхности искажаются, когда кривые отталкиваются от поверхности.

Несмотря на измерения различных аспектов длины и угла, первая и вторая основные формы не являются независимыми друг от друга и удовлетворяют определенным ограничениям, называемым Уравнения Гаусса-Кодацци. Основная теорема, часто называемая фундаментальной теоремой дифференциальной геометрии поверхностей, утверждает, что всякий раз, когда два объекта удовлетворяют ограничениям Гаусса-Кодацци, они возникают как первая и вторая фундаментальные формы регулярной поверхности.

Используя первую фундаментальную форму, можно определять новые объекты на регулярной поверхности. Геодезические кривые на поверхности, удовлетворяющие некоторому обыкновенное дифференциальное уравнение что определяется первой фундаментальной формой. Они очень напрямую связаны с изучением длин кривых; геодезическая достаточно короткой длины всегда будет кривой самый короткий длина на поверхности, которая соединяет две его конечные точки. Таким образом, геодезические являются фундаментальными для задачи оптимизации определения кратчайшего пути между двумя заданными точками на регулярной поверхности.

Можно также определить параллельный транспорт вдоль любой данной кривой, что дает рецепт, как деформировать касательный вектор к поверхности в одной точке кривой до касательных векторов во всех других точках кривой. Рецепт определяется по первому порядку. обыкновенное дифференциальное уравнение что определяется первой фундаментальной формой.

Вышеупомянутые концепции, по сути, все связаны с многомерным исчислением. В Теорема Гаусса-Бонне является более глобальным результатом, который связывает гауссову кривизну поверхности с ее топологическим типом. Он утверждает, что среднее значение гауссовой кривизны полностью определяется Эйлерова характеристика поверхности вместе с ее площадью поверхности.

Понятие Риманово многообразие и Риманова поверхность являются двумя обобщениями обсуждаемых выше регулярных поверхностей. В частности, практически вся обсуждаемая здесь теория регулярных поверхностей имеет обобщение в теории римановых многообразий. Это не так для римановых поверхностей, хотя каждая регулярная поверхность является примером римановой поверхности.

Регулярные поверхности в евклидовом пространстве

Определение

Интуитивно понятно, что сфера гладкая, а конус или пирамида из-за их вершины или ребер - нет. Понятие «регулярная поверхность» является формализацией понятия гладкой поверхности. Определение использует локальное представление поверхности через карты между Евклидовы пространства. Для таких отображений существует стандартное понятие гладкости; отображение между двумя открытыми подмножествами евклидова пространства является гладким, если его частные производные любого порядка существуют в каждой точке области.^[6][7][8]

Ниже приведены три эквивалентных способа представления определения; среднее определение, пожалуй, наиболее интуитивно понятное, поскольку в нем говорится, что обычная поверхность - это подмножество ℝ³ который локально является графиком гладкой функции (будь то над областью в yz самолет, xz самолет, или ху самолет).

Локальная параметризация формы пятна Монжа для верхней полусферы 2-сферы, полученная путем проецирования на ху-самолет

Гомеоморфизмы, появляющиеся в первом определении, известны как локальные параметризации или местные системы координат или местные диаграммы на S.^[13] Эквивалентность первых двух определений утверждает, что вокруг любой точки на регулярной поверхности всегда существуют локальные параметризации вида (ты, v) ↦ (час(ты, v), ты, v), (ты, v) ↦ (ты, час(ты, v), v), или (ты, v) ↦ (ты, v, час(ты, v)), известный как Патчи Монжа. Функции F как в третьем определении называются локальные определяющие функции. Эквивалентность всех трех определений следует из теорема о неявной функции.^[14][15][16]

Изменения координат между разными локальными картами должны быть плавными.

Для любых двух локальных параметризаций ж : V → U и ж ′ : V ′→ U ′ регулярной поверхности состав ж ⁻¹ ∘ ж ′ обязательно гладко как отображение между открытыми подмножествами ℝ².^[17] Это показывает, что любая регулярная поверхность естественным образом имеет структуру гладкое многообразие, с гладким атласом, задаваемым обратными локальными параметризациями.

В классической теории дифференциальной геометрии поверхности обычно изучаются только в регулярном случае.^[18][19] Однако также распространено изучение нерегулярных поверхностей, на которых две частные производные ∂_ты ж и ∂_v ж локальной параметризации может не быть линейно независимый. В таком случае, S могут иметь особенности, такие как куспидальные края. Такие поверхности обычно изучаются в теория сингулярности. Другие ослабленные формы правильных поверхностей встречаются в системы автоматизированного проектирования, где поверхность разбита на непересекающиеся части, а производные от локальных параметризаций не могут быть даже непрерывными по границам.^{[нужна цитата ]}

Гиперболоид из двух листов

Тор

Геликоид

Простые примеры. Простой пример регулярной поверхности - двумерная сфера {(Икс, у, z) | Икс² + у² + z² = 1}; эта поверхность может быть покрыта шестью пятнами Монжа (по два каждого из трех типов, указанных выше), принимая час(ты, v) = ± (1 − ты² − v²)^1/2. Его также можно покрыть двумя локальными параметризациями, используя стереографическая проекция. Набор {(Икс, у, z) : ((Икс² + у²)^1/2 − р)² + z² = р²} это тор революции с радиусами р и р. Это обычная поверхность; локальные параметризации можно представить в виде

${ Displaystyle е (s, t) = { big (} (R cos s + r) cos t, (R cos s + r) sin t, R sin s { big)}.}$

В гиперболоид на двух листах {(Икс, у, z) : z² = 1 + Икс² + у²} - регулярная поверхность; он может быть покрыт двумя заплатками Monge, с час(ты, v) = ±(1 + ты² + v²)^1/2. В геликоид появляется в теории минимальные поверхности. Он покрывается единственной локальной параметризацией, ж(ты, v) = (ты грех v, ты потому что v, v).

Касательные векторы и нормальные векторы

Позволять S быть регулярной поверхностью в ℝ³, и разреши п быть элементом S. Используя любое из приведенных выше определений, можно выделить определенные векторы в ℝ³ как касающийся S в п, а некоторые векторы в ℝ³ как ортогональный S в п.

Объекты, используемые в определении	Вектор Икс в ℝ3 касается S в п если...	Вектор п в ℝ3 нормально для S в п если...
Локальные параметризации	... с учетом любой локальной параметризации ж : V → S с участием п ∈ ж(V), Икс является линейной комбинацией ${ displaystyle textstyle { frac { partial f} { partial u}} { big |} _ {f ^ {- 1} (p)}}$ и ${ displaystyle textstyle { frac { partial f} { partial v}} { big |} _ {f ^ {- 1} (p)}}$	... он ортогонален каждому касательному вектору к S в п
Патчи Monge	... для любого патча Monge (ты, v) ↦ (ты, v, час(ты, v)) чей ассортимент включает п, надо ${ displaystyle X ^ {1} { frac { partial h} { partial u}} + X ^ {2} { frac { partial h} { partial v}} - X ^ {3} = 0 ,}$ с частными производными, оцененными в точке (п1, п2). Аналогичное определение применимо к заплатам Монжа двух других форм.	... для любого патча Monge (ты, v) ↦ (ты, v, час(ты, v)) чей ассортимент включает п, п кратно (∂час/∂ты, ∂час/∂v, −1) как оценивается в момент (п1, п2). Аналогичное определение применимо к заплатам Монжа двух других форм.
Неявные функции	... для любой локальной определяющей функции F чей домен содержит п, Икс ортогонален ∇F(п)	... для любой локальной определяющей функции F чей домен содержит п, п кратно ∇F(п)

Видно, что касательное пространство к S в п, который определяется как состоящий из всех касательных векторов к S в п, является двумерным линейным подпространством ℝ³; это часто обозначается как Т_пS. В нормальное пространство к S в п, который определяется как состоящий из всех нормальных векторов к S в п, - одномерное линейное подпространство ℝ³ которое ортогонально касательному пространству Т_пS. Таким образом, в каждой точке п из S, есть два нормальных вектора единичной длины, называемые единичные нормальные векторы. Полезно отметить, что единичные векторы нормали в п могут быть заданы в терминах локальной параметризации, патчей Монжа или локальных определяющих функций с помощью формул

${ displaystyle pm left. { frac {{ frac { partial f} { partial u}} times { frac { partial f} { partial v}}} {{ big |} { frac { partial f} { partial u}} times { frac { partial f} { partial v}} { big |}}} right | _ {f ^ {- 1} ( p)}, qquad pm left. { frac {{ big (} { frac { partial h} { partial u}}, { frac { partial h} { partial v}}, -1 { big)}} { sqrt {1 + { big (} { frac { partial h} { partial u}} { big)} ^ {2} + { big (} { frac { partial h} { partial v}} { big)} ^ {2}}}} right | _ {(p_ {1}, p_ {2})}, qquad { text {или} } qquad pm { frac { nabla F (p)} {{ big |} nabla F (p) { big |}}},}$

используя те же обозначения, что и в предыдущих определениях.

Также полезно отметить «внутреннее» определение касательных векторов, которое типично для обобщения теории регулярных поверхностей на случай гладкие многообразия. Он определяет касательное пространство как абстрактное двумерное реальное векторное пространство, а не как линейное подпространство ℝ³. В этом определении говорится, что касательный вектор к S в п - присвоение каждой локальной параметризации ж : V → S с участием п ∈ ж(V), из двух чисел Икс¹ и Икс², что для любой другой локальной параметризации ж ′ : V → S с участием п ∈ ж(V) (и с соответствующими номерами (Икс ′)¹ и (Икс ′)²), надо

${ displaystyle { begin {pmatrix} X ^ {1} X ^ {2} end {pmatrix}} = A_ {f '(p)} { begin {pmatrix} (X') ^ {1} (X ') ^ {2} end {pmatrix}},}$

где А_{ж ′(п)} это Матрица якобиана картографии ж ⁻¹ ∘ ж ′, оценивается в точке ж ′(п). Набор касательных векторов к S в п естественно имеет структуру двумерного векторного пространства. Касательный вектор в этом смысле соответствует касательному вектору в предыдущем смысле при рассмотрении вектора

${ displaystyle X ^ {1} { frac { partial f} { partial u}} + X ^ {2} { frac { partial f} { partial v}}.}$

в ℝ³. Условие Якоби на Икс¹ и Икс² обеспечивает Правило цепи, что этот вектор не зависит от ж.

Для гладких функций на поверхности векторные поля (то есть касательные векторные поля) имеют важную интерпретацию как операторы или производные первого порядка. Позволять ${ displaystyle S}$ быть регулярной поверхностью, ${ displaystyle U}$ открытое подмножество плоскости и ${ displaystyle f: U rightarrow S}$ координатная диаграмма. Если ${ Displaystyle V = е (U)}$, космос ${ Displaystyle C ^ { infty} (U)}$ можно отождествить с ${ Displaystyle C ^ { infty} (V)}$. так же ${ displaystyle f}$ определяет векторные поля на ${ displaystyle U}$ с векторными полями на ${ displaystyle V}$. Принимая стандартные переменные ты и v, векторное поле имеет вид ${ displaystyle X = a partial _ {u} + b partial _ {v}}$, с участием а и б гладкие функции. Если ${ displaystyle X}$ - векторное поле и ${ displaystyle g}$ - гладкая функция, то ${ displaystyle Xg}$ также является гладкой функцией. Дифференциальный оператор первого порядка ${ displaystyle X}$ это происхождение, т.е. удовлетворяет правилу Лейбница ${ Displaystyle X (gh) = (Xg) h + g (Xh).}$^[20]

Для векторных полей Икс и Y просто проверить, что оператор ${ displaystyle [X, Y] = XY-YX}$ - вывод, соответствующий векторному полю. Это называется Кронштейн лжи ${ displaystyle [X, Y]}$. Это кососимметричный ${ displaystyle [X, Y] = - [Y, X]}$ и удовлетворяет тождеству Якоби:

${ displaystyle [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0.}$

Таким образом, векторные поля на ${ displaystyle U}$ или ${ displaystyle V}$ сформировать Алгебра Ли под скобкой Ли.^[21]

Первая и вторая основные формы, оператор формы и кривизна

Позволять S быть регулярной поверхностью в ℝ³. Учитывая локальную параметризацию ж : V → S и единичное нормальное векторное поле п к ж(V), каждый определяет следующие объекты как функции с действительными или матричными значениями на V. Первая фундаментальная форма зависит только от ж, а не на п. В четвертом столбце указано, каким образом эти функции зависят от ж, связывая функции E ′, F ′, г ′, L ′, и т. д., возникающие при другом выборе локальной параметризации, ж ′ : V ′ → S, тем, кто возникает для ж. Вот А обозначает Матрица якобиана из ж ^–1 ∘ ж ′. Ключевое соотношение в установлении формул четвертого столбца тогда

${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac { partial f '} { partial u}} { frac { partial f'} { partial v}} end {pmatrix}} = A { begin {pmatrix} { frac { partial f} { partial u}} { frac { partial f} { partial v}} end {pmatrix}},}$

как следует из Правило цепи.

Терминология	Обозначение	Определение	Зависимость от локальной параметризации
Первая фундаментальная форма	E	${ displaystyle E = { frac { partial f} { partial u}} cdot { frac { partial f} { partial u}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} E '& F' F '& G' end {pmatrix}} = A { begin {pmatrix} E&F F&G end {pmatrix}} A ^ {T}}$
	F	${ Displaystyle F = { frac { partial f} { partial u}} cdot { frac { partial f} { partial v}}}$
	г	${ displaystyle G = { frac { partial f} { partial v}} cdot { frac { partial f} { partial v}}}$
Вторая фундаментальная форма	L	${ displaystyle L = { frac { partial ^ {2} f} { partial u ^ {2}}} cdot n}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} L '& M' M '& N' end {pmatrix}} = A { begin {pmatrix} L&M M&N end {pmatrix}} A ^ {T}}$
	M	${ displaystyle M = { frac { partial ^ {2} f} { partial u partial v}} cdot n}$
	N	${ displaystyle N = { frac { partial ^ {2} f} { partial v ^ {2}}} cdot n}$
Оператор формы[22]	п	${ displaystyle P = { begin {pmatrix} L&M M&N end {pmatrix}} { begin {pmatrix} E&F F&G end {pmatrix}} ^ {- 1}}$	${ displaystyle P '= APA ^ {- 1}}$
Гауссова кривизна	K	${ Displaystyle К = { гидроразрыва {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}}$	${ displaystyle K '= K}$
Средняя кривизна	ЧАС	${ displaystyle H = { frac {GL-2FM + EN} {EG-F ^ {2}}}}$	${ displaystyle H '= H}$
Основные искривления	${ displaystyle kappa _ { pm}}$	${ displaystyle { frac {H pm { sqrt {H ^ {2} -4K}}} {2}}}$	${ displaystyle kappa _ { pm} '= kappa _ { pm}}$

Путем прямого вычисления с матрицей, определяющей оператор формы, можно проверить, что гауссова кривизна равна детерминант оператора формы, средняя кривизна - это след оператора формы, а главными кривизнами являются собственные значения оператора формы; кроме того, гауссова кривизна - это произведение главных кривизн, а средняя кривизна - их сумма. Эти наблюдения также можно сформулировать как определения этих объектов. Эти наблюдения также показывают, что последние три строки четвертого столбца следуют сразу за предыдущей строкой, так как аналогичные матрицы имеют идентичные определитель, след и собственные значения. Важно отметить E, г, и НАПРИМЕР − F² все обязательно положительные. Это гарантирует, что матрица, обратная в определении оператора формы, хорошо определена, и что главные кривизны являются действительными числами.

Также обратите внимание, что отрицание выбора единичного нормального векторного поля отрицает вторую фундаментальную форму, оператор формы, среднюю кривизну и главные кривизны, но оставит гауссову кривизну неизменной. Таким образом, это показало, что при регулярной поверхности S, гауссова кривизна S можно рассматривать как действительную функцию на S; относительно выбора единичного нормального векторного поля на всех Sдве главные кривизны и средняя кривизна также являются действительными функциями на S.

Определение второй основной формы

Основные кривизны в точке на поверхности

Геометрически первую и вторую фундаментальные формы можно рассматривать как информацию о том, как ж(ты, v) движется в ℝ³ так как (ты, v) движется в V. В частности, первая фундаментальная форма кодирует, насколько быстро ж движется, в то время как вторая фундаментальная форма кодирует степень, в которой его движение происходит в направлении вектора нормали п. Другими словами, вторая фундаментальная форма в точке п кодирует длину ортогональной проекции из S к касательной плоскости к S в п; в частности, он дает квадратичную функцию, которая наилучшим образом приближает эту длину. Это мышление можно уточнить с помощью формул

${ displaystyle { begin {align} lim _ {(h, k) to (0,0)} { frac {{ big |} f (u + h, v + k) -f (u, v) { big |} ^ {2} - { big (} Eh ^ {2} + 2Fhk + Gk ^ {2} { big)}} {h ^ {2} + k ^ {2}}} & = 0 lim _ {(h, k) to (0,0)} { frac {{ big (} f (u + h, v + k) -f (u, v) { big)} cdot n - { frac {1} {2}} { big (} Lh ^ {2} + 2Mhk + Nk ^ {2} { big)}} {h ^ {2} + k ^ {2}}} & = 0, end {align}}}$

как следует непосредственно из определений основных форм и Теорема Тейлора в двух измерениях. Основные кривизны можно увидеть следующим образом. В данный момент п из S, рассмотрим совокупность всех плоскостей, содержащих прямую, ортогональную к S. Каждая такая плоскость имеет кривую пересечения с S, который можно рассматривать как плоская кривая внутри самого самолета. Две основные кривизны при п - максимальное и минимальное возможные значения кривизны этой плоской кривой при п, поскольку рассматриваемая плоскость вращается вокруг нормали.

Ниже приводится сводка расчетов вышеуказанных количеств относительно пластыря Монжа. ж(ты, v) = (ты, v, час(ты, v)). Вот час_ты и час_v обозначим две частные производные от час, с аналогичными обозначениями для вторых частных производных. Вторая фундаментальная форма и все последующие величины вычисляются относительно данного выбора единичного нормального векторного поля.

Количество	Формула
Единичное нормальное векторное поле	${ displaystyle n = { frac {(-h_ {u}, - h_ {v}, 1)} { sqrt {1 + h_ {u} ^ {2} + h_ {v} ^ {2}}} }}$
Первая фундаментальная форма	${ displaystyle { begin {pmatrix} E&F F&G end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 + h_ {u} ^ {2} & h_ {u} h_ {v} h_ {u} h_ {v} & 1 + h_ {v} ^ {2} end {pmatrix}}}$
Вторая фундаментальная форма	${ displaystyle { begin {pmatrix} L&M M&N end {pmatrix}} = { frac {1} { sqrt {1 + h_ {u} ^ {2} + h_ {v} ^ {2}} }} { begin {pmatrix} h_ {uu} & h_ {uv} h_ {uv} & h_ {vv} end {pmatrix}}}$
Оператор формы	${ displaystyle P = { frac {1} {(1 + h_ {u} ^ {2} + h_ {v} ^ {2}) ^ {3/2}}} { begin {pmatrix} h_ {uu } (1 + h_ {v} ^ {2}) - h_ {uv} h_ {u} h_ {v} & h_ {uv} (1 + h_ {u} ^ {2}) - h_ {uu} h_ {u } h_ {v} h_ {uv} (1 + h_ {v} ^ {2}) - h_ {vv} h_ {u} h_ {v} & h_ {vv} (1 + h_ {u} ^ {2 }) - h_ {uv} h_ {u} h_ {v} end {pmatrix}}}$
Гауссова кривизна	${ displaystyle K = { frac {h_ {uu} h_ {vv} -h_ {uv} ^ {2}} {(1 + h_ {u} ^ {2} + h_ {v} ^ {2}) ^ {2}}}}$
Средняя кривизна	${ displaystyle H = { frac {(1 + h_ {v} ^ {2}) h_ {uu} -2h_ {u} h_ {v} h_ {uv} + (1 + h_ {u} ^ {2}) ) h_ {vv}} {(1 + h_ {u} ^ {2} + h_ {v} ^ {2}) ^ {3/2}}}}$

Символы Кристоффеля, уравнения Гаусса – Кодацци и теорема Egregium.

Позволять S быть регулярной поверхностью в ℝ³. В Символы Кристоффеля назначить каждой локальной параметризации ж : V → S, восемь функций на V, определяется^[23]

${ displaystyle { begin {pmatrix} Gamma _ {11} ^ {1} & Gamma _ {12} ^ {1} & Gamma _ {21} ^ {1} & Gamma _ {22} ^ { 1} Gamma _ {11} ^ {2} & Gamma _ {12} ^ {2} & Gamma _ {21} ^ {2} & Gamma _ {22} ^ {2} end { pmatrix}} = { begin {pmatrix} E&F F&G end {pmatrix}} ^ {- 1} { begin {pmatrix} { frac {1} {2}} { frac { partial E} { partial u}} & { frac {1} {2}} { frac { partial E} { partial v}} & { frac {1} {2}} { frac { partial E} { partial v}} & { frac { partial F} { partial v}} - { frac {1} {2}} { frac { partial G} { partial u}} { frac { partial F} { partial u}} - { frac {1} {2}} { frac { partial E} { partial v}} и { frac {1} {2}} { frac { partial G} { partial u}} и { frac {1} {2}} { frac { partial G} { partial u}} и { frac {1} {2}} { frac { partial G} { partial v}} end {pmatrix}}.}$

Их также можно определить следующими формулами, в которых п является единичным нормальным векторным полем вдоль ж(V) и L, M, N - соответствующие компоненты второй фундаментальной формы:

${ displaystyle { begin {align} { frac { partial ^ {2} f} { partial u ^ {2}}} & = Gamma _ {11} ^ {1} { frac { partial f } { partial u}} + Gamma _ {11} ^ {2} { frac { partial f} { partial v}} + Ln { frac { partial ^ {2} f} { частичное u partial v}} & = Gamma _ {12} ^ {1} { frac { partial f} { partial u}} + Gamma _ {12} ^ {2} { frac { partial f} { partial v}} + Mn { frac { partial ^ {2} f} { partial v ^ {2}}} & = Gamma _ {22} ^ {1} { frac { partial f} { partial u}} + Gamma _ {22} ^ {2} { frac { partial f} { partial v}} + Nn. end {align}}}$

Ключ к этому определению заключается в том, что ∂ж/∂ты, ∂ж/∂v, и п составляют основу ℝ³ в каждой точке, относительно которой каждое из трех уравнений однозначно определяет символы Кристоффеля как координаты вторых частных производных ж. Выбор единицы измерения не влияет на символы Кристоффеля, поскольку если п заменяется на его отрицание, то компоненты второй фундаментальной формы также отрицаются, и поэтому знаки Ln, Mn, Nn остаются без изменений.

Второе определение показывает, в контексте локальной параметризации, что символы Кристоффеля геометрически естественны. Хотя формулы в первом определении кажутся менее естественными, они важны для демонстрации того, что символы Кристоффеля могут быть вычислены из первой фундаментальной формы, что не сразу видно из второго определения. Эквивалентность определений можно проверить, напрямую подставив первое определение во второе и используя определения E, F, г.

В Уравнения Кодацци утверждать, что^[24]

${ displaystyle { begin {align} { frac { partial L} { partial v}} - { frac { partial M} { partial u}} & = L Gamma _ {12} ^ {1 } + M ( Gamma _ {12} ^ {2} - Gamma _ {11} ^ {1}) - N Gamma _ {11} ^ {2} { frac { partial M} { partial v}} - { frac { partial N} { partial u}} & = L Gamma _ {22} ^ {1} + M ( Gamma _ {22} ^ {2} - Gamma _ { 12} ^ {1}) - N Gamma _ {12} ^ {2}. End {align}}}$

Эти уравнения могут быть непосредственно выведены из второго определения символов Кристоффеля, приведенного выше; например, первое уравнение Кодацци получается дифференцированием первого уравнения относительно v, второе уравнение относительно ты, вычитая два и взяв скалярное произведение с п. В Уравнение Гаусса утверждает, что^[25]

${ displaystyle { begin {align} KE & = { frac { partial Gamma _ {11} ^ {2}} { partial v}} - { frac { partial Gamma _ {21} ^ {2 }} { partial u}} + Gamma _ {21} ^ {2} Gamma _ {11} ^ {1} + Gamma _ {22} ^ {2} Gamma _ {11} ^ {2} - Gamma _ {11} ^ {2} Gamma _ {21} ^ {1} - Gamma _ {12} ^ {2} Gamma _ {21} ^ {2} KF & = { frac { partial Gamma _ {12} ^ {2}} { partial v}} - { frac { partial Gamma _ {22} ^ {2}} { partial u}} + Gamma _ {21} ^ {2} Gamma _ {12} ^ {1} - Gamma _ {11} ^ {2} Gamma _ {22} ^ {1} KG & = { frac { partial Gamma _ {22 } ^ {1}} { partial u}} - { frac { partial Gamma _ {12} ^ {1}} { partial v}} + Gamma _ {11} ^ {1} Gamma _ {22} ^ {1} + Gamma _ {12} ^ {1} Gamma _ {22} ^ {2} - Gamma _ {21} ^ {1} Gamma _ {12} ^ {1} - Gamma _ {22} ^ {1} Gamma _ {12} ^ {2} end {align}}}$

Они могут быть выведены аналогично уравнениям Кодацци с использованием уравнения Уравнения Вейнгартена вместо скалярного произведения с п. Хотя они записаны как три отдельных уравнения, они идентичны, если подставить определения символов Кристоффеля в терминах первой фундаментальной формы. Есть много способов записать получившееся выражение, один из которых был получен в 1852 г. Brioschi с умелым использованием детерминант:^[26][27]

${ displaystyle K = { frac {1} {(EG-F ^ {2}) ^ {2}}} det { begin {pmatrix} - {1 over 2} { frac { partial ^ { 2} E} { partial v ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} F} { partial u partial v}} - {1 over 2} { frac { partial ^ {2} G} { partial u ^ {2}}} & {1 over 2} { frac { partial E} { partial u}} & { frac { partial F} { partial u} } - {1 over 2} { frac { partial E} { partial v}} { frac { partial F} { partial v}} - {1 over 2} { frac { частичный G} { partial u}} & E&F {1 over 2} { frac { partial G} { partial v}} & F&G end {pmatrix}} - { frac {1} {(EG- F ^ {2}) ^ {2}}} det { begin {pmatrix} 0 & {1 over 2} { frac { partial E} { partial v}} & {1 over 2} { frac { partial G} { partial u}} {1 over 2} { frac { partial E} { partial v}} & E&F {1 over 2} { frac { partial G } { partial u}} & F&G end {pmatrix}}.}$

Когда символы Кристоффеля рассматриваются как определяемые первой фундаментальной формой, уравнения Гаусса и Кодацци представляют определенные ограничения между первой и второй фундаментальными формами. Уравнение Гаусса заслуживает особого внимания, поскольку оно показывает, что кривизна Гаусса может быть вычислена непосредственно из первой фундаментальной формы без необходимости в какой-либо другой информации; эквивалентно, это говорит, что LN − M² действительно может быть записано как функция E, F, г, хотя отдельные компоненты L, M, N не можешь. Это известно как теорема эгрегиум, и было крупным открытием Карл Фридрих Гаусс. Это особенно поразительно, если вспомнить геометрическое определение гауссовой кривизны S как определяемые максимальным и минимальным радиусами соприкасающихся кругов; они кажутся фундаментально определяемыми геометрией того, как S сгибается внутри ℝ³. Тем не менее теорема показывает, что их произведение может быть определено из "внутренней" геометрии S, имея дело только с длинами кривых вдоль S и углы, образованные при их пересечении. Как сказал Марсель Бергер:^[28]

Эта теорема сбивает с толку. [...] Это такая теорема, которая могла бы подождать еще несколько десятков лет, прежде чем ее обнаружит другой математик, поскольку, в отличие от значительной части интеллектуальной истории, она абсолютно не витала в воздухе. [...] Насколько нам известно, сегодня не существует простого геометрического доказательства теоремы эгрегиум.

Уравнения Гаусса-Кодацци также могут быть лаконично выраженный и производный на языке формы подключения из-за Эли Картан.^[29] На языке тензорное исчисление, используя естественные показатели и связи на тензорные пучки, уравнение Гаусса можно записать как ЧАС² − |час|² = р и два уравнения Кодацци могут быть записаны как ∇₁ час₁₂ = ∇₂ час₁₁ и ∇₁ час₂₂ = ∇₂ час₁₂; сложные выражения, связанные с символами Кристоффеля и первой фундаментальной формой, полностью поглощаются определениями ковариантной тензорной производной ∇час и скалярная кривизна р. Пьер Бонне доказал, что две квадратичные формы, удовлетворяющие уравнениям Гаусса-Кодацци, всегда однозначно определяют вложенную поверхность локально.^[30] По этой причине уравнения Гаусса-Кодацци часто называют фундаментальными уравнениями для вложенных поверхностей, точно определяя, откуда берутся внутренняя и внешняя кривизна. Они допускают обобщения на поверхности, вложенные в более общие Римановы многообразия.

Изометрии

Диффеоморфизм ${ displaystyle varphi}$ между открытыми наборами ${ displaystyle U}$ и ${ displaystyle V}$ на обычной поверхности ${ displaystyle S}$ считается изометрия если он сохраняет метрику, т.е. первую фундаментальную форму.^[31][32][33] Таким образом, для каждой точки ${ displaystyle p}$ в ${ displaystyle U}$ и касательные векторы ${ Displaystyle ш_ {1}, , , ш_ {2}}$ в ${ displaystyle p}$, есть равенства

${ Displaystyle E (p) w_ {1} cdot w_ {1} + 2F (p) w_ {1} cdot w_ {2} + G (p) w_ {2} cdot w_ {2} = E ( varphi (p)) varphi ^ { prime} (w_ {1}) cdot varphi ^ { prime} (w_ {1}) + 2F ( varphi (p)) varphi ^ { prime} (w_ {1}) cdot varphi ^ { prime} (w_ {2}) + G ( varphi (p)) varphi ^ { prime} (w_ {1}) cdot varphi ^ { prime} (w_ {2}).}$

С точки зрения внутреннего продукта, происходящего из первой фундаментальной формы, это можно переписать как

${ displaystyle (w_ {1}, w_ {2}) _ {p} = ( varphi ^ { prime} (w_ {1}), varphi ^ { prime} (w_ {2})) _ { varphi (p)}}$.

Катеноид - это правильная поверхность вращения.

С другой стороны, длина параметризованной кривой ${ Displaystyle гамма (т) = (х (т), у (т))}$ можно рассчитать как

${ Displaystyle L ( gamma) = int _ {a} ^ {b} { sqrt {E { dot {x}} cdot { dot {x}} + 2F { dot {x}} cdot { dot {y}} + G { dot {y}} cdot { dot {y}}}} , dt}$

и, если кривая лежит в ${ displaystyle U}$, правила замены переменных показывают, что

${ Displaystyle L ( varphi circ gamma) = L ( gamma).}$

И наоборот, если ${ displaystyle varphi}$ сохраняет длины всех параметризованных кривых, тогда ${ displaystyle varphi}$ это изометрия. Действительно для подходящего выбора ${ displaystyle gamma}$, касательные векторы ${ displaystyle { dot {x}}}$ и ${ displaystyle { dot {y}}}$ дать произвольные касательные векторы ${ displaystyle w_ {1}}$ и ${ displaystyle w_ {2}}$. Равенства должны выполняться при любом выборе касательных векторов ${ displaystyle w_ {1}}$ и ${ displaystyle w_ {2}}$ а также ${ Displaystyle varphi ^ { prime} (ш_ {1})}$ и ${ Displaystyle varphi ^ { prime} (ш_ {2})}$, так что ${ displaystyle ( varphi ^ { prime} (w_ {1}), varphi ^ { prime} (w_ {2})) _ { varphi (p)} = (w_ {1}, w_ {1 })_{п}}$.^[34]

Простой пример изометрии дается двумя параметризациями ${ displaystyle f_ {1}}$ и ${ displaystyle f_ {2}}$ открытого набора ${ displaystyle U}$ на регулярные поверхности ${ displaystyle S_ {1}}$ и ${ displaystyle S_ {2}}$. Если ${ displaystyle E_ {1} = E_ {2}}$, ${ displaystyle F_ {1} = F_ {2}}$ и ${ displaystyle G_ {1} = G_ {2}}$, тогда ${ displaystyle varphi = f_ {2} circ f_ {1} ^ {- 1}}$ является изометрией ${ displaystyle f_ {1} (U)}$ на ${ displaystyle f_ {2} (U)}$.^[35]

Цилиндр и плоскость являются примерами поверхностей, которые являются локально изометрическими, но которые не могут быть расширены до изометрии по топологическим причинам.^[36] Другой пример: катеноид и геликоид локально изометричны.^[37]

Ковариантные производные

Эта секция не цитировать Любые источники. Пожалуйста помоги улучшить этот раздел от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удалено. Найдите источники: «Дифференциальная геометрия поверхностей»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Август 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

А тангенциальное векторное поле Икс на S назначает, каждому п в S, касательный вектор Икс_п к S в п. Согласно "внутреннему" определению касательных векторов, данному выше, касательное векторное поле Икс затем присваивает каждой локальной параметризации ж : V → S, две действительные функции Икс¹ и Икс² на V, так что

${ displaystyle X_ {p} = X ^ {1} { big (} f ^ {- 1} (p) { big)} { frac { partial f} { partial u}} { Big | } _ {f ^ {- 1} (p)} + X ^ {2} { big (} f ^ {- 1} (p) { big)} { frac { partial f} { partial v }} { Big |} _ {f ^ {- 1} (p)}}$

для каждого п в S. Один говорит, что Икс гладкая, если функции Икс¹ и Икс² гладкие, на любой выбор ж.^[38] Согласно другим определениям касательных векторов, данным выше, можно также рассматривать касательное векторное поле Икс на S как карта Икс : S → ℝ³ такой, что Икс(п) содержится в касательном пространстве Т_пS ⊂ ℝ³ для каждого п в S. Как это часто бывает в более общей ситуации гладкие многообразия, тангенциальные векторные поля также можно определить как некоторые дифференциальные операторы на пространстве гладких функций на S.

В ковариантные производные (также называемые "касательными производными") Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро обеспечивают средства дифференцирования гладких тангенциальных векторных полей. Учитывая тангенциальное векторное поле Икс и касательный вектор Y к S в п, ковариантная производная ∇_YИкс некоторый касательный вектор к S в п. Следовательно, если Икс и Y оба являются касательными векторными полями, то ∇_YИкс также можно рассматривать как тангенциальное векторное поле; итеративно, если Икс, Y, и Z тангенциальные векторные поля, можно вычислить ∇_Z∇_YИкс, которое будет еще одним касательным векторным полем. Есть несколько способов определить ковариантную производную; в первом ниже используются символы Кристоффеля и «внутреннее» определение касательных векторов, а во втором - более явно геометрическая форма.

Учитывая тангенциальное векторное поле Икс и касательный вектор Y к S в п, один определяет ∇_YИкс быть касательным вектором к п который приписывает локальной параметризации ж : V → S два числа

${ displaystyle ( nabla _ {Y} X) ^ {k} = D _ {(Y ^ {1}, Y ^ {2})} X ^ {k} { Big |} _ {f ^ {- 1 } (p)} + sum _ {i = 1} ^ {2} sum _ {j = 1} ^ {2} { big (} Gamma _ {ij} ^ {k} X ^ {j} { big)} { Big |} _ {f ^ {- 1} (p)} Y ^ {i}, qquad (k = 1,2)}$

где D_{(Y¹, Y²)} это производная по направлению.^[39] Это часто сокращается в менее громоздкой форме (∇_YИкс)^k = ∂_Y(Икс ^k) + Y ^яΓ^k
_ijИкс ^j, используя Обозначения Эйнштейна и с неявным пониманием местоположения оценки функции. Это следует за стандартный рецепт в Риманова геометрия для получения связь из Риманова метрика. Это фундаментальный факт, что вектор

${ displaystyle ( nabla _ {Y} X) ^ {1} { frac { partial f} { partial u}} + ( nabla _ {Y} X) ^ {2} { frac { partial f} { partial v}}}$

в ℝ³ не зависит от выбора локальной параметризации ж, хотя это довольно утомительно проверять.

Также можно определить ковариантную производную с помощью следующего геометрического подхода, который не использует символы Кристоффеля или локальные параметризации.^[40][41][42] Позволять Икс быть векторным полем на S, рассматриваемая как функция S → ℝ³. Для любой кривой c : (а, б) → S, можно рассматривать состав Икс ∘ c : (а, б) → ℝ³. Как карта между евклидовыми пространствами, его можно дифференцировать при любом входном значении, чтобы получить элемент (Икс ∘ c)′(т) из ℝ³. В ортогональная проекция этого вектора на Т_c(т)S определяет ковариантную производную ∇_{c ′(т)}Икс. Хотя это геометрически чистое определение, необходимо показать, что результат зависит только от c′(т) и Икс, а не на c и Икс; Для этого небольшого технического аргумента можно использовать локальные параметризации.

Из второго определения не сразу видно, что ковариантное дифференцирование зависит только от первой фундаментальной формы S; однако это непосредственно следует из первого определения, поскольку символы Кристоффеля могут быть определены непосредственно из первой фундаментальной формы. Несложно проверить эквивалентность этих двух определений. Ключ в том, что когда кто-то Икс¹∂ж/∂ты + Икс²∂ж/∂v как ℝ³-значная функция, ее дифференцирование по кривой приводит к вторым частным производным ∂²ж; символы Кристоффеля входят с ортогональной проекцией в касательное пространство из-за формулировки символов Кристоффеля как тангенциальных компонентов вторых производных от ж относительно основы ∂ж/∂ты, ∂ж/∂v, п.^[43] Это обсуждается в предыдущем разделе.

Правая часть трех уравнений Гаусса может быть выражена с помощью ковариантного дифференцирования. Например, правая часть

${ displaystyle { frac { partial Gamma _ {11} ^ {2}} { partial v}} - { frac { partial Gamma _ {21} ^ {2}} { partial u}} + Gamma _ {21} ^ {2} Gamma _ {11} ^ {1} + Gamma _ {22} ^ {2} Gamma _ {11} ^ {2} - Gamma _ {11} ^ {2} Gamma _ {21} ^ {1} - Gamma _ {12} ^ {2} Gamma _ {21} ^ {2}}$

можно распознать как вторую координату

${ displaystyle nabla _ { frac { partial f} { partial v}} nabla _ { frac { partial f} { partial u}} { frac { partial f} { partial u} } - nabla _ { frac { partial f} { partial u}} nabla _ { frac { partial f} { partial v}} { frac { partial f} { partial u}} }$

относительно основы ∂ж/∂ты, ∂ж/∂v, в чем можно непосредственно убедиться, используя определение ковариантного дифференцирования по символам Кристоффеля. На языке Риманова геометрия, это наблюдение можно также сформулировать как утверждение, что правые части уравнений Гаусса являются различными компонентами Кривизна Риччи из Леви-Чивита связь первой фундаментальной формы, когда интерпретируется как Риманова метрика.

Примеры

Поверхность вращения, полученная вращением кривой Икс = 2 + cos z о z-ось.

Поверхности революции

Поверхность вращения получается вращением кривой в xz-самолет о z-ось. К таким поверхностям относятся сферы, цилиндры, конусы, торы и катеноид. Генерал эллипсоиды, гиперболоиды, и параболоиды не. Предположим, что кривая параметризована

${ Displaystyle х = c_ {1} (s), , , z = c_ {2} (s)}$

с участием s взятый из интервала (а, б). Если c₁ никогда не равно нулю, если c₁′ и c₂′ никогда не равны нулю, и если c₁ и c₂ оба гладкие, то соответствующая поверхность вращения

${ Displaystyle S = { Big {} { big (} c_ {1} (s) cos t, c_ {1} (s) sin t, c_ {2} (t) { big)} двоеточие s in (a, b) { text {и}} t in mathbb {R} { Big }}}$

будет регулярной поверхностью в ℝ³. Локальная параметризация ж : (а, б) × (0, 2π) → S дан кем-то

${ Displaystyle f (s, t) = { big (} c_ {1} (s) cos t, c_ {1} (s) sin t, c_ {2} (s) { big)}. }$

Относительно этой параметризации геометрические данные:^[44]

Количество	Формула
Единичное нормальное векторное поле	${ Displaystyle n = { frac {{ big (} -c_ {2} '(s) cos t, -c_ {2}' (s) sin t, c_ {1} '(s) { большой)}} { sqrt {c_ {1} '(s) ^ {2} + c_ {2}' (s) ^ {2}}}}}$
Первая фундаментальная форма	${ displaystyle { begin {pmatrix} E&F F&G end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} c_ {1} '(s) ^ {2} + c_ {2}' (s) ^ {2 } & 0 0 & c_ {1} (s) ^ {2} end {pmatrix}}}$
Вторая фундаментальная форма	${ displaystyle { begin {pmatrix} L&M M&N end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} { frac {c_ {1} '(s) c_ {2}' '(s) -c_ { 2} '(s) c_ {1}' '(s)} { sqrt {c_ {1}' (s) ^ {2} + c_ {2} '(s) ^ {2}}}} & 0 0 & { frac {c_ {1} (s) c_ {2} '(s)} { sqrt {c_ {1}' (s) ^ {2} + c_ {2} '(s) ^ {2 }}}} end {pmatrix}}}$
Основные искривления	${ displaystyle { frac {c_ {1} '(s) c_ {2}' '(s) -c_ {2}' (s) c_ {1} '' (s)} {{ big (} c_ {1} '(s) ^ {2} + c_ {2}' (s) ^ {2} { big)} ^ {3/2}}} quad { text {and}} quad { гидроразрыв {c_ {2} '(s)} {c_ {1} (s) { sqrt {c_ {1}' (s) ^ {2} + c_ {2} '(s) ^ {2}}} }}}$
Гауссова кривизна	${ displaystyle K = { frac {c_ {2} '(s) { big (} c_ {1}' (s) c_ {2} '' (s) -c_ {2} '(s) c_ {) 1} '' (s) { big)}} {c_ {1} (s) { big (} c_ {1} '(s) ^ {2} + c_ {2}' (s) ^ {2 } { big)} ^ {2}}}}$
Средняя кривизна	${ displaystyle H = { frac {c_ {1} '(s) c_ {2}' '(s) -c_ {2}' (s) c_ {1} '' (s)} {{ big ( } c_ {1} '(s) ^ {2} + c_ {2}' (s) ^ {2} { big)} ^ {3/2}}} + { frac {c_ {2} '( s)} {c_ {1} (s) { sqrt {c_ {1} '(s) ^ {2} + c_ {2}' (s) ^ {2}}}}}.}.}$

В частном случае, когда исходная кривая параметризуется длиной дуги, т. Е. (c₁′(s))² + (c₁′(s))² = 1, можно дифференцировать, чтобы найти c₁′(s)c₁′′(s) + c₂′(s)c₂′′(s) = 0. При подстановке в гауссову кривизну получаем упрощенный

${ displaystyle K = - { frac {c_ {1} '' (s)} {c_ {1} (s)}} qquad { text {and}} qquad H = c_ {1} '(s ) c_ {2} '' (s) -c_ {2} '(s) c_ {1}' '(s) + { frac {c_ {2}' (s)} {c_ {1} (s) }}.}$

Простота этой формулы позволяет особенно легко изучить класс вращательно-симметричных поверхностей с постоянной гауссовой кривизной.^[45] Приведением к альтернативному случаю, что c₂(s) = s, можно изучать вращательно-симметричные минимальные поверхности, в результате чего любая такая поверхность является частью плоскости или масштабированного катеноида.^[46]

Каждая константа-т кривая на S может быть параметризован как геодезический; постоянный-s кривая на S можно параметризовать как геодезическую тогда и только тогда, когда c₁′ (S) равно нулю. Как правило, геодезические на S регулируются Отношение Клеро.

Квадрика эллипсоид

Квадрические поверхности

Рассмотрим квадратичную поверхность, заданную формулой^[47]

${ displaystyle {x ^ {2} over a} + {y ^ {2} over b} + {z ^ {2} over c} = 1.}$

Эта поверхность допускает параметризацию

${ Displaystyle х = { sqrt {a (au) (av) over (ab) (ac)}}, , , y = { sqrt {b (bu) (bv) over (ba) ( bc)}}, , , z = { sqrt {c (cu) (cv) over (cb) (ca)}}.}.$

Гауссова кривизна и средняя кривизна задаются формулами

${ displaystyle K = {abc over u ^ {2} v ^ {2}}, , , K_ {m} = - (u + v) { sqrt {abc over u ^ {3} v ^ {3}}}.}$

Однолистовой квадрик гиперболоид которая представляет собой линейчатую поверхность двумя разными способами.

Линейчатые поверхности

Линейчатая поверхность - это поверхность, которая может быть создана движением прямой линии в E³.^[48] Выбор директриса на поверхности, т.е. плавная кривая единичной скорости c(т) перпендикулярно прямым, а затем выбирая ты(т) быть единичными векторами вдоль кривой в направлении линий, вектор скорости v = c_т и ты удовлетворить

${ Displaystyle и cdot v = 0, , , | u | = 1, , , | v | = 1.}$

Поверхность состоит из точек

${ Displaystyle с (т) + s cdot и (т)}$

так как s и т варьироваться.

Тогда, если

${ displaystyle a = | u_ {t} |, , , b = u_ {t} cdot v, , , alpha = - { frac {b} {a ^ {2}}} , , , beta = { frac { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {a ^ {2}}},}$

гауссова и средняя кривизны даются как

${ displaystyle K = - { beta ^ {2} over ((s- alpha) ^ {2} + beta ^ {2}) ^ {2}}, , , K_ {m} = - {r [(s- alpha) ^ {2} + beta ^ {2})] + beta _ {t} (s- alpha) + beta alpha _ {t} over [(s- alpha) ^ {2} + beta ^ {2}] ^ { frac {3} {2}}}.}$

Гауссова кривизна линейчатой ​​поверхности равна нулю тогда и только тогда, когда ты_т и v пропорциональны,^[49] Это условие эквивалентно тому, что поверхность является конверт плоскостей вдоль кривой, содержащей касательный вектор v и ортогональный вектор ты, т.е. к поверхности развивающийся по кривой.^[50] В более общем плане поверхность в E³ имеет исчезающую гауссову кривизну вблизи точки тогда и только тогда, когда она проявляется вблизи этой точки.^[51] (Эквивалентное условие приводится ниже в терминах метрики.)

Минимальные поверхности

В 1760 г. Лагранж расширил результаты Эйлера о вариационное исчисление с участием интегралов от одной переменной до двух.^[52] Он имел в виду следующую проблему:

Учитывая замкнутую кривую в E³, найдите поверхность с кривой в качестве границы с минимальной площадью.

Такая поверхность называется минимальная поверхность.

В 1776 г. Жан Батист Менье показал, что дифференциальное уравнение, полученное Лагранжем, эквивалентно обращению в нуль средней кривизны поверхности:

Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда ее средняя кривизна равна нулю.

Минимальные поверхности имеют простую интерпретацию в реальной жизни: они представляют собой форму, которую примет мыльная пленка, если проволочный каркас, имеющий форму кривой, погрузить в мыльный раствор, а затем осторожно вынуть. Вопрос о том, существует ли минимальная поверхность с заданной границей, называется Проблема плато после бельгийского физика Плато Джозеф проводившие эксперименты над мыльными фильмами в середине девятнадцатого века. В 1930 г. Джесси Дуглас и Тибор Радо дал положительный ответ на проблему Плато (Дуглас был награжден одним из первых Медали Филдса за эту работу в 1936 г.).^[53]

Явно известны многие явные примеры минимальной поверхности, такие как катеноид, то геликоид, то Поверхность Шерка и Эннепер поверхность. В этой области были проведены обширные исследования, кратко изложенные в Оссерман (2002). В частности, результат Оссермана показывает, что если минимальная поверхность неплоская, то ее образ при отображении Гаусса плотен в S².

Поверхности с (от l до r) постоянной отрицательной, нулевой и положительной гауссовой кривизной

Поверхности постоянной гауссовой кривизны

Эухенио Бельтрами (1835-1899)

Если поверхность имеет постоянную гауссову кривизну, она называется поверхность постоянной кривизны.^[54]

• Единица сфера в E³ имеет постоянную гауссову кривизну +1.
• Евклидов самолет и цилиндр оба имеют постоянную гауссову кривизну 0.
• Поверхности вращения с φ_тт = φ имеют постоянную гауссову кривизну –1. Частные случаи получаются взятием φ(т) =C шиш т, C грех т и C e^т.^[55] Последний случай - классический псевдосфера генерируется вращением трактрикс вокруг центральной оси. В 1868 г. Эухенио Бельтрами показали, что геометрия псевдосферы напрямую связана с геометрией псевдосферы. гиперболическая плоскость, открытый независимо Лобачевский (1830 г.) и Бойяи (1832 г.). Уже в 1840 г. ученик Гаусса Ф. Миндинг получил тригонометрические формулы для псевдосферы, идентичные формулам для гиперболической плоскости.^[56] Внутренняя геометрия этой поверхности теперь лучше понимается с точки зрения Метрика Пуанкаре на верхняя полуплоскость или единичный диск, и был описан другими моделями, такими как Модель Кляйна или модель гиперболоида, полученная при рассмотрении двуполостного гиперболоида q(Икс, у, z) = −1 в трехмерном Пространство Минковского, где q(Икс, у, z) = Икс² + у² – z².^[57]

Каждая из этих поверхностей постоянной кривизны имеет переходный Группа Ли симметрий. Этот теоретико-групповой факт имеет далеко идущие последствия, особенно из-за центральной роли, которую эти специальные поверхности играют в геометрии поверхностей. Пуанкаре с теорема униформизации (см. ниже).

Другие примеры поверхностей с гауссовой кривизной 0 включают шишки, касательные складывающиеся и вообще любая развертываемая поверхность.

Локальная метрическая структура

Для любой поверхности, вложенной в евклидово пространство размерности 3 или выше, можно измерить длину кривой на поверхности, угол между двумя кривыми и площадь области на поверхности. Эта структура кодируется бесконечно малым Риманова метрика на поверхности через линейные элементы и элементы площади. Классически в девятнадцатом и начале двадцатого веков только поверхности, встроенные в р³ были рассмотрены, и метрика была дана как 2 × 2 положительно определенная матрица плавно изменяющийся от точки к точке в локальной параметризации поверхности. Идея локальной параметризации и изменения координаты была позже формализована через современное абстрактное понятие многообразие, топологическое пространство, в котором гладкая структура дается местными картами на многообразии, точно так же, как планета Земля нанесена на карту атласы сегодня. Изменения координат между разными картами одного и того же региона должны быть плавными. Подобно тому, как контурные линии на реальных картах кодируют изменения высоты с учетом локальных искажений поверхности Земли для расчета истинных расстояний, так и риманова метрика описывает расстояния и площади «в малом» на каждой локальной карте. В каждой локальной карте риманова метрика задается гладким сопоставлением положительно определенной матрицы 2 × 2 каждой точке; когда берется другой график, матрица преобразуется в соответствии с Матрица якобиана изменения координаты. Тогда многообразие имеет структуру двумерного Риманово многообразие.

Оператор формы

Вильгельм Блашке (1885-1962)

В дифференциал дн из Карта Гаусса п может использоваться для определения типа внешней кривизны, известной как оператор формы^[58] или Weingarten карта. Впервые этот оператор неявно появился в работе Вильгельм Блашке а позже явно в трактате Бурали-Форти и Бургати.^[59] Поскольку в каждой точке Икс поверхности касательное пространство является внутреннее пространство продукта, оператор формы S_Икс можно определить как линейный оператор на этом пространстве по формуле

${ displaystyle (S_ {x} v, w) = (dn (v), w)}$

для касательных векторов v, ш (внутренний продукт имеет смысл, потому что дн(v) и ш оба лежат в E³).^[а] Правая часть симметрична относительно v и ш, поэтому оператор формы самосопряженный на касательном пространстве. Собственные значения S_Икс просто основные искривления k₁ и k₂ в Икс. В частности детерминант оператора формы в точке - это гауссова кривизна, но она также содержит другую информацию, поскольку средняя кривизна половина след оператора формы. Средняя кривизна - внешний инвариант. Во внутренней геометрии цилиндр является разворачивающимся, что означает, что каждый его элемент неотличим от части плоскости, поскольку его кривизна Гаусса одинаково равна нулю. Однако его средняя кривизна не равна нулю; следовательно, внешне он отличается от самолета.

Эквивалентно, оператор формы может быть определен как линейный оператор в касательных пространствах, S_п: Т_пM→Т_пM. Если п единичное нормальное поле к M и v является касательным вектором, то

${ Displaystyle S (v) = pm nabla _ {v} n}$

(нет стандартного соглашения, использовать ли + или - в определении).

В целом собственные векторы и собственные значения оператора формы в каждой точке определяют направления, в которых поверхность изгибается в каждой точке. Собственные значения соответствуют основные кривизны поверхности и собственные векторы являются соответствующими главными направлениями. Основные направления определяют направления, в которых кривая, встроенная в поверхность, должна двигаться, чтобы иметь максимальную и минимальную кривизну, которые задаются главными кривизнами.

Геодезические кривые на поверхности

Кривые на поверхности, которые минимизируют длину между конечными точками, называются геодезические; это форма, которая эластичный бинт протянутая между двумя точками займет. Математически они описываются с помощью обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Дифференциальная геометрия поверхностей вращается вокруг изучения геодезических. До сих пор остается открытым вопрос, возникает ли каждая риманова метрика на 2-мерной локальной карте из вложения в 3-мерное евклидово пространство: теория геодезических использовалась, чтобы показать, что это верно в важном случае, когда компоненты метрики находятся аналитический.

Геодезические

Геодезический треугольник на сфере. Геодезические большой круг дуги.

По кусочно-гладкому пути c(т) = (Икс(т), у(т)) в графике для т в [а, б], его длина определяется

${ displaystyle L (c) = int _ {a} ^ {b} (E { dot {x}} ^ {2} + 2F { dot {x}} { dot {y}} + G { dot {y}} ^ {2}) ^ { frac {1} {2}} , dt}$

и энергия от

${ displaystyle E (c) = int _ {a} ^ {b} (E { dot {x}} ^ {2} + 2F { dot {x}} { dot {y}} + G { dot {y}} ^ {2}) , dt.}$

Длина не зависит от параметризации пути. Посредством Уравнения Эйлера – Лагранжа., если c(т) - путь, минимизирующий длину, параметризованный длиной дуги, он должен удовлетворять Уравнения Эйлера

${ displaystyle { ddot {x}} + Gamma _ {11} ^ {1} { dot {x}} ^ {2} +2 Gamma _ {12} ^ {1} { dot {x} } { dot {y}} + Gamma _ {22} ^ {1} { dot {y}} ^ {2} = 0}$

${ displaystyle { ddot {y}} + Gamma _ {11} ^ {2} { dot {x}} ^ {2} +2 Gamma _ {12} ^ {2} { dot {x} } { dot {y}} + Gamma _ {22} ^ {2} { dot {y}} ^ {2} = 0}$

где Символы Кристоффеля Γ^k
_ij даны

${ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} = { tfrac {1} {2}} sum _ {m} g ^ {km} ( partial _ {j} g_ {im} + partial _ {i} g_ {jm} - partial _ {m} g_ {ij})}$

где г₁₁ = E, г₁₂ = F, г₂₂ = г и г^ij матрица, обратная к г_ij. Путь, удовлетворяющий уравнениям Эйлера, называется геодезический. Посредством Неравенство Коши – Шварца путь, минимизирующий энергию, - это просто геодезическая, параметризованная длиной дуги; и для любой геодезической параметр т пропорциональна длине дуги.^[60]

Геодезическая кривизна

В геодезическая кривизна k_г в точке кривой c(т), параметризованная длиной дуги, на ориентированной поверхности определяется как^[61]

${ displaystyle k_ {g} = { ddot {c}} (t) cdot mathbf {n} (t).}$

где п(т) является "главной" единичной нормалью к кривой на поверхности, построенной путем вращения единичного касательного вектора ċ(т) на угол + 90 °.

• Геодезическая кривизна в точке - это внутренний инвариант, зависящий только от метрики вблизи точки.
• Кривая единичной скорости на поверхности является геодезической тогда и только тогда, когда ее геодезическая кривизна равна нулю во всех точках кривой.
• Кривая единичной скорости c(т) во вложенной поверхности является геодезической тогда и только тогда, когда ее вектор ускорения c̈(т) нормально к поверхности.

Геодезическая кривизна точно определяет, насколько кривая на поверхности отличается от геодезической.

Ортогональные координаты

Когда F = 0 по всей координатной карте, например, с геодезическими полярными координатами, обсуждаемыми ниже, изображения линий, параллельных Икс- и у-оси ортогональный и предоставить ортогональные координаты. Если ЧАС = (НАПРИМЕР)^​1⁄₂, то гауссова кривизна определяется выражением^[62]

${ displaystyle K = - {1 over 2H} left [ partial _ {x} left ({ frac {G_ {x}} {H}} right) + partial _ {y} left ( { frac {E_ {y}} {H}} right) right].}$

Если вдобавок E = 1, так что ЧАС = г^​1⁄₂, то угол φ на пересечении геодезических (Икс(т),у(т)) и линия у = константа определяется уравнением

${ displaystyle tan varphi = H cdot { frac { dot {y}} { dot {x}}}.}$

Производная от φ дается классической производной формулой Гаусса:^[63]

${ displaystyle { dot { varphi}} = - H_ {x} cdot { dot {y}}.}$

Геодезические полярные координаты

Карл Якоби (1804–1851)

Контурные линии, отслеживающие движение точек на фиксированной кривой, движущейся вдоль геодезических к базовой точке

Если на поверхности задана метрика и зафиксирована базовая точка, появляется уникальная геодезическая, соединяющая базовую точку с каждой достаточно близкой точкой. Направление геодезической в ​​базовой точке и расстояние однозначно определяют другую конечную точку. Эти два бита данных, направление и величина, таким образом, определяют касательный вектор в базовой точке. Карта от касательных векторов к конечным точкам плавно сметает окрестности базовой точки и определяет то, что называется «экспоненциальной картой», определяя локальную карту координат в этой базовой точке. Выметанная окрестность имеет те же свойства, что и шары в евклидовом пространстве, а именно любые две точки в ней соединены единственной геодезической. Это свойство называется «геодезической выпуклостью», а координаты - «нормальными координатами». Явное вычисление нормальных координат может быть выполнено путем рассмотрения дифференциального уравнения, которому удовлетворяют геодезические. Свойства выпуклости являются следствием Лемма Гаусса и его обобщения. Грубо говоря, эта лемма утверждает, что геодезические, начинающиеся в базовой точке, должны разрезать сферы фиксированного радиуса с центром в базовой точке под прямым углом. Геодезические полярные координаты получаются путем объединения экспоненциальной карты с полярными координатами касательных векторов в базовой точке. Тогда гауссова кривизна поверхности определяется отклонением метрики в точке второго порядка от евклидовой метрики. В частности, гауссова кривизна является инвариантом метрики, знаменитого метода Гаусса. Теорема Egregium. Удобный способ понять кривизну - это обычное дифференциальное уравнение, сначала рассмотренное Гауссом, а затем обобщенное Якоби, возникающее в результате изменения нормальных координат в двух разных точках. Уравнение Гаусса – Якоби предоставляет другой способ вычисления гауссовой кривизны. Геометрически он объясняет, что происходит с геодезическими от фиксированной базовой точки, когда конечная точка изменяется вдоль небольшого сегмента кривой через данные, записанные в Поле Якоби, а векторное поле по геодезической.^[64] Спустя одно с четвертью столетия после Гаусса и Якоби, Марстон Морс дал более концептуальную интерпретацию поля Якоби в терминах вторых производных функции энергии на бесконечномерном Гильбертово многообразие путей.^[65]

Экспоненциальная карта

Теория обыкновенные дифференциальные уравнения показывает, что если ж(т, v) гладко, то дифференциальное уравнение dv/dt = ж(т,v) с начальным условием v(0) = v₀ имеет уникальное решение для |т| достаточно мал, и решение плавно зависит от т и v₀. Отсюда следует, что при достаточно малых касательные векторы v в данный момент п = (Икс₀,у₀), есть геодезическая c_v(т) определенная на (−2,2) с c_v(0) = (Икс₀,у₀) и ċ_v(0) = v. Более того, если |s| ≤ 1, тогда c_св = c_v(ул). В экспоненциальная карта определяется

exp_п(v) = c_v (1)

и дает диффеоморфизм между диском ‖v‖ < δ и окрестности п; в более общем плане отправка карты (п,v) к exp_п(v) дает локальный диффеоморфизм на окрестность точки (п,п). Экспоненциальное отображение дает геодезические нормальные координаты около п.^[66]

Вычисление нормальных координат

Есть стандартная методика (см. Например Бергер (2004) ) для вычисления замены переменных к нормальным координатам ты, v в точке как формальное разложение в ряд Тейлора. Если координаты Икс, у в точке (0,0) локально ортогональны, пишем

Икс(ты,v) = αu + L(ты,v) + λ(ты,v) + …

у(ты,v) = βv + M(ты,v) + μ(ты,v) + …