Риманова связность на поверхности - Riemannian connection on a surface

О классическом подходе к геометрии поверхностей см. Дифференциальная геометрия поверхностей.

В математика, то Риманова связность на поверхность или же Риманово 2-многообразие относится к нескольким внутренним геометрическим структурам, обнаруженным Туллио Леви-Чивита, Эли Картан и Герман Вейль в начале двадцатого века: параллельный транспорт, ковариантная производная и форма подключения . Эти концепции были приведены в их нынешнюю форму с помощью основные связки только в 1950-е гг. Классический подход девятнадцатого века к дифференциальная геометрия поверхностей, во многом благодаря Карл Фридрих Гаусс, был переработан в этой современной структуре, которая обеспечивает естественные условия для классической теории подвижная рама так же хорошо как Риманова геометрия многомерных Римановы многообразия. Этот отчет задуман как введение в теорию связи.

Исторический обзор

Туллио Леви-Чивита (1873–1941)

Эли Картан (1869–1951)

Герман Вейль (1885–1955)

После классической работы Гаусса о дифференциальная геометрия поверхностей^[1][2][3][4] и последующее появление концепции Риманово многообразие по инициативе Бернхард Риманн в середине девятнадцатого века геометрическое понятие связь разработан Туллио Леви-Чивита, Эли Картан и Герман Вейль в начале двадцатого века представлял собой крупный прогресс в дифференциальная геометрия. Вступление к параллельный транспорт, ковариантные производные и формы подключения дал более концептуальный и единообразный способ понимания кривизны, позволив обобщить многомерные многообразия; сейчас это стандартный подход в учебниках для выпускников.^[5][6][7] Он также предоставил важный инструмент для определения новых топологических инвариантов, называемых характеристические классы через Гомоморфизм Черна – Вейля.^[8]

Хотя Гаусс был первым, кто изучал дифференциальную геометрию поверхностей в евклидовом пространстве E³Понятие риманова пространства было введено только в 1854 году в «Хабилитации» Римана. Кристоффель представил свои одноименные символы в 1869 году. Тензорное исчисление было разработано Риччи, который опубликовал систематическое лечение с Леви-Чивита в 1901 г. Ковариантное дифференцирование тензоров получило геометрическую интерпретацию Леви-Чивита (1917) кто ввел понятие параллельного транспорта на поверхностях. Его открытие побудило Weyl и Картан ввести различные понятия связи, в частности аффинной связи. Подход Картана был перефразирован на современном языке основных связок Ehresmann, после чего тема быстро приняла свой нынешний вид после вкладов Черн, Амвросий и Певица, Кобаяши, Номидзу, Лихнерович и другие.^[9]

Связи на поверхности можно определять разными способами. В Риманова связь или же Леви-Чивита связь^[10] пожалуй, проще всего понять с точки зрения подъема векторные поля, считается первым порядком дифференциальные операторы действующие на функции на многообразии, к дифференциальным операторам на сечениях комплект кадров. В случае вложенной поверхности этот подъем очень просто описывается в терминах ортогональной проекции. В самом деле, векторные расслоения, ассоциированные с расслоением реперов, - это все подслои тривиальных расслоений, продолжающихся до объемлющего евклидова пространства; дифференциальный оператор первого порядка всегда может быть применен к части тривиального пакета, в частности, к части исходного подгруппы, хотя результирующий раздел может больше не быть частью подгруппы. Это можно исправить, проецируя ортогонально.

Риманова связность также может быть охарактеризована абстрактно, независимо от вложения. Уравнения геодезических легко записать в терминах римановой связности, которая может быть локально выражена через символы Кристоффеля. Вдоль кривой на поверхности соединение определяет дифференциальное уравнение первого порядка в комплекте рамы. В монодромия этого уравнения определяет параллельный транспорт для связи понятие введено в этом контексте Леви-Чивита.^[10] Это дает эквивалентный, более геометрический способ описания соединения как путей подъема в многообразии к путям в связке кадров. Это формализует классическую теорию «подвижного репера», одобренную французскими авторами.^[11] Подъем петель вокруг точки порождает группа голономии в таком случае. Гауссова кривизна в точке может быть восстановлена ​​путем параллельного переноса вокруг все более мелких петель в точке. Эквивалентно кривизна может быть вычислена напрямую бесконечно малым образом с точки зрения Скобки лжи поднятых векторных полей.

Подход Картана, использующий 1-формы связи на комплект кадров из M, дает третий способ понять риманову связность, которую особенно легко описать для вложенной поверхности. Благодаря результату Кобаяши (1956), позже обобщенный Нарасимхан и Раманан (1961), риманова связность на поверхности, вложенной в евклидово пространство E³ это просто откат под отображение Гаусса римановой связности на S².^[12] Используя идентификацию S² с однородное пространство SO (3) / SO (2), форма связи 1 является лишь компонентом 1-форма Маурера – Картана на SO (3). Другими словами, все сводится к правильному пониманию 2-сферы.^[13]

Ковариантная производная

Векторное поле на торе

Для поверхности M встроенный в E³ (или, в более общем смысле, евклидово пространство более высокой размерности), существует несколько эквивалентных определений векторное поле Икс на M:

• гладкая карта M в E³ получение значений в касательном пространстве в каждой точке;
• то вектор скорости из местный поток на M;
• первый заказ дифференциальный оператор без постоянного срока в любом локальном графике на M;
• а происхождение из C^∞(M).

Последнее условие означает, что присвоение ж ↦ Xf на C^∞(M) удовлетворяет Правило Лейбница

${ Displaystyle X (fg) = (Xf) g + f (Xg).}$

Пространство всего векторные поля ${ displaystyle { mathcal {X}}}$(M) образует модуль над C^∞(M), закрытый под Кронштейн лжи

${ Displaystyle [X, Y] е = X (Yf) -Y (Xf)}$

с C^∞(M) -значный внутренний продукт (Икс,Y), который кодирует Риманова метрика на M.

С ${ displaystyle { mathcal {X}}}$(M) является подмодулем C^∞(M, E³)=C^∞(M)${ displaystyle otimes}$ E³, Оператор Икс${ displaystyle otimes}$ я определяется на ${ displaystyle { mathcal {X}}}$(M), принимая значения в C^∞(M, E³).

Позволять п быть гладкой картой из M в M₃(р) такие, что п(п) это ортогональная проекция из E³ на касательное пространство в п. Таким образом, для единичного вектора нормали п_п в п, однозначно определенное с точностью до знака, и v в E³, проекция дается формулой п(п)(v) = v - (v · п_п) п_п.

Точечное умножение на п дает C^∞(M) -модульная карта C^∞(M, E³) на ${ displaystyle { mathcal {X}}}$(M). Назначение

${ Displaystyle nabla _ {X} Y = P ((X otimes I) Y)}$

определяет оператора ${ displaystyle nabla _ {X}}$ на ${ displaystyle { mathcal {X}}}$(M) называется ковариантная производная, удовлетворяющий следующим свойствам

1. ${ displaystyle nabla _ {X}}$ является C^∞(M) -линейный по Икс
2. ${ Displaystyle nabla _ {X} (fY) = (Xf) Y + f nabla _ {X} Y}$ (Правило Лейбница для вывода модуля)
3. ${ Displaystyle X (Y, Z) = ( nabla _ {X} Y, Z) + (Y, nabla _ {X} Z)}$ (совместимость с метрикой )
4. ${ displaystyle nabla _ {X} Y- nabla _ {Y} X = [X, Y]}$ (свойство симметрии).

Первые три свойства заявляют, что ${ displaystyle nabla}$ является аффинная связь совместим с метрикой, иногда также называемой эрмитский или же метрическое соединение. Последнее свойство симметрии говорит, что тензор кручения

${ Displaystyle T (X, Y) = nabla _ {X} Y- nabla _ {Y} X- [X, Y]}$

тождественно обращается в нуль, так что аффинная связность без кручения.

Назначение ${ displaystyle nabla}$ однозначно определяется этими четырьмя условиями и называется Риманова связь или же Леви-Чивита связь.

Хотя риманова связность была определена с помощью вложения в евклидово пространство, это свойство уникальности означает, что на самом деле это внутренний инвариант поверхности.

Его существование можно доказать непосредственно для общей поверхности, отметив, что из четырех свойств следует Формула Кошуля

${ displaystyle 2 ( nabla _ {X} Y, Z) = X cdot (Y, Z) + Y cdot (X, Z) -Z cdot (X, Y) + ([X, Y], Z) + ([Z, X], Y) + (X, [Z, Y]),}$

так что ${ displaystyle nabla _ {X} Y}$ зависит только от метрики и уникален. С другой стороны, если это используется как определение ${ displaystyle nabla _ {X} Y}$, легко проверить, что выполняются четыре указанных выше свойства.^[14]

За ты изометрическое вложение M в E³, касательные векторы ${ displaystyle u_ {1} = partial _ {x}}$ и ${ displaystyle u_ {2} = partial _ {y} u}$ дать ${ displaystyle 2 times 2}$ матрица ${ displaystyle g_ {ij} = u_ {i} cdot u_ {j}}$ Это положительно определенная матрица. Его обратное также положительно определенно симметрично, с матрицей ${ displaystyle g ^ {ij}}$. Обратное также имеет уникальный положительно определенный квадратный корень с матрицей ${ displaystyle h_ {ij}}$. Обычно проверяют, что ${ displaystyle e_ {i} = sum _ {j} h_ {ij} u_ {j}}$ образуют ортонормированный базис касательного пространства. В этом случае проекция на касательное пространство задается формулой ${ Displaystyle P (p) (v) = sum (v, e_ {i}) e_ {i}}$ так что

${ displaystyle nabla _ { partial _ {i}} partial _ {j} u = P (p) ( partial _ {i} partial _ {i} u) = sum _ {k} ( partial _ {i} partial _ {j} u, e_ {k}) e_ {k} = sum _ {k, ell, m} ( partial _ {i} partial _ {j} u) cdot ( partial _ { ell} u) h_ {k ell} h_ {km} partial _ {m} u = sum _ { ell, m} ( partial _ {i} partial _ {j } u) cdot ( partial _ { ell} u) g ^ { ell m} partial _ {m} u.}$

Таким образом ${ displaystyle nabla _ { partial _ {i}} partial _ {j} = sum _ {k} Gamma _ {ij} ^ {k} partial _ {k}}$, куда

${ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} = {1 over 2} sum _ { ell} g ^ {k ell} left ( partial _ {i} ( partial _ {j} u cdot partial _ { ell} u) + partial _ {j} ( partial _ {i} u cdot partial _ { ell} u) - partial _ { ell} ( partial _ {i} u cdot partial _ {j} u) right.}$

С ${ displaystyle g_ {ij} = u_ {i} cdot u_ {j}}$, это дает еще один способ получить Символы Кристоффеля:

${ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} = {1 over 2} sum _ { ell} g ^ {k ell} ( partial _ {i} g_ {j ell} + partial _ {j} g_ {i ell} - partial _ { ell} g_ {ij}).}$

Формулы для ковариантной производной также могут быть получены из локальных координат (Икс,у) без использования изометрических вложений. Принимая ${ displaystyle partial _ {x}}$ и '${ displaystyle partial _ {y}}$ как векторные поля, связь ${ displaystyle nabla}$ можно выразить чисто в единицах метрики с помощью символов Кристоффеля:^[15]

${ displaystyle nabla _ { partial _ {i}} partial _ {j} = sum _ {k} Gamma _ {ij} ^ {k} partial _ {k}.}$

Чтобы получить формулу, формулу Кошуля можно применить с Икс, Y и Z установлен в ${ displaystyle partial _ {я}}$s; в этом случае все скобки Ли коммутируют.

Оператор кривизны

В Тензор кривизны Римана можно определить ковариантными производными с помощью оператор кривизны:

${ displaystyle R (X, Y) = nabla _ {X} nabla _ {Y} - nabla _ {Y} nabla _ {X} - nabla _ {[X, Y]}.}$

Поскольку назначение ${ Displaystyle (X, Y, Z) mapsto R (X, Y) Z}$ это C^∞(M) -линейный по каждой переменной, то р(Икс,Y)_п является эндоморфизмом в п. За Икс и Y линейно независимые касательные векторы при п,

${ Displaystyle К = {(р (X, Y) Y, X) над (X, X) (Y, Y) - (X, Y) ^ {2}}}$

не зависит от выбора базиса и называется Гауссова кривизна в п. В Тензор кривизны Римана дан кем-то^[16][17]

${ Displaystyle R (X, Y, Z, W) = (R (X, Y) Z, W).}$

Проверить независимость K достаточно заметить, что он не меняется при отправке элементарных преобразований (Икс,Y) к (Y,Икс), (λИкс,Y) и (Икс + Y,Y). Это, в свою очередь, зависит от того, что оператор р(Икс,Y) является косо-сопряженный.^[18] Кососопряженность влечет за собой, что (р(Икс,Y)Z,Z) = 0 для всех Z, что следует из

${ Displaystyle (р (X, Y) Z, Z) = Икс ( nabla _ {Y} Z, Z) -Y ( nabla _ {X} Z, Z) - ( nabla _ {[X, Y ]} Z, Z) = {1 over 2} (XY (Z, Z) -YX (Z, Z) - [X, Y] (Z, Z)) = 0.}$

Геодезические

Если c(т) - это путь в M, то Уравнения Эйлера за c быть геодезический можно записать более компактно как^[19]

${ displaystyle nabla _ { dot {c}} { dot {c}} = 0.}$

Параллельный транспорт

Параллельный перенос вектора вокруг геодезического треугольника на сфере. Длина перемещаемого вектора и угол, который он составляет с каждой стороной, остаются постоянными.

Учитывая кривую в евклидовой плоскости и вектор в начальной точке, вектор можно перемещать по кривой, требуя, чтобы движущийся вектор оставался параллельным исходному и той же длины, то есть он должен оставаться постоянным вдоль кривой. Если кривая замкнута, вектор не изменится при повторном достижении начальной точки. Хорошо известно, что это невозможно на общей поверхности, поскольку сфера является наиболее известным случаем. Фактически, обычно невозможно одновременно идентифицировать или «распараллелить» все касательные плоскости такой поверхности: единственное распараллеливаемый закрытые поверхности - это те гомеоморфный к тору.^[20]

Параллельный перенос всегда можно определить по кривым на поверхности, используя только метрику на поверхности. Таким образом, касательные плоскости вдоль кривой могут быть идентифицированы с использованием внутренней геометрии, даже если сама поверхность не является параллелизируемой.

Параллельный перенос по геодезическим, «прямым линиям» поверхности, определить легко. Вектор в касательной плоскости переносится по геодезической как единственное векторное поле постоянной длины и составляющее постоянный угол с вектором скорости геодезической.

Для общей кривой ее геодезическая кривизна измеряет, насколько кривая отклоняется от геодезической; он определяется как скорость, с которой вектор скорости кривой вращается на поверхности. В свою очередь, геодезическая кривизна определяет, как векторы в касательных плоскостях вдоль кривой должны вращаться во время параллельной транспортировки.

Векторное поле v(т) вдоль кривой единичной скорости c(т), с геодезической кривизной k_грамм(т), называется параллельно вдоль кривой, если

• он имеет постоянную длину
• угол θ (т), что он делает с вектором скорости ${ Displaystyle { точка {с}} (т)}$ удовлетворяет

${ Displaystyle { точка { theta}} (т) = - к_ {г} (т)}$

Это дает предыдущее правило параллельного транспорта по геодезической, потому что в этом случае k_грамм = 0, поэтому угол θ (т) должен оставаться постоянным.^[21] Существование параллельного переноса следует из стандартных теорем существования для обыкновенные дифференциальные уравнения. Вышеупомянутое дифференциальное уравнение можно переписать в терминах ковариантной производной как

${ Displaystyle набла _ { точка {с}} v = 0}$

Это уравнение еще раз показывает, что параллельный перенос зависит только от метрической структуры, поэтому он является внутренним инвариантом поверхности. Параллельный транспорт можно сразу расширить до кусочного C¹ кривые.

Когда M поверхность, вложенная в E³, это последнее условие можно записать в терминах проекционно-значной функции п в качестве

${ Displaystyle Р (с (т)) { точка {v}} (т) = 0}$

или другими словами:^[22]

Вектор скорости v должно быть перпендикулярно поверхности.

Арнольд предложил^[23][24] что, поскольку параллельный перенос на геодезическом отрезке легко описывается, параллельный перенос на произвольном C¹ Кривая может быть построена как предел параллельного переноса на аппроксимирующем семействе кусочно-геодезических кривых.^[25]

Это уравнение еще раз показывает, что параллельный перенос зависит только от метрической структуры, поэтому он является внутренним инвариантом поверхности; это еще один способ записать обыкновенное дифференциальное уравнение с учетом геодезической кривизны c. Параллельный транспорт можно сразу расширить до кусочного C¹ кривые.

Ковариантная производная, в свою очередь, может быть восстановлена ​​из параллельного переноса.^[26] Фактически ${ displaystyle nabla _ {X} Y}$ можно рассчитать в точке п, взяв кривую c через п с касательной Икс, используя параллельный транспорт, чтобы просмотреть ограничение Y к c как функция в касательном пространстве при п а затем взяв производную.

Пакет ортонормированных кадров

Позволять M быть поверхностью, вложенной в E³. В ориентация на поверхности означает, что нормальный единичный вектор "направленный наружу" п определен в каждой точке поверхности и, следовательно, определитель может быть определен на касательных векторах v и ш в таком случае:

${ displaystyle mathrm {det} ({ mathbf {v}}, { mathbf {w}}) = ({ mathbf {v}} times { mathbf {w}}) cdot { mathbf { n}},}$

используя обычный скалярное тройное произведение на E³ (сам по себе определитель).

Заказанная основа или каркас v, ш в касательном пространстве называется ориентированный если det (v, ш) положительный.

• В касательный пучок из M состоит из пар (п, v) в M Икс E₃ такой, что v лежит в касательной плоскости к M в п.
• В комплект кадров E из M состоит из троек (п, е₁, е₂) с е₁, е₂ ориентированный ортонормированный базис касательной плоскости при п.
• В связка кругов из M состоит из пар (п, v) с ||v|| = 1. Он идентичен расслоению реперов, потому что для каждого единичного касательного вектора v, существует единственный касательный вектор ш с дет (v, ш) = 1.

Поскольку группа вращений на плоскости ТАК (2) действует просто транзитивно на ориентированных ортонормированных реперах на плоскости следует, что он действует также на репер или окружности расслоения M.^[7] Определения касательный пучок, единичное касательное расслоение и (ориентированная ортонормированная) комплект кадров E обычным образом продолжается на произвольные поверхности.^[7][16] Существует аналогичное отождествление между двумя последними, которые снова становятся основными SO (2) -связями. Другими словами:

Комплект кадров представляет собой основной пакет с структурная группа ТАК (2).

Также существует соответствующее понятие параллельный транспорт в настройке комплектов кадров:^[27][28]

Каждая непрерывно дифференцируемая кривая в M можно поднять до кривой в E таким образом, что касательное векторное поле поднятой кривой является подъемом касательного векторного поля исходной кривой.

Это утверждение означает, что любую рамку на кривой можно параллельно перемещать по кривой. В этом и заключается идея «движущихся рамок». Поскольку любой единичный касательный вектор может быть однозначно завершен для ориентированного фрейма, параллельный перенос касательных векторов подразумевает (и эквивалентен) параллельный перенос фреймов. Подъем геодезической в M оказывается геодезическим в E для метрики Сасаки (см. ниже).^[29] Более того, карта Гаусса M в S² индуцирует естественное отображение между связанными связками фреймов, которое эквивариантный для действий SO (2).^[30]

Идея Картана представить связку кадров в качестве центрального объекта стала естественным завершением теории движущиеся рамы, разработанная во Франции Дарбу и Goursat. Это также отразило параллельные разработки в Альберт Эйнштейн с теория относительности.^[31] Объекты, входящие в формулы Гаусса, такие как символы Кристоффеля, могут получить естественную геометрическую интерпретацию в этой структуре. В отличие от более интуитивно понятного нормальный комплект, легко визуализируется как трубчатый район закладной поверхности в E³расслоение фреймов является внутренним инвариантом, который может быть определен независимо от вложения. Когда есть вложение, его также можно визуализировать как подгруппу связки евклидовых фреймов. E³ x SO (3), сама подмногообразие из E³ x M₃(р).

Основное соединение

Теория связей по Эли Картан, и позже Чарльз Эресманн, вращается вокруг:^[32]

• основной пакет E;
• то внешнее дифференциальное исчисление из дифференциальные формы на E.

Все естественно" векторные пакеты связанный с многообразием M, такой как касательный пучок, то котангенсный пучок или внешние комплекты, можно построить из связки кадров с помощью теория представлений структурной группы K = SO (2), a компактная матричная группа.

Картановское определение связи можно понимать как способ поднятия векторных полей на M в векторные поля на связке кадров E инвариантен относительно действия структурной группы K. Поскольку параллельный транспорт был определен как способ подъёма кусочков C¹ пути отM к E, это автоматически индуцирует бесконечно малый способ поднять векторные поля или касательные векторы из M к E. В точке выберите путь с заданным касательным вектором и затем сопоставьте его с касательным вектором поднятого пути. (Для векторных полей кривые можно рассматривать как интегральные кривые локального потока.) Таким образом, любое векторное поле Икс на M можно поднять в векторное поле Икс* на E удовлетворение^[33]

• Икс* - векторное поле на E;
• карта Икс ↦ Икс* это C^∞(M) -линейный;
• Икс* является K-инвариантно и индуцирует векторное поле Икс на C^∞(M) ${ displaystyle subset}$ C^∞(E).

Здесь K действует как периодический поток на E, поэтому канонический генератор А своей алгебры Ли действует как соответствующее векторное поле, называемое вертикальный векторное поле А*. Из приведенных выше условий следует, что в касательном пространстве произвольной точки из E, лифты Икс* покрывают двумерное подпространство горизонтальный векторы, образующие дополнительное подпространство к вертикальным векторам. Каноническая риманова метрика на E Сигео Сасаки определяется тем, что горизонтальное и вертикальное подпространства ортогональны, что дает каждому подпространству его естественный внутренний продукт.^[29][34]

Горизонтальные векторные поля допускают следующую характеризацию:

• Каждый K-инвариантное горизонтальное векторное поле на E имеет форму Икс* для уникального векторного поля Икс на M.

Этот «универсальный подъем» затем немедленно индуцирует подъемы на векторные расслоения, связанные E и, следовательно, позволяет восстанавливать ковариантную производную и ее обобщение на формы.

Если σ - представление K на конечномерном векторном пространстве V, то соответствующее векторное расслоение E Икс_K V над M имеет C^∞(M) -модуль разделов, которые можно отождествить с

${ Displaystyle C ^ { infty} (E, V) ^ {K},}$

пространство всех гладких функций ξ:E → V которые K-эквивариантно в том смысле, что

${ Displaystyle xi (x cdot g) = sigma (g ^ {- 1}) xi (x)}$

для всех Икс ∈ E и грамм ∈ K.

Тождественное представление SO (2) на р² соответствует касательному расслоению M.

Ковариантная производная ${ displaystyle nabla _ {X}}$ определяется на инвариантном сечении ξ формулой

${ displaystyle nabla _ {X} xi = (X ^ {*} otimes I) xi.}$

Подключение на связке рам также можно описать с помощью K-инвариантных дифференциальных 1-форм на E.^[7][35]

Комплект рамы E это 3-х коллекторный. Пространство п-формы на E обозначается Λ^п(E).^[36] Он допускает естественное действие структурной группы K.

Учитывая связь на основном расслоении E соответствующий лифту Икс ↦ Икс* векторных полей на M, есть уникальный форма подключения ω в

${ displaystyle Lambda ^ {1} (E) ^ {K}}$,

пространство K-инвариантных 1-форм на E, так что^[16]

${ displaystyle omega (X ^ {*}) = 0}$

для всех векторных полей Икс на M и

${ displaystyle omega (A ^ {*}) = 1,}$

для векторного поля А* на E соответствующий каноническому генератору А из ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$.

Наоборот лифт Икс* обладает уникальными свойствами:

• Икс* является K-инвариантно и индуцирует Икс на M;
• ω (Икс*)=0.

Структурные уравнения Картана

На связке рамы E поверхности M есть три канонических 1-формы:

• Форма связности ω, инвариантная относительно структурной группы K = SO (2)
• Две тавтологические 1-формы θ₁ и θ₂, преобразующиеся по базисным векторам тождественного представления K

Если π: E ${ displaystyle rightarrow}$ M проекция природы, 1-формы θ₁ и θ₂ определены

${ Displaystyle тета _ {я} (Y) = (d pi (Y), e_ {i})}$

куда Y векторное поле на E и е₁, е₂ касательные векторы к M ортонормированной системы отсчета.

Эти 1-формы удовлетворяют следующим условиям структурные уравнения, причитающиеся в этой формулировке Картану:^[37]

${ Displaystyle d theta _ {1} = omega wedge theta _ {2}, , , d theta _ {2} = - omega wedge theta _ {1}}$

(Первые структурные уравнения)

${ displaystyle d omega = - (К circ pi) theta _ {1} клин theta _ {2}}$

(Второе структурное уравнение)

куда K гауссова кривизна на M.

Голономия и кривизна

Параллельный перенос в связке кадров может использоваться, чтобы показать, что гауссова кривизна поверхности M измеряет величину вращения, полученную путем переноса векторов вокруг небольших кривых в M.^[38] Голономия это именно то явление, которое происходит, когда касательный вектор (или ортонормированная система отсчета) параллельно переносится по замкнутой кривой. Вектор, достигнутый при замыкании цикла, будет поворотом исходного вектора, то есть он будет соответствовать элементу группы вращения SO (2), другими словами, углу по модулю 2π. Это голономия петли, поскольку угол не зависит от выбора стартового вектора.

Геометрическая интерпретация Кронштейн лжи из двух векторные поля

Эта геометрическая интерпретация кривизны основана на аналогичной геометрической модели Кронштейн лжи из двух векторные поля на E. Позволять U₁ и U₂ быть векторными полями на E с соответствующими местные потоки α_т и β_т.

• Начиная с точки А соответствующий Икс в E, путешествовать ${ displaystyle { sqrt {s}}}$ вдоль интегральной кривой для U₁ к точке B в ${ Displaystyle альфа _ { sqrt {s}} (х)}$.
• Путешествие из B идя ${ displaystyle { sqrt {s}}}$ вдоль интегральной кривой для U₂ к точке C в ${ displaystyle beta _ { sqrt {s}} alpha _ { sqrt {s}} (x)}$.
• Путешествие из C идя ${ displaystyle - { sqrt {s}}}$ вдоль интегральной кривой для U₁ к точке D в ${ displaystyle alpha _ {- { sqrt {s}}} beta _ { sqrt {s}} alpha _ { sqrt {s}} (x)}$.
• Путешествие из D идя ${ displaystyle - { sqrt {s}}}$ вдоль интегральной кривой для U₂ к точке E в ${ displaystyle beta _ {- { sqrt {s}}} alpha _ {- { sqrt {s}}} beta _ { sqrt {s}} alpha _ { sqrt {s}} ( Икс)}$.

В общем конечная точка E будет отличаться от исходной точки А. В качестве s ${ displaystyle rightarrow}$ 0, конечная точка E проведет кривую через А. Скобка Ли [U₁,U₂] в Икс является в точности касательным вектором к этой кривой в точке А.^[39]

Чтобы применить эту теорию, введем векторные поля U₁, U₂ и V на пачке рам E двойственные 1-формам θ₁, θ₂ и ω в каждой точке. Таким образом

${ displaystyle omega (U_ {i}) = 0, , theta _ {i} (V) = 0, , omega (V) = 1, , theta _ {i} (U_ {j }) = delta _ {ij}.}$

Более того, V инвариантен относительно K и U₁, U₂ преобразовать в соответствии с тождественным представлением K.

Из структурных уравнений Картана вытекают следующие скобочные соотношения Ли:

${ Displaystyle [V, U_ {1}] = U_ {2}, , , , , [V, U_ {2}] = - U_ {1}, , , , , [U_ {1}, U_ {2}] = (K circ pi) V}$

К последнему из этих уравнений применима геометрическая интерпретация скобки Ли. Поскольку ω (U_я) = 0, потоки α_т и β_т в E являются подъемниками путем параллельной транспортировки их выступов в M.

Неформально идея заключается в следующем. Отправная точка А и конечная точка E существенно отличаются элементом СО (2), то есть углом поворота. Площадь, ограниченная проектируемым путем в M примерно ${ displaystyle { sqrt {s}} cdot { sqrt {s}} = s}$. Так что в пределе s ${ displaystyle rightarrow}$ 0 угол поворота, деленный на эту площадь, стремится к коэффициенту V, т.е. кривизна.

Это рассуждение уточняется в следующем результате.^[40]

Позволять ж - диффеоморфизм открытого диска на плоскости в M и пусть Δ - треугольник в этом круге. Тогда угол голономии петли, образованной изображением под ж периметра треугольника определяется интегралом гауссовой кривизны изображения при ж внутренней части треугольника.

В символах угол голономии по модулю 2π равен

${ Displaystyle тета = int _ {е ( Delta)} К}$

где интеграл относительно формы площади на M.

Этот результат подразумевает связь между гауссовой кривизной, потому что по мере того, как треугольник сжимается в размере до точки, отношение этого угла к площади стремится к гауссовой кривизне в точке. Результат может быть доказан комбинацией Теорема Стокса и структурные уравнения Картана и могут, в свою очередь, использоваться для получения обобщения теоремы Гаусса о геодезических треугольниках на более общие треугольники.^[41]

Один из других стандартных подходов к кривизне через ковариантную производную ${ displaystyle nabla _ {X}}$, определяет разницу

${ Displaystyle R (X, Y) = nabla _ {X} nabla _ {Y} - nabla _ {Y} nabla _ {X} - nabla _ {[X, Y]}}$

как поле эндоморфизмов касательного расслоения Тензор кривизны Римана.^[16][42]С ${ displaystyle nabla _ {X}}$ индуцировано поднятым векторным полем Икс* на E, использование векторных полей U_я и V и их скобки Ли более или менее эквивалентны этому подходу. Вертикальное векторное поле W=А* соответствует каноническому генератору А из ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ также можно добавить, так как он работает с V и удовлетворяет [W,U₁] = U₂ и [W,U₂] = —U₁.

Пример: 2-сфера

К дифференциальной геометрии 2-сферы можно подойти с трех различных точек зрения:

• аналитическая геометрия, поскольку 2-сфера является подмногообразие из E³;
• теория групп, поскольку компактная матричная группа ТАК (3) действует транзитивно на 2-сфере как непрерывная группа симметрий;
• классическая механика, поскольку жесткая двумерная сфера может катиться по плоскости.

S² можно отождествить с единичной сферой в E³

${ Displaystyle S ^ {2} = {a in E ^ {3} двоеточие | a | = 1 }.}$

Его касательный пучок Т, единичный касательный пучок U и ориентированный ортонормированный пучок кадров E даны

${ Displaystyle T = {(a, v) двоеточие | a | = 1, , a cdot v = 0 },}$

${ Displaystyle U = {(a, v) двоеточие | a | = 1, , | v | = 1, , a cdot v = 0 },}$

${ displaystyle E = {(a, e_ {1}, e_ {2}) двоеточие (e_ {1} times e_ {2}) cdot a = 1, , | a | = 1, , | e_ {i} | = 1, , a cdot e_ {i} = 0, , e_ {1} cdot e_ {2} = 0 }.}$

Отправка карты (а,v) к (а, v, а Икс v) позволяет U и E быть идентифицированным.

Позволять

${ Displaystyle Q (а) v = (v cdot a) а}$

- ортогональная проекция на вектор нормали в точке а, так что

${ Displaystyle P (а) = I-Q (а)}$

ортогональная проекция на касательное пространство в точке а.

Группа грамм = ТАК (3) действует путем вращения на E³ уход S² инвариантный. В подгруппа стабилизатора K вектора (1,0,0) в E₃ можно отождествить с ТАК (2) и поэтому

S² может быть отождествлен с SO (3) / SO (2).

Это действие распространяется на действие на Т, U и E делая грамм действовать на каждый компонент. грамм действует переходно на S² и просто транзитивно на U и E.

Действие SO (3) на E коммутирует с действием SO (2) на E который вращает кадры

${ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}) mapsto ( cos theta , e_ {1} - sin theta , e_ {2}, sin theta , e_ {1} + cos theta , e_ {2}).}$

Таким образом E становится главным расслоением со структурной группой K. Принимая грамм-орбита точки ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) пространство E можно отождествить с грамм. Под этим отождествлением действия грамм и K на E становятся левым и правым переводом. Другими словами:

Ориентированное ортонормированное расслоение реперов S² может быть отождествлен с SO (3).

В Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ SO (3) состоит из всех кососимметричный вещественные матрицы 3 x 3.^[43] то сопряженное действие из грамм спряжением на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ воспроизводит действие грамм на E³. Группа SU (2) имеет 3-мерную алгебру Ли, состоящую из комплексных косоэрмитский бесследный 2 x 2 матрицы, которая изоморфна ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Сопряженное действие SU (2) пропускается через его центр, матрицы ± я. При этих отождествлениях SU (2) отображается как двойная крышка SO (3), так что SO (3) = SU (2) / ± я.^[44] С другой стороны, SU (2) диффеоморфен 3-сфере, и при этом отождествлении стандартная риманова метрика на 3-сфере становится существенно единственной биинвариантной римановой метрикой на SU (2). Под частным по ± я, SO (3) можно отождествить с реальное проективное пространство размерности 3 и имеет существенно единственную биинвариантную риманову метрику. Геометрическое экспоненциальное отображение для этой метрики при я совпадает с обычной экспоненциальной функцией на матрицах и, следовательно, с геодезическими через я иметь вид exp Xt куда Икс является кососимметричной матрицей. В этом случае метрика Сасаки согласуется с этой биинвариантной метрикой на SO (3).^[45][46]

Действия грамм на себя, а значит и на C^∞(грамм) левым и правым сдвигом индуцируют бесконечно малые действия ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ на C^∞(грамм) по векторным полям

${ Displaystyle лямбда (Х) е (г) = {д над dt} е (е ^ {- Xt} г) | _ {т = 0}, , , rho (X) f (г) = {d over dt} f (ge ^ {Xt}) | _ {t = 0}.}$

Правое и левое инвариантные векторные поля связаны формулой

${ displaystyle lambda (X) f (g) = - rho (g ^ {- 1} Xg) f (g).}$

Векторные поля λ (Икс) и ρ (Икс) коммутируют с правым и левым сдвигом и дают все правые и левые инвариантные векторные поля на грамм. СC^∞(S²) = C^∞(грамм/K) можно отождествить с C^∞(грамм)^K, функция, инвариантная относительно правого сдвига на K, операторы λ (Икс) также индуцирует векторные поля Π (Икс) на S².

Позволять А, B, C быть стандартной основой ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ данный

${ displaystyle A = { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 - 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}, , , B = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 end { pmatrix}}, , , C = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 - 1 & 0 & 0 end {pmatrix}}.}$

Их Скобки лжи [Икс,Y] = XY – YX даны

${ Displaystyle [A, B] = C, , , [B, C] = A, , , [C, A] = B.}$

Векторные поля λ (А), λ (B), λ (C) образуют основу касательного пространства в каждой точке грамм.

Аналогично левоинвариантные векторные поля ρ (А), ρ (B), ρ (C) образуют основу касательного пространства в каждой точке грамм.Пусть α, β, γ - соответствующие двойная основа левоинвариантных 1-форм на грамм.^[47] Из соотношений скобок Ли следует Уравнения Маурера – Картана

${ displaystyle d alpha = beta wedge gamma, , , d beta = gamma wedge alpha, , , d gamma = alpha wedge beta.}$

Это также соответствующие компоненты Форма Маурера – Картана

${ displaystyle omega _ {G} = g ^ {- 1} dg,}$

левоинвариантная матричнозначная 1-форма на грамм, удовлетворяющая соотношению

${ displaystyle d omega _ {G} = - (g ^ {- 1} dg , g ^ {- 1}) dg = - omega _ {G} wedge omega _ {G}.}$

Внутренний продукт на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ определяется

${ Displaystyle (X, Y) = mathrm {Tr} , XY ^ {T}}$

инвариантна относительно присоединенного действия. Пусть π - ортогональная проекция на подпространство, порожденное А, т.е. на ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$, алгебра Ли K. За Икс в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, подъем векторного поля Π (Икс) из C^∞(грамм/K) в C^∞(грамм) задается формулой

${ Displaystyle Pi (X) ^ {*} f (g) = - rho ( pi (g ^ {- 1} Xg)) f (g)}$

Этот лифт грамм-эквивариантно на векторных полях вида (Икс) и имеет уникальное расширение на более общие векторные поля на грамм / K.

Левая инвариантная 1-форма α - это форма связности ω на грамм соответствующий этому лифту. Две другие 1-формы в структурных уравнениях Картана имеют вид θ₁ = β и θ₂ = γ. Сами структурные уравнения представляют собой просто уравнения Маурера – Картана. Другими словами;

Структурные уравнения Картана для SO (3) / SO (2) сводятся к уравнениям Маурера – Картана для левоинвариантных 1-форм на SO (3).

Поскольку α - форма связи,

• вертикальные векторные поля на грамм те в форме ж · Λ (А) с ж в C^∞(грамм);
• горизонтальные векторные поля на грамм те в форме ж₁ · Λ (B) + ж₂ · Λ (C) с ж_я в C^∞(грамм).

Существование базисных векторных полей λ (А), λ (B), λ (C) показывает, что SO (3) распараллеливаема. Это неверно для SO (3) / SO (2) по теорема о волосатом шарике: S² не допускает никаких исчезающих векторных полей.

Параллельная транспортировка в связке рам составляет подъем пути от SO (3) / SO (2) к SO (3). Это может быть выполнено путем непосредственного решения матричного обыкновенного дифференциального уравнения («уравнения переноса») вида грамм_т = А · грамм куда А(т) кососимметрична и грамм принимает значения в SO (3).^[48][49][50]

На самом деле это эквивалентно и удобнее поднимать путь от SO (3) / O (2) к SO (3). Обратите внимание, что O (2) является нормализатором SO (2) в SO (3) и фактор-группы O (2) / SO (2), так называемой Группа Вейля, - группа порядка 2, действующая на SO (3) / SO (2) = S² как антиподальная карта. Фактор SO (3) / O (2) - это реальная проективная плоскость. Его можно отождествить с пространством проекций первого или второго ранга. Q в M₃(р). Принимая Q быть проекцией 2-го ранга и установкой F = 2Q − я, модель поверхности SO (3) / O (2) задается матрицами F удовлетворение F² = я, F = F^Т и Тр F = 1. Принимая F₀= diag (–1,1,1) в качестве базовой точки, каждые F можно записать в виде грамм F₀ грамм⁻¹.

Дан путь F(т) обыкновенное дифференциальное уравнение ${ displaystyle g_ {t} g ^ {- 1} = F_ {t} F / 2}$, с начальным условием ${ displaystyle g (0) = I}$, имеет единственный C¹ решение грамм(т) со значениями в грамм, доставляя подъем параллельным транспортом F.

Если Q(т) - соответствующий путь проекций ранга 2, условия параллельного переноса

${ displaystyle Q = gQ_ {0} g ^ {- 1}, , , Q_ {0} g ^ {- 1} { dot {g}} Q_ {0} = 0}$

Набор А = ½F_т F. С F² = я и F симметрично, А кососимметричен и удовлетворяетQAQ = 0.

Уникальное решение грамм(т) обыкновенного дифференциального уравнения

${ displaystyle { dot {g}} = Ag ,}$

с начальным условием грамм(0) = я гарантировано Теорема Пикара – Линделёфа, должны быть грамм^Тграмм постоянный и поэтому я, поскольку

${ displaystyle {d over dt} (g ^ {T} g) = { dot {g}} ^ {T} g + g ^ {T} { dot {g}} = g ^ {T} ( A ^ {T} + A) g = 0.}$

Более того,

${ Displaystyle F (т) = г (т) F (0) г (т) ^ {- 1} ,}$

поскольку грамм⁻¹Fg имеет производную 0:

${ displaystyle {d over dt} (g ^ {- 1} Fg) = - g ^ {- 1} { dot {g}} g ^ {- 1} Fg + g ^ {- 1} { dot {F}} g + g ^ {- 1} F { dot {g}} = g ^ {- 1} (- { dot {g}} g ^ {- 1} F + { dot {F}} + F { dot {g}} g ^ {- 1}) g = 0.}$

Следовательно Q = грамм Q₀ грамм⁻¹. Условие QAQ = 0 подразумевает Q грамм_т грамм⁻¹ Q = 0 и, следовательно, Q₀ грамм⁻¹ грамм_т Q₀ =0.^[51]

Есть еще одно кинематический способ понимания параллельного переноса и геодезической кривизны в терминах «качения без скольжения или скручивания». Хотя он хорошо известен дифференциальным геометрам с начала двадцатого века, он также применялся к задачам инженерное дело и робототехника.^[52] Рассмотрим 2-сферу как твердое тело в трехмерном пространстве, катящееся без скольжения или скручивания по горизонтальной плоскости. Точка контакта будет описывать кривую на плоскости и на поверхности. В каждой точке контакта различные касательные плоскости сферы можно отождествить с самой горизонтальной плоскостью и, следовательно, друг с другом.

• Обычный кривизна плоской кривой - это геодезическая кривизна кривой, начерченной на сфере.
• Такое обозначение касательных плоскостей вдоль кривой соответствует параллельному переносу.

Это особенно легко визуализировать для сферы: именно так мрамор можно катать по идеально плоской столешнице.

Роли плоскости и сферы можно поменять местами, чтобы получить альтернативную, но эквивалентную точку зрения. Сфера считается неподвижной, и плоскость должна катиться без скольжения или скручивания по заданной кривой на сфере.^[53]

Вложенные поверхности

Когда поверхность M встроен в E³, карту Гаусса из M ${ displaystyle rightarrow}$ S² распространяется на SO (2) -эквивариантное отображение между пучками ортонормированных фреймов E ${ displaystyle rightarrow}$ ТАК (3). Действительно, триада, состоящая из касательного репера и вектора нормали, дает элемент SO (3).

В 1956 году Кобаяши доказал, что:^[54]

При расширенном отображении Гаусса связность на SO (3) индуцирует связность на E.

Это означает, что формы ω, θ₁ и θ₂ на E получаются оттягиванием тех на SO (3); и что подъемные пути от M к E может быть достигнуто путем сопоставления пути с 2-сферой, подъема пути к SO (3) и последующего оттягивания подъемника к E. Таким образом, для вложенных поверхностей 2-сфера с основным соединением на ее связке каркасов обеспечивает «универсальную модель», прототип универсальных связок, обсуждаемых в Нарасимхан и Раманан (1965) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFNarasimhanRamanan1965 (помощь).

Говоря более конкретно, это позволяет явно описывать параллельный перенос с помощью уравнения переноса. Параллельный транспорт по кривой c(т), с т принимает значения в [0,1], начиная с касательной к касательному вектору v₀ также сводится к поиску карты v(т) от [0,1] до р³ такой, что

• v(т) - касательный вектор к M в c(т) с v(0) = v₀.
• то вектор скорости ${ Displaystyle { точка {v}} (т)}$ нормально к поверхности на c(т), т.е. п(c(т))v(т)=0.

У этого всегда есть уникальное решение, называемое параллельная транспортировка v₀ вдоль c.

Существование параллельного переноса можно вывести с помощью аналитического метода, описанного для SO (3) / SO (2), который от пути к проекциям второго рангаQ(т) начинается с Q₀ проложил путь грамм(т) в SO (3), начиная с я такой, что

${ displaystyle Q = gQ_ {0} g ^ {- 1}, , , , Q_ {0} g ^ {- 1} { dot {g}} Q_ {0} = 0.}$

грамм(т) - единственное решение уравнения переноса

граммтграмм−1 = ½ Fт F

с грамм(0) = я и F = 2Q - I. Применяя это с Q(т) = п(c(т)) следует, что для касательного вектора v₀ в касательном пространстве к M в c(0) вектор v(т)=грамм(т)v₀ лежит в касательном пространстве к M в c(т) и удовлетворяет уравнению

${ Displaystyle P (c (t)) { dot {v}} (t) = 0.}$

Следовательно, это именно параллельный перенос v по кривой c.^[49] В этом случае длина вектора v(т) постоянна. В более общем случае, если другой начальный касательный вектор ты₀ берется вместо v₀, внутренний продукт (v(т),ты(т)) постоянна. Касательные пространства вдоль кривой c(т), таким образом, канонически идентифицируются как внутренние пространства продукта при параллельном переносе, так что параллельный перенос дает изометрию между касательными плоскостями. Условие на вектор скорости ${ Displaystyle { точка {v}} (т)}$можно переписать в терминах ковариантной производной как^[16][55]

${ Displaystyle набла _ { точка {с}} v = 0}$

определяющее уравнение для параллельной транспортировки.

В кинематический способ понимания параллельного переноса сферы одинаково хорошо применим к любой замкнутой поверхности в E³ рассматривается как твердое тело в трехмерном пространстве, катящемся без скольжения и скручивания по горизонтальной плоскости.Точка контакта будет описывать кривую на плоскости и на поверхности. Что касается шара, то обычный кривизна плоской кривой равна геодезической кривизне кривой, начерченной на поверхности.

Этот геометрический способ рассмотрения параллельного транспорта также может быть напрямую выражен на языке геометрии.^[56] В конверт касательных плоскостей к M по кривой c поверхность с исчезающей гауссовой кривизной, которая по теореме Миндинга должна быть локально изометричной евклидовой плоскости. Эта идентификация позволяет определить параллельный перенос, потому что в евклидовой плоскости все касательные плоскости отождествляются с самим пространством.

Существует еще один простой способ построения формы связности ω, используя вложение M в E³.^[57]

Касательные векторы е₁ и е₂ кадра на M определить гладкие функции из E со значениями в р³, поэтому каждый дает 3-вектор функций и, в частности, де₁ является 3-вектором 1-форм на E.

Форма подключения задается

${ displaystyle omega = de_ {1} cdot e_ {2}}$

взяв обычное скалярное произведение на 3-векторы.

Уравнения Гаусса – Кодацци

Когда M встроен в E³две другие 1-формы ψ и χ могут быть определены на расслоении реперов E с помощью оператора формы.^[58][59][60] Действительно, отображение Гаусса индуцирует K-эквивариантное отображение E в SO (3) расслоение фреймов S² = SO (3) / SO (2). Форма ω - это откат одного из трех правых инвариантов Формы Маурера – Картана на SO (3). 1-формы ψ и χ определяются как обратные вызовы двух других.

Эти 1-формы удовлетворяют следующим структурным уравнениям:

${ Displaystyle пси клин тета _ {1} + чи клин тета _ {2} = 0}$

(уравнение симметрии)

${ Displaystyle д омега = пси клин чи}$

(Уравнение Гаусса)

${ displaystyle d psi = chi wedge omega, , , d chi = omega wedge psi}$

(Уравнения Кодацци)

В Уравнения Гаусса – Кодацци для χ, ψ и ω немедленно следуют из уравнений Маурера – Картана для трех правоинвариантных 1-форм на SO (3).

Руководство по чтению

Один из наиболее полных вводных обзоров предмета, описывающий историческое развитие от Гаусса до наших дней, сделан Бергер (2004). Лечение на уровне магистратуры Риманова связь можно найти в Певица и Торп (1967), ду Карму (1976) и О'Нил (1997). Доступное введение в подход Картана к связям с использованием движущихся рамок можно найти в Айви и Ландсберг (2003) и Шарп (1997). Классическую обработку соединений можно найти в Кобаяси и Номидзу (1963).

Смотрите также

• Дифференциальная геометрия поверхностей

Примечания

Рекомендации

• Адамс, Дж. Франк (1983), Лекции о группах Ли, Издательство Чикагского университета, ISBN  0226005305
• Александров, А.; Залгаллер, В.А. (1967), Внутренняя геометрия поверхностей, Переводы математических монографий, 15, Американское математическое общество
• Арнольд, В. (1989), Математические методы классической механики, Springer-Verlag, ISBN  0-387-96890-3
• Бергер, Марсель (2004), Панорамный вид римановой геометрии, Springer-Verlag, ISBN  3-540-65317-1
• Картан, Эли (1983), Геометрия римановых пространств, Math Sci Press, ISBN  978-0-915692-34-7; переведено со 2-го издания Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (1951) Джеймса Глейзбрука.
• Картан, Эли (2001), Риманова геометрия в ортогональной системе отсчета (из лекций Э. Картана в Сорбонне в 1926–27), World Scientific, ISBN  9810247478, перевод с русского В. В. Гольдберга с предисловием С. С. Черн.
• Шоке-Брюа, Ивонн; Девитт-Моретт, Сесиль; Диллард-Блейк, Маргарет (1982), Анализ, многообразия и физика. Часть I. Основы, Северная Голландия, ISBN  0-444-82647-5
• Дарбу, Гастон (1890), Leçons sur la théorie générale des поверхностей, Готье-Виллар Том I, Том II, Том III, Том IV
• ду Карму, Манфреду П. (1976), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей., Прентис-Холл, ISBN  0-13-212589-7
• ду Карму, Манфредо П. (1992), Риманова геометрия, Биркхойзер, ISBN  0-8176-3490-8
• Драйвер, Брюс К. (1995), Букварь по римановой геометрии и стохастическому анализу пространств путей (PDF), Лекции, прочитанные в E.T.H., Цюрих
• Эйзенхарт, Лютер П. (2004), Трактат о дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, Дувр, ISBN  0486438201 Полный текст 1909 года (теперь без авторских прав)
• Эйзенхарт, Лютер П. (1947), Введение в дифференциальную геометрию с использованием тензорного исчисления, Принстонская математическая серия, 3, Princeton University Press
• Эйлер, Леонард (1760), "Исследования по курбюру поверхностей", Mémoires de l'académie des Sciences de Berlin (опубликовано в 1767 г.), 16: 119–143.
• Эйлер, Леонард (1771), "De solidis quorum superficiem in planum explicare licet", Новые комментарии Academiae Scientiarum Petropolitanae, 16: 3–34.
• Гаусс, Карл Фридрих (1827), Общие исследования криволинейных поверхностей, Нью-Йорк: Raven Press (опубликовано в 1965 г.) перевод А. М. Хильтебайтеля и Дж. К. Морхеда; "Disquisitiones generales около superficies curvas", Комментарии Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), стр. 99–146.
• Грей, Альфред; Аббена, Эльза; Саламон, Саймон (2006), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica, CRC Press, ISBN  1584884487
• Хан, Цин; Хун, Цзя-Син (2006), Изометрические вложения римановых многообразий в евклидовы пространства, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-4071-1
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства, Academic Press, ISBN  0-12-338460-5
• Гильберт, Дэвид; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN  978-0-8284-1087-8.
• Ivey, Thomas A .; Ландсберг, Дж. М. (2003), Картан для начинающих: дифференциальная геометрия с помощью подвижных рам и внешних систем, Аспирантура по математике, 61, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-3375-8
• Якобовиц, Говард (1972), «Локальные изометрические вложения поверхностей в четырехмерное евклидово пространство», Indiana Univ. Математика. Дж., 21 (3): 249–254, Дои:10.1512 / iumj.1971.21.21019
• Клингенберг, Вильгельм; Сасаки, Шигео (1975), "О касательном расслоении сфер двумерной сферы", Математический журнал Тохоку, 27 (1): 49–56, Дои:10.2748 / tmj / 1178241033
• Клингенберг, Вильгельм (1982), Риманова геометрия, де Грюйтер изучает математику, 1, де Грюйтер, ISBN  3-11-008673-5
• Кобаяси, Шочичи (1956), "Индуцированные связи и вложенное риманово пространство", Nagoya Math. Дж., 10: 15–25, Дои:10.1017 / S0027763000000052
• Кобаяси, Сочичи (1957), «Теория связей», Annali di Matematica Pura ed Applicata, Серия 4, 43 (1): 119–194, Дои:10.1007 / BF02411907,
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1963), Основы дифференциальной геометрии. я, Wiley Interscience, ISBN  0470496487
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1969), Основы дифференциальной геометрии. II, Wiley Interscience, ISBN  0470496487
• Крейсциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия, Дувр, ISBN  0486667219
• Леви-Чивита, Туллио (1917), "Nozione di parallelismo in una varietà qualunque", Ренд. Circ. Мат. Палермо, 42 (1): 173–205, Дои:10.1007 / BF03014898
• Милнор, Джон В. (1963), Теория Морса, Анналы математических исследований, 51, Издательство Принстонского университета, ISBN  0691080089
• Нарасимхан, М.; Раманан, С. (1961), "Существование универсальных связей", Амер. J. Math., Издательство Университета Джона Хопкинса, 83 (3): 563–572, Дои:10.2307/2372896, HDL:10338.dmlcz / 700905, JSTOR  2372896
• Нарасимхан, М.; Рамадас, Т. Р. (1979), "Геометрия калибровочных полей SU (2)", Comm. Математика. Phys., 67 (2): 121–136, Дои:10.1007 / BF01221361
• Нельсон, Эдвард (1969), Темы в динамике - I: Потоки, Математические заметки, Princeton University Press
• О'Нил, Барретт (1997), Элементарная дифференциальная геометрия, Academic Press, ISBN  0-12-526745-2
• Петерсен, Питер (2016), Риманова геометрия, Тексты для выпускников по математике, 171 (3-е изд.), Springer, ISBN  9783319266541
• Позняк, Э. (1973), "Изометрическое вложение двумерных римановых метрик в евклидовы пространства", Русская математика. Обзоры, 28 (4): 47–77, Дои:10.1070 / RM1973v028n04ABEH001591
• Прессли, Эндрю (2001), Элементарная дифференциальная геометрия, Серия Springer по математике для студентов, Springer-Verlag, ISBN  1-85233-152-6
• Сасаки, Шигео (1958), "О дифференциальной геометрии касательных расслоений римановых многообразий", Математический журнал Тохоку, 10 (3): 338–354, Дои:10.2748 / tmj / 1178244668
• Шарп, Ричард В. (1997), Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна, Springer-Verlag, ISBN  0387947329
• Певец, Исадор М.; Торп, Джон А. (1967), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90202-3
• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии, Прентис-Холл
• Струик, Дирк Ян (1988), Лекции по классической дифференциальной геометрии: второе издание, Дувр, ISBN  0486656098
• Топоногов, Виктор Александрович (2005), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: краткое руководство, Springer-Verlag, ISBN  0817643842
• Валирон, Жорж (1986), Классическая дифференциальная геометрия кривых и поверхностей., Math Sci Press, ISBN  0915692392 Полный текст книги
• Варадараджан, В. С. (1984), Группы Ли, алгебры Ли и их представления, Springer-Verlag, ISBN  0387909699
• Уилсон, Пелхэм (2008), Искривленное пространство: от классической геометрии к элементарной дифференциальной геометрии, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-71390-0

внешняя ссылка

• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Часть I (PDF), Пенсильванский университет
• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Часть II. (PDF), Пенсильванский университет
• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Часть III. (PDF), Пенсильванский университет
• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Часть IV. (PDF), Пенсильванский университет
• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Часть V (PDF), Пенсильванский университет
• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, части VI и VII (PDF), Пенсильванский университет
• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Часть VIII, Пенсильванский университет