Неголономная система - Nonholonomic system

А неголономная система в физика и математика это физическая система состояние которого зависит от пути, выбранного для его достижения. Такая система описывается набором параметры при условии дифференциальные ограничения, так что когда система развивается по пути в своем пространство параметров (параметры постоянно меняются по значениям), но, наконец, возвращается к исходному набору значений параметров в начале пути, сама система может не вернуться в исходное состояние.

Подробности

Точнее, неголономная система, также называемая анголономный Система - это система, в которой существует непрерывный замкнутый контур управляющих параметров, с помощью которого система может быть преобразована из любого заданного состояния в любое другое состояние.^[1] Поскольку конечное состояние системы зависит от промежуточных значений ее траектории через пространство параметров, система не может быть представлена консервативным потенциальная функция как, например, закон обратных квадратов силы тяжести. Последний является примером голономной системы: интегралы по траекториям в системе зависят только от начального и конечного состояний системы (положений в потенциале), полностью независимо от траектории перехода между этими состояниями. Поэтому говорят, что система интегрируемый, а неголономная система называется неинтегрируемый. Когда интеграл по путям вычисляется в неголономной системе, значение представляет собой отклонение в пределах некоторого диапазона допустимых значений, и это отклонение называется отклонением. анголономия производятся конкретным рассматриваемым путем. Этот термин был введен Генрих Герц в 1894 г.^[2]

Общий характер анголономных систем - это неявно зависимые параметры. Если неявную зависимость можно удалить, например, увеличив размерность пространства, тем самым добавив хотя бы один дополнительный параметр, система не является действительно неголономной, а просто не полностью моделируется пространством меньшей размерности. Напротив, если система по своей сути не может быть представлена независимыми координатами (параметрами), то это действительно анголономная система. Некоторые авторы^{[нужна цитата ]} сделать это во многом, создав различие между так называемыми внутренними и внешними состояниями системы, но на самом деле все параметры необходимы для характеристики системы, независимо от того, являются ли они репрезентативными для «внутренних» или «внешних» процессов, поэтому различие заключается в по сути искусственный. Однако существует очень реальная и непримиримая разница между физическими системами, которые подчиняются принципам сохранения, и теми, которые не подчиняются. В случае параллельный транспорт на сфере различие очевидно: Риманово многообразие имеет метрика принципиально отличается от Евклидово пространство. Для параллельного транспорта на сфере неявная зависимость присуща неевклидовой метрике. Поверхность сферы - это двумерное пространство. Увеличивая размерность, мы можем более четко увидеть^{[требуется разъяснение ]} природы метрики, но по сути это все же двумерное пространство с параметрами, которые безвозвратно связаны в зависимости от Риманова метрика.

Напротив, можно рассматривать X-Y плоттер как пример голономный система, в которой состояние механических компонентов системы будет иметь единую фиксированную конфигурацию для любого заданного положения пера плоттера. Если перо перемещается между положениями 0,0 и 3,3, шестерни механизма будут иметь одинаковые конечные положения независимо от того, происходит ли перемещение механизмом, сначала увеличивающимся на 3 единицы по оси x, а затем на 3 единицы по оси y. , сначала увеличивая положение оси Y, или выполняя любую другую последовательность изменений положения, которая приводит к конечному положению 3,3. Поскольку конечное состояние машины одинаково независимо от пути, пройденного пером плоттера, чтобы добраться до нового положения, конечный результат можно сказать, что это не так. зависимый от пути. Если мы подставим черепаха плоттера, процесс перемещения пера от 0,0 до 3,3 может привести к тому, что шестерни механизма робота закончатся в разных положениях в зависимости от пути, выбранного для перемещения между двумя положениями.

История

Н. М. Феррерс впервые предложил расширить уравнения движения с неголономными связями в 1871 г.^[3]Он ввел выражения для декартовых скоростей в терминах обобщенных скоростей. В 1877 г. Э. Раус написал уравнения с множителями Лагранжа. В третьем издании его книги^[4] для линейных неголономных связей твердых тел он ввел форму с множителями, которая теперь называется уравнениями Лагранжа второго рода с множителями. Термины голономные и неголономные системы были введены Генрихом Герцем в 1894 году.^[5]В 1897 г. С. А. Чаплыгин впервые предложил составлять уравнения движения без множителей Лагранжа.^[6]При определенных линейных ограничениях он ввел в левую часть уравнений движения группу дополнительных членов типа оператора Лагранжа. Остальные лишние члены характеризуют неголономность системы и обращаются в ноль, когда данные связи интегрируемы. В 1901 г. П.В. Воронец обобщил работу Чаплыгина на случаи нециклических голономных координат и нестационарных связей.^[7]

Ограничения

Рассмотрим систему ${ displaystyle N}$ частицы с позициями ${ Displaystyle mathbf {r} _ {я}}$ за ${ Displaystyle я в {1, ldots, N }}$ относительно данной системы отсчета. В классической механике любое ограничение, не выражаемое как

{ Displaystyle е ( mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, mathbf {r} _ {3}, ldots, t) = 0,}

не-голономная связь. Другими словами, неголономная связь неинтегрируема.^[8]^:261 и имеет вид

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {s, i} , dq_ {i} + a_ {s, t} , dt = 0 ~~~~ (s = 1,2, ldots, k)}

{ displaystyle n}

- количество координат.

{ displaystyle k}

- количество уравнений связи.

{ displaystyle q_ {i}}

координаты.

{ displaystyle a_ {s, i}}

являются коэффициентами.

Чтобы указанная выше форма была неголономной, необходимо также, чтобы левая часть не была полный дифференциал и не могут быть преобразованы в один, возможно, через интегрирующий фактор.^[9]^:2–3

За виртуальные смещения только дифференциальная форма ограничения^[8]^:282

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {s, i} delta q_ {i} = 0 ~~~~ (s = 1,2, ldots, k).}

Необязательно, чтобы все неголономные ограничения принимали эту форму, на самом деле она может включать высшие производные или неравенства.^[10] Классический пример ограничения неравенства - это частицы, помещенные на поверхность сферы:

{ displaystyle r ^ {2} -a ^ {2} geq 0.}

{ displaystyle r}

это расстояние частицы от центра сферы.

{ displaystyle a}

- радиус сферы.

Примеры

Катящееся колесо

Рассмотрим колесо велосипеда, которое припарковано в определенном месте (на земле). Первоначально надувной клапан находится на одной позиции. Если на велосипеде ездили, а затем припарковали точно в том же месте клапан почти наверняка не будет в том же положении, что и раньше, и его новое положение зависит от пройденного пути.

Катящаяся сфера

Этот пример является расширением рассмотренной выше проблемы «катящегося колеса» с более математической трактовкой.

Рассмотрим трехмерную ортогональную декартову систему координат, например, столешницу уровня с точкой, отмеченной на ней в качестве начала координат, и Икс и у оси разложены карандашными линиями. Возьмите сферу единичного радиуса, например, мяч для пинг-понга, и отметьте одну точку B в синем. Этой точке соответствует диаметр сферы, а плоскость, ортогональная этому диаметру, расположена в центре. C сферы определяет большой круг, называемый экватором, связанный с точкой B. На этом экваторе выберите другую точку р и отметьте его красным. Поместите сферу на z = 0 такая, что точка B совпадает с началом координат, C находится в Икс = 0, у = 0, z = 1 и р находится в Икс = 1, у = 0 и z = 1, т.е. р простирается в сторону положительного Икс ось. Это начальная или справочная ориентация сферы.

Теперь сферу можно катить по любому непрерывному замкнутому пути в z = 0 плоскости, не обязательно односвязной, так что она не скользит и не скручивается, так что C возвращается к Икс = 0, у = 0, z = 1. В общем случае точка B больше не совпадает с началом координат, и точка р больше не распространяется на положительные Икс ось. Фактически, путем выбора подходящей траектории сфера может быть переориентирована с начальной ориентации на любую возможную ориентацию сферы с C расположен в Икс = 0, у = 0, z = 1.^[11] Следовательно, система неголономна. Анголономия может быть представлена дважды уникальным кватернион (q и -q), который в применении к точкам, представляющим сферу, несет точки B и р на свои новые должности.

Маятник Фуко

Классическим примером неголономной системы является Маятник Фуко. В локальной системе координат маятник качается в вертикальной плоскости с определенной ориентацией по отношению к географическому северу в начале пути. Неявная траектория системы - это линия широты на Земле, на которой расположен маятник. Несмотря на то, что маятник неподвижен в системе отсчета Земли, он движется в системе отсчета относительно Солнца и вращается синхронно со скоростью вращения Земли, так что единственное видимое движение плоскости маятника - это движение, вызванное вращением Земной шар. Эта последняя система координат считается инерциальной системой отсчета, хотя она также является неинерциальной в более тонких отношениях. Хорошо известно, что земная система не инерциальна, и этот факт становится очевидным благодаря очевидному присутствию центробежные силы и Кориолис силы.

Движение вдоль линии широты параметризуется течением времени, и плоскость колебаний маятника Фуко, кажется, вращается вокруг местной вертикальной оси с течением времени. Угол поворота этой плоскости за один раз т относительно исходной ориентации - анголономия системы. Анголономия, вызванная полным кругом широты, пропорциональна телесный угол подчиненный этим кругом широты. Путь не обязательно должен быть ограничен кругами широты. Например, маятник может быть установлен в самолете. Анголономия по-прежнему пропорциональна телесному углу, образуемому траекторией, которая теперь может быть совершенно нерегулярной. Маятник Фуко - физический пример параллельный транспорт.

Линейно поляризованный свет в оптическом волокне

Возьмите оптическое волокно, скажем, три метра, и проложите его по абсолютно прямой линии. Когда вертикально поляризованный луч вводится с одного конца, он выходит с другого конца, все еще поляризованный в вертикальном направлении. Отметьте верх волокна полосой, соответствующей ориентации вертикальной поляризации.

Теперь плотно намотайте волокно на цилиндр диаметром десять сантиметров. Теперь путь волокна описывает спираль который, как и круг, имеет постоянную кривизна. Спираль также обладает интересным свойством постоянного кручение. Таким образом, результатом является постепенное вращение волокна вокруг оси волокна по мере того, как его центральная линия продвигается вдоль спирали. Соответственно полоса также закручивается вокруг оси спирали.

Когда линейно поляризованный свет снова вводится на одном конце с ориентацией поляризации, совпадающей с полосой, он, как правило, появляется как линейно поляризованный свет, выровненный не с полосой, а под некоторым фиксированным углом к полосе, в зависимости от длина волокна, шаг и радиус спирали. Эта система также неголономна, так как мы можем легко свернуть волокно в виде второй спирали и выровнять концы, возвращая свет в исходную точку. Следовательно, анголономия выражается отклонением угла поляризации с каждым контуром волокна. При соответствующей настройке параметров становится ясно, что может быть получено любое возможное угловое состояние.

Робототехника

В робототехника, неголономность особенно изучалась в рамках планирование движения и линеаризация обратной связи за мобильные роботы.^[12] Ссылаться на голономная робототехника для более подробного описания.