Линеаризация обратной связи - Feedback linearization

Блок-схема, иллюстрирующая линеаризацию обратной связи нелинейной системы

Линеаризация обратной связи это общий подход, используемый для управления нелинейные системы. Подход включает в себя преобразование нелинейной системы в эквивалентную линейную систему путем замены переменных и подходящего управляющего входа. Линеаризация обратной связи может быть применена к нелинейным системам вида

{ Displaystyle { begin {align} { dot {x}} & = f (x) + g (x) u qquad & (1) y & = h (x) qquad qquad qquad & ( 2) end {align}}}

куда ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$ - вектор состояния, ${ Displaystyle и в mathbb {R} ^ {p}}$ - вектор входов, а ${ Displaystyle у в mathbb {R} ^ {m}}$ - вектор выходов. Цель - разработать управляющий вход

{ Displaystyle и = а (х) + Ь (х) v ,}

который отображает линейную карту ввода-вывода между новыми вводными ${ displaystyle v}$ и выход. Затем может быть применена стратегия управления внешним контуром для полученной линейной системы управления.

Обратная линеаризация систем SISO

Здесь рассмотрим случай линеаризации обратной связи системы с одним входом и одним выходом (SISO). Подобные результаты могут быть распространены на системы с множеством входов и множеством выходов (MIMO). В этом случае, ${ Displaystyle и в mathbb {R}}$ и ${ Displaystyle у в mathbb {R}}$ . Задача - найти преобразование координат ${ Displaystyle г = Т (х)}$ что переводит систему (1) в так называемую нормальная форма который покажет закон обратной связи вида

{ Displaystyle и = а (х) + Ь (х) v ,}

который будет отображать линейную карту ввода-вывода из нового ввода ${ displaystyle v in mathbb {R}}$ к выходу ${ displaystyle y}$ . Чтобы преобразованная система была эквивалентным представлением исходной системы, преобразование должно быть диффеоморфизм. То есть преобразование должно быть не только обратимым (т. Е. Биективным), но и преобразование, и его обратное должны быть гладкий так что дифференцируемость в исходной системе координат сохраняется в новой системе координат. На практике преобразование может быть только локально диффеоморфным, и результаты линеаризации справедливы только в этой меньшей области.

Для решения этой проблемы требуется несколько инструментов.

Производная Ли

Целью линеаризации обратной связи является создание преобразованной системы, состояния которой являются выходными ${ displaystyle y}$ и его первый ${ Displaystyle (п-1)}$ производные. Чтобы понять структуру этой целевой системы, мы используем Производная Ли. Рассмотрим производную по времени от (2), которую можно вычислить с помощью Правило цепи,

{ displaystyle { begin {align} { dot {y}} = { frac { mathrm {d} h (x)} { mathrm {d} t}} & = { frac { mathrm {d } h (x)} { mathrm {d} x}} { dot {x}} & = { frac { mathrm {d} h (x)} { mathrm {d} x}} f (x) + { frac { mathrm {d} h (x)} { mathrm {d} x}} g (x) u end {выровнено}}}

Теперь мы можем определить производную Ли от ${ Displaystyle ч (х)}$ вдоль ${ displaystyle f (x)}$ в качестве,

{ Displaystyle L_ {е} час (х) = { гидроразрыва { mathrm {d} час (х)} { mathrm {d} x}} е (х),}

и аналогично производная Ли от ${ Displaystyle ч (х)}$ вдоль ${ displaystyle g (x)}$ в качестве,

{ displaystyle L_ {g} h (x) = { frac { mathrm {d} h (x)} { mathrm {d} x}} g (x).}

Используя эти новые обозначения, мы можем выразить ${ displaystyle { dot {y}}}$ в качестве,

{ displaystyle { dot {y}} = L_ {f} h (x) + L_ {g} h (x) u}

Обратите внимание, что обозначение производных Ли удобно, когда мы берем множественные производные либо по одному и тому же векторному полю, либо по другому. Например,

{ Displaystyle L_ {f} ^ {2} h (x) = L_ {f} L_ {f} h (x) = { frac { mathrm {d} (L_ {f} h (x))} { mathrm {d} x}} f (x),}

и

{ displaystyle L_ {g} L_ {f} h (x) = { frac { mathrm {d} (L_ {f} h (x))} { mathrm {d} x}} g (x). }

Относительная степень

В нашей линеаризованной системе обратной связи, состоящей из вектора состояния выхода ${ displaystyle y}$ и его первый ${ Displaystyle (п-1)}$ производные, мы должны понимать, как вход ${ displaystyle u}$ входит в систему. Для этого введем понятие относительной степени. Наша система (1) и (2) называется относительной степенью ${ Displaystyle г в mathbb {W}}$ в какой-то момент ${ displaystyle x_ {0}}$ если,

{ Displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {k} час (x) = 0 qquad forall x}

в район из

{ displaystyle x_ {0}}

и все

{ Displaystyle к leq r-2}

{ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {r-1} h (x_ {0}) neq 0}

Учитывая это определение относительной степени в свете выражения производной по времени выходных данных ${ displaystyle y}$ , мы можем рассматривать относительную степень нашей системы (1) и (2) как количество раз, которое мы должны дифференцировать выход ${ displaystyle y}$ перед вводом ${ displaystyle u}$ появляется явно. В Система LTI, относительная степень - это разница между степенью полинома знаменателя передаточной функции (т. е. числом полюса ) и степень полинома числителя (т. е. количество нули ).

Линеаризация по обратной связи

Для дальнейшего обсуждения мы будем предполагать, что относительная степень системы равна ${ displaystyle n}$ . В этом случае после дифференцирования вывода ${ displaystyle n}$ раз у нас есть,

{ Displaystyle { begin {align} y & = h (x) { dot {y}} & = L_ {f} h (x) { ddot {y}} & = L_ {f} ^ {2} h (x) & vdots y ^ {(n-1)} & = L_ {f} ^ {n-1} h (x) y ^ {(n)} & = L_ {f} ^ {n} h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u end {выровнено}}}

где обозначение ${ Displaystyle у ^ {(п)}}$ указывает на ${ displaystyle n}$ -я производная от ${ displaystyle y}$ . Поскольку мы предположили, что относительная степень системы равна ${ displaystyle n}$ , производные Ли вида ${ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {i} h (x)}$ за ${ Displaystyle я = 1, точки, п-2}$ все равны нулю. То есть вход ${ displaystyle u}$ не имеет прямого вклада ни в один из первых ${ Displaystyle (п-1)}$ th производные.

Преобразование координат ${ Displaystyle Т (х)}$ который приводит систему в нормальный вид, исходит из первого ${ Displaystyle (п-1)}$ производные. Особенно,

{ displaystyle z = T (x) = { begin {bmatrix} z_ {1} (x) z_ {2} (x) vdots z_ {n} (x) end {bmatrix} } = { begin {bmatrix} y { dot {y}} vdots y ^ {(n-1)} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} h (x) L_ {f} h (x) vdots L_ {f} ^ {n-1} h (x) end {bmatrix}}}

преобразует траектории из исходной ${ displaystyle x}$ систему координат в новую ${ displaystyle z}$ система координат. Пока это преобразование диффеоморфизм, гладкие траектории в исходной системе координат будут иметь уникальные аналоги в ${ displaystyle z}$ системы координат, которые также гладкие. Те ${ displaystyle z}$ траектории будут описаны новой системой,

{ displaystyle { begin {cases} { dot {z}} _ {1} & = L_ {f} h (x) = z_ {2} (x) { dot {z}} _ {2 } & = L_ {f} ^ {2} h (x) = z_ {3} (x) & vdots { dot {z}} _ {n} & = L_ {f} ^ {n } h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u end {cases}}.}.}

Следовательно, закон управления с обратной связью

{ displaystyle u = { frac {1} {L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x)}} (- L_ {f} ^ {n} h (x) + v)}

отображает линейную карту ввода-вывода из ${ displaystyle v}$ к ${ displaystyle z_ {1} = y}$ . Полученная линеаризованная система

{ displaystyle { begin {case} { dot {z}} _ {1} & = z_ {2} { dot {z}} _ {2} & = z_ {3} & vdots { dot {z}} _ {n} & = v end {case}}}

каскад ${ displaystyle n}$ интеграторы и управление внешним контуром ${ displaystyle v}$ могут быть выбраны с использованием стандартной методологии линейных систем. В частности, закон управления с обратной связью по состоянию

{ displaystyle v = -Kz qquad,}

где вектор состояния ${ displaystyle z}$ это выход ${ displaystyle y}$ и его первый ${ Displaystyle (п-1)}$ производные, приводит к Система LTI

{ displaystyle { dot {z}} = Az}

с,

{ displaystyle A = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & ldots & 0 0 & 0 & 1 & ldots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & ldots & 1 - k_ {1} & -k_ {2} & - k_ {3} & ldots & -k_ {n} end {bmatrix}}.}

Итак, при соответствующем выборе ${ displaystyle k}$ , мы можем произвольно разместить замкнутые полюса линеаризованной системы.

Нестабильная нулевая динамика

Линеаризация обратной связи может быть достигнута с системами, относительная степень которых меньше ${ displaystyle n}$ . Однако нормальная форма системы будет включать нулевая динамика (т.е. состояния, которые не наблюдаемый с выхода системы), что может быть нестабильным. На практике нестабильная динамика может иметь пагубные последствия для системы (например, для внутренних состояний системы может быть опасно расти неограниченное количество раз). Эти ненаблюдаемые состояния могут быть управляемыми или, по крайней мере, стабильными, и поэтому могут быть приняты меры для обеспечения того, чтобы эти состояния не вызывали проблем на практике. Минимальная фаза системы дают некоторое представление о нулевой динамике.

Смотрите также

Нелинейное управление

дальнейшее чтение

А. Исидори, Нелинейные системы управления, третье издание, Springer Verlag, Лондон, 1995.
Х. К. Халил, Нелинейные системы, третье издание, Prentice Hall, Upper Saddle River, Нью-Джерси, 2002.
М. Видьясагар, Нелинейный системный анализ второе издание, Prentice Hall, Englewood Cliffs, Нью-Джерси, 1993.
Б. Фридланд, Расширенный дизайн системы управления Факсимильное издание, Prentice Hall, Upper Saddle River, Нью-Джерси, 1996.

внешняя ссылка

ECE 758: Моделирование и нелинейное управление однолинейным гибким совместным манипулятором - Дает объяснение и применение линеаризации обратной связи.
ECE 758: Пример линеаризации шарика в трубе - Тривиальное применение линеаризации для системы, уже находящейся в нормальной форме (т.е. преобразование координат не требуется).
Язык Wolfram функции сделать линеаризация обратной связи, вычислить относительные порядки, и определить нулевая динамика.