Правильная особая точка - Википедия - Regular singular point

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, в теории обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной плоскости ${ displaystyle mathbb {C}}$, точки ${ displaystyle mathbb {C}}$ подразделяются на обычные очки, при котором коэффициенты уравнения равны аналитические функции, и особые точки, при котором некоторый коэффициент имеет необычность. Затем среди особых точек проводится важное различие между регулярная особая точка, где рост решений ограничен (в любом малом секторе) алгебраической функцией, а нерегулярная особая точка, где полный набор решений требует функций с более высокими темпами роста. Это различие происходит, например, между гипергеометрическое уравнение, с тремя регулярными особыми точками, а Уравнение Бесселя что в некотором смысле предельный случай, но где аналитические свойства существенно отличаются.

Формальные определения

Точнее, рассмотрим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение п-й порядок

${ Displaystyle сумма _ {я = 0} ^ {п} р_ {я} (г) е ^ {(я)} (г) = 0}$

с п_я (z) мероморфные функции. Можно предположить, что

${ Displaystyle р_ {п} (г) = 1. ,}$

Если это не так, вышеприведенное уравнение необходимо разделить на п_п(Икс). Это может привести к появлению особых точек для рассмотрения.

Уравнение следует изучать на Сфера Римана включить точка в бесконечности как возможную особую точку. А Преобразование Мёбиуса может применяться для перемещения ∞ в конечную часть комплексной плоскости, если требуется, см. пример дифференциального уравнения Бесселя ниже.

Тогда Метод Фробениуса на основе указательное уравнение может быть применен для поиска возможных решений, которые представляют собой степенной ряд, умноженный на комплексные степени (z − а)^ррядом с любым а в комплексной плоскости, где р не обязательно должно быть целым числом; эта функция может существовать, следовательно, только благодаря срезанная ветка простираясь от а, или на Риманова поверхность некоторых проколотый диск вокруг а. Это не представляет трудностей для а обычная точка (Лазарь Фукс 1866 г.). Когда а это регулярная особая точка, что по определению означает, что

${ Displaystyle п_ {п-я} (г) ,}$

имеет столб порядка максимум я в а, то Метод Фробениуса также можно заставить работать и обеспечивать п независимые решения рядом а.

В противном случае точка а является нерегулярная особенность. В этом случае группа монодромии связанные решения аналитическое продолжение в целом ему нечего сказать, а решения труднее изучать, кроме как с точки зрения их асимптотических разложений. Неравномерность нерегулярной особенности измеряется Пуанкаре классифицировать (Арскотт (1995) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFArscott1995 (помощь)).

Условие регулярности является своего рода Многоугольник Ньютона условием, в том смысле, что допустимые полюса находятся в определенной области, при нанесении на я, ограниченная линией под углом 45 ° к осям.

An обыкновенное дифференциальное уравнение единственные особые точки которого, включая бесконечно удаленную точку, являются регулярными особыми точками, называется Фуксовский обыкновенное дифференциальное уравнение.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка

В этом случае приведенное выше уравнение сводится к:

${ Displaystyle f '' (x) + p_ {1} (x) f '(x) + p_ {0} (x) f (x) = 0. ,}$

Различают следующие случаи:

• Точка а является обычная точка когда функции п₁(Икс) и п₀(Икс) аналитичны в Икс = а.
• Точка а это регулярная особая точка если п₁(Икс) имеет полюс порядка 1 при Икс = а и п₀ имеет полюс порядка до 2 при Икс = а.
• В противном случае укажите а является нерегулярная особая точка.

Мы можем проверить, существует ли нерегулярная особая точка на бесконечности, используя замену ${ Displaystyle ш = 1 / х}$ и отношения:

${ displaystyle { frac {df} {dx}} = - w ^ {2} { frac {df} {dw}}}$

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} = w ^ {4} { frac {d ^ {2} f} {dw ^ {2}}} + 2w ^ {3} { frac {df} {dw}}}$

Таким образом, мы можем преобразовать уравнение в уравнение в ши проверьте, что происходит на ш= 0. Если ${ Displaystyle p_ {1} (х)}$ и ${ Displaystyle p_ {2} (х)}$ являются частными от многочленов, то будет нерегулярная особая точка в бесконечном Икс если многочлен в знаменателе ${ Displaystyle p_ {1} (х)}$ имеет степень как минимум на единицу больше, чем степень числителя и знаменателя ${ Displaystyle p_ {2} (х)}$ имеет степень как минимум на две больше, чем степень его числителя.

Ниже перечислены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений математической физики, которые имеют особые точки и известные решения.

Дифференциальное уравнение Бесселя

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Он находится в решении Уравнение Лапласа в цилиндрические координаты:

${ displaystyle x ^ {2} { frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} + x { frac {df} {dx}} + (x ^ {2} - alpha ^ {2}) f = 0}$

для произвольного действительного или комплексного числа α ( порядок из Функция Бесселя ). Наиболее частый и важный частный случай - это когда α - целое число п.

Разделив это уравнение на Икс² дает:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} + { frac {1} {x}} { frac {df} {dx}} + left (1- { frac { alpha ^ {2}} {x ^ {2}}} right) f = 0}$

В этом случае п₁(Икс) = 1/Икс имеет полюс первого порядка на Икс = 0. Когда α ≠ 0 п₀(Икс) = (1 - α²/Икс²) имеет полюс второго порядка на Икс = 0. Таким образом, это уравнение имеет регулярную особенность в 0.

Чтобы увидеть, что происходит, когда Икс → ∞ необходимо использовать Преобразование Мёбиуса, Например ${ Displaystyle х = 1 / ш}$. После выполнения алгебры:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dw ^ {2}}} + { frac {1} {w}} { frac {df} {dw}} + left [{ frac {1} {w ^ {4}}} - { frac { alpha ^ {2}} {w ^ {2}}} right] f = 0}$

Сейчас на ${ displaystyle w = 0}$,

${ Displaystyle p_ {1} (ш) = { гидроразрыва {1} {ш}}}$

имеет полюс первого порядка, но

${ displaystyle p_ {0} (w) = { frac {1} {w ^ {4}}} - { frac { alpha ^ {2}} {w ^ {2}}}}$

имеет полюс четвертого порядка. Таким образом, это уравнение имеет нерегулярную особенность при ${ displaystyle w = 0}$ соответствующий Икс на ∞.

Дифференциальное уравнение Лежандра

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Он находится в растворе Уравнение Лапласа в сферические координаты:

${ displaystyle {d over dx} left [(1-x ^ {2}) {d over dx} f right] + l (l + 1) f = 0.}$

Открытие квадратной скобки дает:

${ displaystyle (1-x ^ {2}) {d ^ {2} f over dx ^ {2}} - 2x {df over dx} + l (l + 1) f = 0.}$

И разделив на (1 -Икс²):

${ displaystyle {d ^ {2} f over dx ^ {2}} - {2x over (1-x ^ {2})} {df over dx} + {l (l + 1) over ( 1-x ^ {2})} f = 0.}$

Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки в точках ± 1 и ∞.

Дифференциальное уравнение Эрмита

Это обычное дифференциальное уравнение второго порядка встречается при решении одномерного не зависящего от времени Уравнение Шредингера

${ displaystyle E psi = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2} psi} {d ^ {2} x}} + V (x) psi}$

для гармонический осциллятор. В этом случае потенциальная энергия V(Икс) является:

${ displaystyle displaystyle V (x) = { frac {1} {2}} m omega ^ {2} x ^ {2}.}$

Это приводит к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} - 2x { frac {df} {dx}} + lambda f = 0.}$

Это дифференциальное уравнение имеет нерегулярную особенность в точке ∞. Его решения Полиномы Эрмита.

Гипергеометрическое уравнение

Уравнение можно определить как

${ displaystyle z (1-z) { frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + left [c- (a + b + 1) z right] { frac {df } {dz}} - abf = 0.}$

Разделив обе стороны на z(1 − z) дает:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + { frac {c- (a + b + 1) z} {z (1-z)}} { frac {df} {dz}} - { frac {ab} {z (1-z)}} f = 0.}$

Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки в точках 0, 1 и ∞. Решение - это гипергеометрическая функция.

Рекомендации

• Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
• Э. Т. Копсон, Введение в теорию функций комплексного переменного (1935)
• Федорюк, М. (2001) [1994], «Фуксово уравнение», Энциклопедия математики, EMS Press
• А. Р. Форсайт Теория дифференциальных уравнений Vol. IV: Обычные линейные уравнения (Издательство Кембриджского университета, 1906 г.)
• Эдуард Гурса, Курс математического анализа, Том II, Часть II: Дифференциальные уравнения с. 128 − ff. (Ginn & Co., Бостон, 1917 г.)
• Ильяшенко, Ю.С. (2001) [1994], «Регулярная особая точка», Энциклопедия математики, EMS Press
• Э. Л. Инс, Обыкновенные дифференциальные уравнения., Dover Publications (1944).
• Т. М. МакРоберт Функции комплексной переменной п. 243 (Макмиллан, Лондон, 1917 г.)
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• Э. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон Курс современного анализа С. 188 − ff. (Издательство Кембриджского университета, 1915 г.)