Теорема Фенхеля – Моро. - Fenchel–Moreau theorem

Функция, которая не нижний полунепрерывный. По теореме Фенхеля-Моро эта функция не равна своей двусопряженный.

В выпуклый анализ, то Теорема Фенхеля – Моро (названный в честь Вернер Фенчель и Жан Жак Моро ) или же Теорема фенхеля о двусопряжении (или просто теорема о двусопряжении) это теорема который дает необходимые и достаточные условия чтобы функция была равна ее двусопряженный. Это контрастирует с общим свойством, что для любой функции ${ displaystyle f ^ {**} leq f}$ .^[1]^[2] Это можно рассматривать как обобщение биполярная теорема.^[1] Он используется в теория двойственности чтобы доказать сильная двойственность (через функция возмущения ).

Заявление

Позволять ${ Displaystyle (Х, тау)}$ быть Хаусдорф локально выпуклое пространство, для любого расширенный реальный оценочная функция ${ displaystyle f: X to mathbb {R} чашка { pm infty }}$ следует, что ${ displaystyle f = f ^ {**}}$ тогда и только тогда, когда верно одно из следующих

^ ^а ^б ^c Борвейн, Джонатан; Льюис, Адриан (2006). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Springer. С. 76–77. ISBN 9780387295701.
^ Зэлинеску, Константин (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co., Inc., стр. 75–79. ISBN 981-238-067-1. МИСТЕР 1921556.
^ Ханг-Чин Лай; Лай-Жуй Линь (май 1988 г.). "Теорема Фенхеля-Моро для функций множества". Труды Американского математического общества. Американское математическое общество. 103 (1): 85–90. Дои:10.2307/2047532.
^ Сёдзо Коши; Наото Комуро (1983). «Обобщение теоремы Фенхеля – Моро». Proc. Япония Acad. Сер. Математика. Sci.. 59 (5): 178–181.