Сверхсильная топология - Ultrastrong topology

В функциональный анализ, то сверхсильная топология, или же σ-сильная топология, или же сильнейшая топология на съемочной площадке B (H) из ограниченные операторы на Гильбертово пространство топология, определяемая семейством полунорм

${ displaystyle p _ { omega} (x) = omega (x ^ {*} x) ^ {1/2}}$

для положительных элементов ${ displaystyle omega}$ из преддуальный ${ Displaystyle L _ {*} (Н)}$ который состоит из класс трассировки операторы.^[1]:68

Он был представлен Джон фон Нейман в 1936 г.^[2]

Связь с сильной (операторной) топологией

Сверхсильная топология аналогична сильной (операторной) топологии. Например, на любом ограниченном по норме множестве сильная операторная и сверхсильная топологии совпадают. Сверхсильная топология сильнее сильной операторной топологии.

Одна из проблем с сильной операторной топологией состоит в том, что двойственное B (H) с сильным оператором топология «слишком мала». Сверхсильная топология решает эту проблему: дуальное - это полное преддуальноеB_*(ЧАС) всех операторов класса трассировки. В общем, сверхсильная топология лучше, чем сильная операторная топология, но ее сложнее определить, поэтому люди обычно используют сильную операторную топологию, если им это удается.

Сверхсильная топология может быть получена из сильной операторной топологии следующим образом. Если ЧАС₁ является сепарабельным бесконечномерным гильбертовым пространством, то B (H) может быть встроен в B(ЧАС⊗ЧАС₁) тензорно с тождественным отображением на ЧАС₁. Тогда ограничение сильной операторной топологии на B(ЧАС⊗ЧАС₁) - сверхсильная топология B (H)Эквивалентно его дает семейство полунорм.

${ displaystyle x mapsto left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} || x xi _ {n} || ^ {2} right) ^ {1/2},}$

куда ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} || xi _ {n} || ^ {2} < infty}$.^[1]:68

Присоединенное отображение не является непрерывным в сверхсильной топологии. Существует еще одна топология, называемая сверхсильной топологией *, которая является самой слабой топологией, более сильной, чем сверхсильная топология, при которой сопряженное отображение непрерывно.^[1]:68

Смотрите также

• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• сверхслабая топология
• сильная операторная топология

Рекомендации

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.