Лемма Мазура - Википедия - Mazurs lemma

В математика, Лемма Мазура это результат теории Банаховы пространства. Это показывает, что любой слабо сходящийся последовательность в банаховом пространстве имеет последовательность выпуклые комбинации его членов, который сильно сходится к тому же пределу и используется при доказательстве Теорема Тонелли.

Утверждение леммы

Позволять (Икс, || ||) - банахово пространство и пусть (ты_п)_п∈N быть последовательностью в Икс который слабо сходится к некоторым ты₀ в Икс:

${ displaystyle u_ {n} rightharpoonup u_ {0} { mbox {as}} n to infty.}$

То есть на каждый непрерывный линейный функционал ж в Икс^∗, то непрерывное двойное пространство из Икс,

${ displaystyle f (u_ {n}) to f (u_ {0}) { mbox {as}} n to infty.}$

Тогда существует функция N : N → N и последовательность наборов действительных чисел

${ Displaystyle { альфа (п) _ {к} | к = п, точки, N (п) }}$

такой, что α(п)_k ≥ 0 и

${ Displaystyle сумма _ {к = п} ^ {N (п)} альфа (п) _ {к} = 1}$

такая, что последовательность (v_п)_п∈N определяется выпуклой комбинацией

${ displaystyle v_ {n} = sum _ {k = n} ^ {N (n)} alpha (n) _ {k} u_ {k}}$

сильно сходится в Икс к ты₀, т.е.

${ displaystyle | v_ {n} -u_ {0} | to 0 { mbox {as}} n to infty.}$

Рекомендации

• Ренарди, Майкл и Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 350. ISBN  0-387-00444-0.