Теорема Урсеску - Ursescu theorem

В математике, особенно в функциональный анализ и выпуклый анализ, то Теорема Урсеску это теорема, обобщающая теорема о замкнутом графике, то теорема об открытом отображении, а принцип равномерной ограниченности.

Теорема Урсеску

Используются следующие обозначения и понятия, где ${ displaystyle { mathcal {R}}: X rightrightarrows Y}$ это многофункциональный и S непустое подмножество топологическое векторное пространство Икс:

• то аффинный промежуток из S обозначается ${ displaystyle operatorname {aff} S}$ и линейный пролет обозначается ${ displaystyle operatorname {span} S}$.
• ${ displaystyle S ^ {i}: = operatorname {aint} _ {X} S}$ обозначает алгебраический интерьер из S в Икс.
• ${ displaystyle {} ^ {i} S: = operatorname {aint} _ { operatorname {aff} (S-S)} S}$ обозначает относительная алгебраическая внутренность из S (т.е. алгебраическая внутренность S в ${ displaystyle operatorname {aff} (S-S)}$).
• ${ displaystyle {} ^ {ib} S: = {} ^ {i} S}$ если ${ displaystyle operatorname {span} left (S-s_ {0} right)}$ является ствол для некоторых / каждого ${ displaystyle s_ {0} in S}$ в то время как ${ displaystyle {} ^ {ib} S: = emptyset}$ в противном случае.
  • Если S выпукло, то можно показать, что для любого Икс в Икс, ${ displaystyle x in {} ^ {ib} S}$ тогда и только тогда, когда конус, порожденный ${ displaystyle S-x}$ является линейным подпространством с бочками в Икс или, что то же самое, если и только если ${ Displaystyle чашка _ {п в mathbb {N}} п влево (S-х вправо)}$ является линейным подпространством с бочками в Икс
• В домен ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ является ${ displaystyle operatorname {Dom} { mathcal {R}}: = left {x in X: { mathcal {R}} (x) neq emptyset right }}$.
• В изображение ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ является ${ displaystyle operatorname {Im} { mathcal {R}}: = cup _ {x in X} { mathcal {R}} (x)}$. Для любого подмножества ${ Displaystyle A substeq X}$, ${ displaystyle { mathcal {R}} (A): = cup _ {x in A} { mathcal {R}} (x)}$.
• В график ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ является ${ displaystyle operatorname {gr} { mathcal {R}}: = left {(x, y) in X times Y: y in { mathcal {R}} (x) right } }$.
• ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ является закрыто (соответственно, выпуклый), если график ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ замкнуто (соответственно выпукло) в ${ Displaystyle X раз Y}$.
  • Обратите внимание, что ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ выпукло тогда и только тогда, когда для всех ${ displaystyle x_ {0}, x_ {1} in X}$ и все ${ Displaystyle г в [0,1]}$, ${ displaystyle r { mathcal {R}} left (x_ {0} right) + (1-r) { mathcal {R}} left (x_ {1} right) substeq { mathcal { R}} left (rx_ {0} + (1-r) x_ {1} right)}$.
• В инверсия ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ это многофункциональный ${ displaystyle { mathcal {R}} ^ {- 1}: Y rightrightarrows X}$ определяется ${ Displaystyle { mathcal {R}} ^ {- 1} (y): = left {x in X: y in { mathcal {R}} (x) right }}$. Для любого подмножества ${ displaystyle B substeq Y}$, ${ displaystyle { mathcal {R}} ^ {- 1} (B): = cup _ {y in B} { mathcal {R}} ^ {- 1} (y)}$.
  • Обратите внимание, что если ${ displaystyle f: от X до Y}$ - функция, то обратная ей - многофункциональная ${ displaystyle f ^ {- 1}: Y rightrightarrows X}$ полученный из канонической идентификации ж с многофункциональным f: X ${ displaystyle rightrightarrows}$ Y определяется ${ Displaystyle х mapsto влево {е (х) вправо }}$.
• ${ displaystyle operatorname {int} _ {T} S}$ это топологический интерьер из S относительно Т, где ${ Displaystyle S substeq T}$.
• ${ displaystyle operatorname {rint} S: = operatorname {int} _ { operatorname {aff} S} S}$ это интерьер из S относительно ${ displaystyle operatorname {aff} S}$.

утверждение

Следствия

Теорема о замкнутом графике

(Теорема о замкнутом графике) Позволять Икс и Y быть Пространства фреше и Т: X → Y - линейная карта. потом Т непрерывна тогда и только тогда, когда график Т закрыт в ${ Displaystyle X раз Y}$.

Доказательство: Для нетривиального направления предположим, что график Т закрыт и пусть ${ displaystyle { mathcal {R}}: = T ^ {- 1}: Y rightrightarrows X}$. Легко заметить, что ${ displaystyle operatorname {gr} { mathcal {R}}}$ замкнуто и выпукло, а его образ Икс. Данный Икс в Икс, (Т х, х) принадлежит ${ displaystyle Y times X}$ так что для каждого открытого района V из Т х в Y, ${ Displaystyle { mathcal {R}} (V) = T ^ {- 1} (V)}$ это район Икс в Икс. Таким образом Т непрерывно на Икс. Q.E.D.

Принцип равномерной ограниченности

(Принцип равномерной ограниченности) Позволять Икс и Y быть Пространства фреше и ${ displaystyle T: X to Y}$ - биективное линейное отображение. потом Т непрерывно тогда и только тогда, когда ${ displaystyle T ^ {- 1}: от Y до X}$ непрерывно. Кроме того, если Т непрерывно, то Т является изоморфизмом Пространства фреше.

Доказательство: Примените теорему о замкнутом графике к Т и ${ displaystyle T ^ {- 1}}$. Q.E.D.

Теорема об открытом отображении

(Теорема об открытом отображении) Позволять Икс и Y быть Пространства фреше и ${ displaystyle T: X to Y}$ - непрерывное сюръективное линейное отображение. Тогда T - открытая карта.

Доказательство: Ясно, Т замкнутое и выпуклое отношение, образ которого Y. Позволять U быть непустым открытым подмножеством Икс, позволять y быть в Т (U), и разреши Икс в U быть таким, чтобы у = Т х. Из теоремы Урсеску следует, что Т (U) это район y. Q.E.D.

Дополнительные следствия

Для этих следствий используются следующие обозначения и понятия, где ${ displaystyle { mathcal {R}}: X rightrightarrows Y}$ это многофункциональный, S непустое подмножество топологическое векторное пространство Икс:

• а выпуклый ряд с элементами S это серии формы ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ { infty} r_ {я} s_ {я}}$ где все ${ displaystyle s_ {i} in S}$ и ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ { infty} r_ {я} = 1}$ представляет собой серию неотрицательных чисел. Если ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ { infty} r_ {я} s_ {я}}$ сходится, то ряд называется сходящийся а если ${ Displaystyle влево (s_ {я} вправо) _ {я = 1} ^ { infty}}$ ограничена, то серия называется ограниченный и б-выпуклый.
• S является идеально выпуклый если любой сходящийся b-выпуклый ряд элементов S имеет свою сумму в S.
• S является нижняя идеально выпуклая если существует Fréchet space Y такой, что S равна проекции на Икс некоторого идеально выпуклого подмножества B из ${ Displaystyle X раз Y}$. Всякое идеально выпуклое множество идеально выпукло снизу.

Следствие Позволять Икс быть бочкой первый счетный пространство и пусть C быть подмножеством Икс. Потом:

1. Если C нижняя идеально выпуклая, то ${ displaystyle C ^ {i} = operatorname {int} C}$.
2. Если C идеально выпуклый, то ${ displaystyle C ^ {i} = operatorname {int} C = operatorname {int} left ( operatorname {cl} C right) = left ( operatorname {cl} C right) ^ {i} }$.

Связанные теоремы

Теорема Саймонса

Теорема (Саймонс)^[2] Позволять Икс и Y быть первый счетный с участием Икс локально выпуклый. Предположим, что ${ displaystyle { mathcal {R}}: X rightrightarrows Y}$ мультиотображение с непустой областью, удовлетворяющее состояние (HwИкс) или предположим, что Икс это Fréchet space и это ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ является нижняя идеально выпуклая. Предположим, что ${ displaystyle operatorname {span} left ( operatorname {Im} { mathcal {R}} - y right)}$ является ствол для некоторых / каждого ${ displaystyle y in operatorname {Im} { mathcal {R}}}$. Предположим, что ${ displaystyle y_ {0} in {} ^ {i} left ( operatorname {Im} { mathcal {R}} right)}$ и разреши ${ displaystyle x_ {0} in { mathcal {R}} ^ {- 1} left (y_ {0} right)}$. Тогда для каждого района U из ${ displaystyle x_ {0}}$ в Икс, ${ displaystyle y_ {0}}$ принадлежит относительной внутренней части ${ Displaystyle { mathcal {R}} влево (U вправо)}$ в ${ displaystyle operatorname {aff} left ( operatorname {Im} { mathcal {R}} right)}$ (т.е. ${ displaystyle y_ {0} in operatorname {int} _ { operatorname {aff} left ( operatorname {Im} { mathcal {R}} right)} { mathcal {R}} left ( Ты прав)}$). В частности, если ${ displaystyle {} ^ {ib} left ( operatorname {Im} { mathcal {R}} right) neq emptyset}$ тогда ${ displaystyle {} ^ {ib} left ( operatorname {Im} { mathcal {R}} right) = {} ^ {i} left ( operatorname {Im} { mathcal {R}} right) = operatorname {rint} left ( operatorname {Im} { mathcal {R}} right)}$.

Теорема Робинсона – Урсеску

Следствие (1) ${ displaystyle implies}$ (2) в следующей теореме известна как теорема Робинсона – Урсеску.^[3]

Теорема:Позволять ${ Displaystyle влево (Х, | CDOT | вправо)}$ и ${ Displaystyle влево (Y, | CDOT | вправо)}$ быть нормированные пространства и ${ displaystyle { mathcal {R}}: X rightrightarrows Y}$ быть мульти-картой с непустым доменом. Предположим, что Y это ствольное пространство, график ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ проверяет состояние состояние (HwИкс), и это ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) in operatorname {gr} { mathcal {R}}}$. Позволять ${ displaystyle C_ {X}}$ (соотв. ${ displaystyle C_ {Y}}$) обозначим замкнутый единичный шар в Икс (соотв. Y) (так ${ displaystyle C_ {X} = left {x in X: | x | leq 1 right }}$). Тогда следующие эквиваленты:

1. ${ displaystyle y_ {0}}$ принадлежит к алгебраический интерьер из ${ displaystyle operatorname {Im} { mathcal {R}}}$.
2. ${ displaystyle y_ {0} in operatorname {int} { mathcal {R}} left (x_ {0} + C_ {X} right)}$.
3. Существует ${ displaystyle B> 0}$ такой, что для всех ${ Displaystyle 0 Leq г Leq 1}$, ${ displaystyle y_ {0} + BrC_ {Y} substeq { mathcal {R}} left (x_ {0} + rC_ {X} right)}$.
4. Существуют ${ displaystyle A> 0}$ и ${ displaystyle B> 0}$ такой, что для всех ${ displaystyle x in x_ {0} + AC_ {X}}$ и все ${ displaystyle y in y_ {0} + AC_ {Y}}$, ${ displaystyle d left (x, { mathcal {R}} ^ {- 1} (y) right) leq B cdot d left (y, { mathcal {R}} (x) right )}$.
5. Существует ${ displaystyle B> 0}$ такой, что для всех ${ displaystyle x in X}$ и все ${ displaystyle y in y_ {0} + BC_ {Y}}$, ${ displaystyle d left (x, { mathcal {R}} ^ {- 1} (y) right) leq { frac {1+ left | x-x_ {0} right |} {B- left | y-y_ {0} right |}} cdot d left (y, { mathcal {R}} (x) right)}$.

Смотрите также

• Теорема о замкнутом графике
• Теорема о замкнутом графике (функциональный анализ) - Теоремы для вывода непрерывности из графика функции
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - Теорема, дающая условия, чтобы непрерывная линейная карта была открытой.
• Сюръекция пространств Фреше - Теорема, характеризующая, когда непрерывное линейное отображение между пространствами Фреше сюръективно.
• Принцип равномерной ограниченности - Теорема о том, что поточечная ограниченность влечет равномерную ограниченность
• Перепончатое пространство - Топологические векторные пространства, для которых верны теоремы об открытом отображении и закрытых графах

Заметки

использованная литература

• Залинеску, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. ISBN  981-238-067-1. OCLC  285163112.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Бэггс, Иван (1974). «Функции с замкнутым графом». Труды Американского математического общества. 43 (2): 439–442. Дои:10.1090 / S0002-9939-1974-0334132-8. ISSN  0002-9939.