Сюръекция пространств Фреше

Теорема о сюрприз из Пространства фреше важная теорема, в силу Стефан Банах,^[1] что характерно, когда непрерывный линейный оператор между пространствами Фреше сюръективно.

Важность этой теоремы связана с тем, что теорема об открытом отображении, который утверждает, что непрерывная линейная сюръекция между пространствами Фреше является открытая карта. Часто на практике известно, что у них есть непрерывное линейное отображение между пространствами Фреше, и он хочет показать, что оно сюръективно, чтобы использовать теорему об открытом отображении, чтобы вывести, что это также открытое отображение. Эта теорема может помочь в достижении этой цели.

Предварительные сведения, определения и обозначения

Позволять ${ displaystyle L: X to Y}$ - непрерывное линейное отображение топологических векторных пространств.

Непрерывное двойственное пространство ${ displaystyle X}$ обозначается ${ displaystyle X ^ {*}.}$

В транспонировать из L это карта ${ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {*} to X ^ {*}}$ определяется ${ Displaystyle L left (y ^ { prime} right): = y ^ { prime} circ L.}$ Если ${ displaystyle L: X to Y}$ сюръективно, то ${ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {*} to X ^ {*}}$ будет инъективный, но в целом обратное неверно.

Слабая топология на ${ displaystyle X}$ (соотв. ${ Displaystyle X ^ {*}}$ ) обозначается ${ displaystyle sigma left (X, X ^ {*} right)}$ (соотв. ${ displaystyle sigma left (X ^ {*}, X right)}$ ). Набор $Икс$ снабженный этой топологией, обозначается ${ displaystyle left (X, sigma left (X, X ^ {*} right) right).}$ Топология ${ displaystyle sigma left (X, X ^ {*} right)}$ самая слабая топология на $Икс$ делая все линейные функционалы в ${ Displaystyle X ^ {*}}$ непрерывный.

Если ${ Displaystyle S substeq Y}$ затем полярный из $S$ в $Y$ обозначается ${ displaystyle S ^ { circ}.}$

Если ${ displaystyle p: X to mathbb {R}}$ это полунорма на $Икс$ , тогда ${ displaystyle X_ {p}}$ будет обозначать векторное пространство $Икс$ наделен самым слабым TVS создание топологии $п$ непрерывный.^[1] Основа соседства ${ displaystyle X_ {p}}$ в начале координат состоит из множеств ${ Displaystyle влево {х в X: п (х) <г вправо }}$ так как $р$ колеблется над положительными реалами. Если $п$ это не норма тогда ${ displaystyle X_ {p}}$ не Хаусдорф и ${ Displaystyle OperatorName {Ker} p: = left {x in X: p (x) = 0 right }}$ является линейным подпространством в $Икс$ . Если $п$ непрерывно, то тождественное отображение ${ displaystyle operatorname {Id}: X to X_ {p}}$ непрерывно, поэтому мы можем идентифицировать непрерывное двойственное пространство ${ displaystyle X_ {p},}$ ${ displaystyle X_ {p} ^ {*},}$ как подмножество ${ Displaystyle X ^ {*}}$ через транспонирование идентификационной карты ${ displaystyle {} ^ {t} operatorname {Id}: X_ {p} ^ {*} to X ^ {*},}$ который инъективный.

Теорема^[1] (Банах) — Если ${ displaystyle L: X to Y}$ является непрерывным линейным отображением между двумя пространствами Фреше, то ${ displaystyle L: X to Y}$ сюръективен тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

${ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {*} to X ^ {*}}$ является инъективный, и
образ ${ displaystyle {} ^ {t} L,}$ обозначается ${ displaystyle operatorname {Im} {} ^ {t} L,}$ слабо замкнут в ${ Displaystyle X ^ {*}}$ (т.е. закрыто, когда ${ Displaystyle X ^ {*}}$ наделен слабой * топологией).

Расширения теоремы

Теорема^[1] — Если ${ displaystyle L: X to Y}$ является непрерывным линейным отображением между двумя пространствами Фреше, то следующие условия эквивалентны:

${ displaystyle L: X to Y}$ сюръективно.
Выполнены следующие два условия:
1. ${ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {*} to X ^ {*}}$ является инъективный;
2. образ ${ displaystyle {} ^ {t} L,}$ ${ displaystyle operatorname {Im} {} ^ {t} L,}$ слабо замкнут в ${ displaystyle X ^ {*}.}$
Для каждой непрерывной полунормы п на Икс существует непрерывная полунорма q на Y такие, что верно следующее:
1. для каждого ${ displaystyle y in Y}$ есть некоторые ${ displaystyle x in X}$ такой, что ${ Displaystyle д влево (L (х) -y вправо) = 0}$ ;
2. для каждого ${ displaystyle y ^ { prime} in Y,}$ если ${ displaystyle {} ^ {t} L left (y ^ { prime} right) in X_ {p} ^ {*}}$ тогда ${ displaystyle y ^ { prime} in Y_ {q} ^ {*}.}$
Для каждой непрерывной полунормы п на Икс существует линейное подпространство N из Y такие, что верно следующее:
1. для каждого ${ displaystyle y in Y}$ есть некоторые ${ displaystyle x in X}$ такой, что ${ Displaystyle L (x) -y in N}$ ;
2. для каждого ${ displaystyle y ^ { prime} in Y ^ {*},}$ если ${ displaystyle {} ^ {t} L left (y ^ { prime} right) in X_ {p} ^ {*}}$ тогда ${ displaystyle y ^ { prime} in N ^ { circ}.}$
Существует невозрастающий последовательность ${ Displaystyle N_ {1} supseteq N_ {2} supseteq N_ {3} supseteq cdots}$ ${ Displaystyle N_ {1} supseteq N_ {2} supseteq N_ {3} supseteq cdots}$ замкнутых линейных подпространств Y пересечение которого равно ${ displaystyle {0 }}$ $\{0\}$ и такие, что верно следующее:
1. Для каждого ${ displaystyle y in Y}$ и каждое положительное целое число $k$ , есть некоторые ${ displaystyle x in X}$ такой, что ${ displaystyle L (x) -y in N_ {k}}$ ;
2. Для каждой непрерывной полунормы $п$ на $Икс$ существует целое число $k$ такой, что любой ${ displaystyle x in X}$ это удовлетворяет ${ Displaystyle L (х) в N_ {k}}$ предел в смысле полунормы $п$ , последовательности ${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots}$ в элементах $Икс$ такой, что ${ displaystyle L (x_ {i}) = 0}$ для всех $я$ .

Леммы

Следующие леммы используются для доказательства теорем о сюръективности пространств Фреше. Они полезны даже сами по себе.

Теорема^[1] — Позволять $Икс$ быть пространством Фреше и $Z$ - линейное подпространство в ${ displaystyle X ^ {*}.}$ Следующие варианты эквивалентны:

Z слабо замкнут в ${ Displaystyle X ^ {*}}$ ;
Есть основа ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ кварталов происхождения $Икс$ так что для каждого ${ displaystyle B in { mathcal {B}},}$ ${ displaystyle B ^ { circ} cap Z}$ слабо замкнутый;
Пересечение $Z$ с каждым равностепенно непрерывным подмножеством $E$ из ${ Displaystyle X ^ {*}}$ относительно закрыт в $E$ (где ${ Displaystyle X ^ {*}}$ задана слабая топология, индуцированная $Икс$ и $E$ задана топология подпространств, индуцированная ${ Displaystyle X ^ {*}}$ ).

Теорема^[1] — На двойном ${ Displaystyle X ^ {*}}$ пространства Фреше $Икс$ , топология равномерной сходимости на компактных выпуклых подмножествах $Икс$ идентична топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах $Икс$ .

Теорема^[1] — Позволять ${ displaystyle L: X to Y}$ линейное отображение Хаусдорфа локально выпуклый ТВС, с $Икс$ также метризуемый. Если карта ${ Displaystyle L: влево (Икс, сигма влево (X, X ^ {*} вправо) вправо) в влево (Y, сигма влево (Y, Y ^ {*} вправо) правильно)}$ непрерывно, то ${ displaystyle L: X to Y}$ непрерывна (где $Икс$ и $Y$ несут их оригинальные топологии).

Приложения

Теорема Бореля о разложении в степенной ряд

Теорема^[2] (Э. Борель) — Зафиксируйте положительное целое число $п$ . Если $п$ - произвольный формальный степенной ряд от $п$ индетерминанты с комплексными коэффициентами, то существует ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty}}$ функция ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {C}}$ чье разложение Тейлора в начале координат идентично $п$ .

То есть предположим, что для каждого $п$ -набор неотрицательных целых чисел ${ displaystyle p = left (p_ {1}, ldots, p_ {n} right)}$ нам дано комплексное число ${ displaystyle a_ {p}}$ (без ограничений). Тогда существует ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty}}$ функция ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {C}}$ такой, что ${ displaystyle a_ {p} = { frac { partial f} { partial x}} { Bigg vert} _ {x = 0}}$ для каждого $п$ пара $п$ неотрицательных целых чисел.

Линейные дифференциальные операторы в частных производных

Теорема^[3] — Позволять $D$ - линейный оператор в частных производных с ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty}}$ коэффициенты в открытом подмножестве ${ Displaystyle U substeq mathbb {R} ^ {n}.}$ Следующие варианты эквивалентны:

Для каждого ${ displaystyle f in { mathcal {C}} ^ { infty} (U)}$ есть некоторые ${ Displaystyle и ин { mathcal {C}} ^ { infty} (U)}$ такой, что ${ displaystyle Du = f.}$
$U$ является $D$ -выпуклые и $D$ полуглобально разрешима.

$D$ полуглобально разрешима в $U$ означает, что для каждого относительно компактный открытое подмножество $V$ из $U$ , выполняется следующее условие:

каждому

{ displaystyle f in { mathcal {C}} ^ { infty} (U)}

существует некоторое

{ displaystyle g in { mathcal {C}} ^ { infty} (U)}

такой, что

{ displaystyle Dg = f}

в

V

.

$U$ будучи D-выпуклый означает, что для любых компактных подмножеств ${ displaystyle K substeq U}$ и каждое целое число ${ Displaystyle п geq 0,}$ есть компактное подмножество ${ displaystyle C_ {n}}$ из $U$ так что для каждого распространение $d$ с компактной опорой в $U$ , выполняется следующее условие:

если

{ displaystyle {} ^ {t} Dd}

в порядке

{ Displaystyle Leq п}

и если

{ displaystyle operatorname {supp} {} ^ {t} Dd substeq K,}

тогда

{ displaystyle operatorname {supp} d substeq C_ {n}.}

Смотрите также

Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - Теорема, дающая условия, чтобы непрерывная линейная карта была открытой.
Эпиморфизм

использованная литература

^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^г Трев 2006 С. 378-384.
^ Трев 2006, п. 390.
^ Трев 2006, п. 392.

Список используемой литературы

Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

[FOOTNOTETrèves2006378-384-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^г Трев 2006 С. 378-384.

[FOOTNOTETrèves2006390-2] Трев 2006, п. 390.

[FOOTNOTETrèves2006392-3] Трев 2006, п. 392.

[1]

[2]

[3]

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки