Полунепрерывность - Википедия - Semi-continuity

В математический анализ, полунепрерывность (или же полунепрерывность) является свойством расширенный реальный -значен функции это слабее, чем непрерывность. Расширенная функция с действительными значениями ж является верхний (соответственно, ниже) полунепрерывный в какой-то момент Икс₀ если, грубо говоря, значения функции для аргументов близки к Икс₀ не намного выше (соответственно ниже) чем ж(Икс₀).

Функция является непрерывной тогда и только тогда, когда она полунепрерывна как сверху, так и снизу. Если мы возьмем непрерывную функцию и увеличим ее значение в некоторой точке Икс₀ к ж(Икс₀)+c (для некоторой положительной постоянной c), то результат полунепрерывен сверху; если мы уменьшим его значение до ж(Икс₀)-c то результат полунепрерывен снизу.

Примеры

Полунепрерывная сверху функция. Сплошная синяя точка указывает ж(Икс₀).

Рассмотрим функцию ж, кусочно определяется:

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} -1 & { mbox {if}} x <0, 1 & { mbox {if}} x geq 0 end {cases}}}$

Эта функция полунепрерывна сверху при Икс₀ = 0, но не полунепрерывно снизу.

Полунепрерывная снизу функция. Сплошная синяя точка указывает ж(Икс₀).

В индикаторная функция из закрытый набор является полунепрерывным сверху, а индикаторная функция открытый набор полунепрерывно снизу. В функция пола ${ Displaystyle е (х) = lfloor x rfloor}$ , который возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному действительному числу. Икс, всюду полунепрерывно сверху. Точно так же функция потолка ${ Displaystyle е (х) = lceil х rceil}$ полунепрерывно снизу.

Функция может быть верхней или нижней полунепрерывной, не будучи ни левый или правый непрерывный. Например, функция

{ displaystyle f (x) = { begin {cases} 1 & { mbox {if}} x <1, 2 & { mbox {if}} x = 1, 1/2 & { mbox {if }} x> 1, end {case}}}

полунепрерывно сверху в Икс = 1, поскольку его значение там выше, чем значение в его окрестности. Однако он не является непрерывным ни слева, ни справа: предел слева равен 1, а предел справа равен 1/2, оба из которых отличаются от значения функции 2. Если ж изменяется, например, установив ж(1) = 0, то он полунепрерывен снизу

Аналогично функция

{ displaystyle f (x) = { begin {cases} sin (1 / x) & { mbox {if}} x neq 0, 1 & { mbox {if}} x = 0, end {случаи}}}

полунепрерывно сверху в Икс = 0, а пределы функции слева или справа в нуле даже не существуют.

Если ${ Displaystyle X = mathbb {R} ^ {n}}$ является евклидовым пространством (или, в более общем смысле, метрическим пространством) и ${ Displaystyle Gamma = С ([0,1], X)}$ это пространство кривые в ${ displaystyle X}$ (с верхнее расстояние ${ Displaystyle d _ { Gamma} ( альфа, бета) = sup _ {т} d_ {X} ( альфа (т), бета (т))}$ , то функционал длины ${ Displaystyle L: Gamma к [0, + infty]}$ , который каждой кривой ${ displaystyle alpha}$ это длина ${ Displaystyle L ( альфа)}$ , полунепрерывно снизу.

Позволять ${ Displaystyle (Х, му)}$ быть мерным пространством и пусть ${ Displaystyle L ^ {+} (Х, му)}$ обозначим множество положительно измеримых функций, наделенных топологией сходимость по мере относительно ${ displaystyle mu}$ . Затем по Лемма Фату интеграл, рассматриваемый как оператор из ${ Displaystyle L ^ {+} (Х, му)}$ к ${ displaystyle [- infty, + infty]}$ полунепрерывно снизу.

Формальное определение

Предполагать ${ displaystyle X}$ это топологическое пространство, ${ displaystyle x_ {0}}$ это точка в ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle f двоеточие X to mathbb {R} cup {- infty, infty }}$ - расширенная вещественнозначная функция.

Мы говорим что ${ displaystyle f}$ является верхний полунепрерывный в ${ displaystyle x_ {0}}$ если для каждого ${ displaystyle epsilon> 0}$ существует район ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle x_ {0}}$ такой, что ${ displaystyle f (x) leq f (x_ {0}) + epsilon}$ для всех ${ Displaystyle х в U}$ когда ${ displaystyle f (x_ {0})> - infty}$ , и ${ displaystyle f (x)}$ как правило ${ displaystyle - infty}$ в качестве ${ displaystyle x}$ стремится к ${ displaystyle x_ {0}}$ когда ${ displaystyle f (x_ {0}) = - infty}$ .

Для частного случая метрического пространства это можно выразить как

{ displaystyle limsup _ {x to x_ {0}} f (x) leq f (x_ {0})}

где lim sup - это предел высшего (функции ${ displaystyle f}$ в точке ${ displaystyle x_ {0}}$ ). (Для неметрических пространств эквивалентное определение с использованием сети может быть заявлено.)

Функция ${ displaystyle f}$ называется полунепрерывной сверху, если она полунепрерывна сверху в каждой точке своего домен. Функция полунепрерывна сверху тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle {х в Х: ~ е (х) <у }}$ является открытый набор для каждого ${ Displaystyle у в mathbb {R}}$ .

Мы говорим что ${ displaystyle f}$ является нижний полунепрерывный в ${ displaystyle x_ {0}}$ если для каждого ${ displaystyle epsilon> 0}$ существует район ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle x_ {0}}$ такой, что ${ displaystyle f (x) geq f (x_ {0}) - epsilon}$ для всех ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle U}$ когда ${ displaystyle f (x_ {0}) <+ infty}$ , и ${ displaystyle f (x)}$ как правило ${ displaystyle + infty}$ в качестве ${ displaystyle x}$ стремится к ${ displaystyle x_ {0}}$ когда ${ displaystyle f (x_ {0}) = + infty}$ .

Эквивалентно, в случае метрического пространства это можно выразить как

{ Displaystyle liminf _ {х к х_ {0}} е (х) geq f (х_ {0})}

куда ${ displaystyle liminf}$ это ограничивать низший (функции ${ displaystyle f}$ в точке ${ displaystyle x_ {0}}$ ).

Функция ${ displaystyle f}$ называется полунепрерывным снизу, если он полунепрерывен снизу в каждой точке своей области определения. Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle {х в Х: ~ е (х)> у }}$ является открытый набор для каждого ${ Displaystyle у в mathbb {R}}$ ; в качестве альтернативы функция является полунепрерывной снизу тогда и только тогда, когда все ее нижние наборы уровней ${ Displaystyle {х в Икс: ~ е (х) Leq у }}$ находятся закрыто. Наборы нижнего уровня также называют подуровневые наборы или траншеи.^[1]

Характеристики

Функция непрерывный в Икс₀ тогда и только тогда, когда он там и верхний, и нижний полунепрерывный. Следовательно, полунепрерывность может использоваться для доказательства непрерывности.

Если ж и г - две действительные функции, обе полунепрерывные сверху в Икс₀, то так ж + г. Если обе функции неотрицательны, функция произведения фг также будет полунепрерывным сверху при Икс₀. То же верно и для функций, полунепрерывных снизу при Икс₀.^[2]

В сочинение ж∘г полунепрерывных сверху функций ж и г не обязательно полунепрерывно сверху, но если ж также не убывает, то ж∘г является полунепрерывным сверху.^[3]

Умножение положительной полунепрерывной сверху функции на отрицательное число превращает ее в полунепрерывную снизу функцию.

Если C это компактное пространство (например, закрыто, ограниченный интервал [а, б]) и ж : C → [–∞, ∞) полунепрерывно сверху, то ж имеет максимум на C. Аналогичное утверждение для (–∞, ∞] -значных полунепрерывных снизу функций и минимумов также верно (см. Статью о теорема об экстремальном значении для доказательства.)

Предполагать ж_я : Икс → [–∞, ∞] - полунепрерывная снизу функция для любого индекса я в непустом множестве я, и определим ж как точечно супремум, т.е.

{ displaystyle f (x) = sup _ {i in I} f_ {i} (x), qquad x in X.}

потом ж полунепрерывно снизу.^[4] Даже если все ж_я непрерывны, ж не обязательно быть непрерывным: действительно, каждая полунепрерывная снизу функция на однородное пространство (например, метрическое пространство ) возникает как супремум последовательности непрерывных функций.

Точно так же точечный инфимум произвольного набора полунепрерывных сверху функций полунепрерывно сверху.

В индикаторная функция любого открытого множества полунепрерывна снизу. Индикаторная функция замкнутого множества полунепрерывна сверху. Однако в выпуклом анализе термин «индикаторная функция» часто относится к характеристическая функция, а характеристическая функция любого закрыто множество полунепрерывно снизу, а характеристическая функция любого открыто множество полунепрерывно сверху.

Функция ж : р^п→р полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда его эпиграф (множество точек, лежащих на его график ) является закрыто.

Функция ж : Икс→р, для некоторого топологического пространства Икс, полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда оно непрерывно относительно Топология Скотта на р.

Любая полунепрерывная сверху функция ж : Икс→N на произвольном топологическом пространстве Икс локально постоянна на некоторых плотное открытое подмножество из Икс.

Максимум и минимум конечного числа полунепрерывных сверху функций полунепрерывны сверху, то же самое верно и для полунепрерывных снизу функций.

Смотрите также

Непрерывная функция - Математическая функция без резких изменений значения
Направленная непрерывность
Полунепрерывная многозначная функция

дальнейшее чтение

Бенесова, Б .; Крузик, М. (2017). «Слабая полунепрерывность снизу интегральных функционалов и приложения». SIAM Обзор. 59 (4): 703–766. arXiv:1601.00390. Дои:10.1137 / 16M1060947.
Бурбаки, Николас (1998). Элементы математики: общая топология, 1–4. Springer. ISBN 0-201-00636-7.
Бурбаки, Николас (1998). Элементы математики: общая топология, 5–10. Springer. ISBN 3-540-64563-2.
Gelbaum, Bernard R .; Олмстед, Джон М. (2003). Контрпримеры в анализе. Dover Publications. ISBN 0-486-42875-3.
Хайерс, Дональд Х .; Исак, Джордж; Рассиас, Фемистокл М. (1997). Темы нелинейного анализа и приложений. World Scientific. ISBN 981-02-2534-2.

[1] Кивель, Кшиштоф К. (2001). «Сходимость и эффективность субградиентных методов квазивыпуклой минимизации». Математическое программирование, серия A. 90 (1). Берлин, Гейдельберг: Springer. С. 1–25. Дои:10.1007 / PL00011414. ISSN 0025-5610. МИСТЕР 1819784.

[2] Путерман, Мартин Л. (2005). Марковские процессы принятия решений, дискретное стохастическое динамическое программирование. Wiley-Interscience. стр.602. ISBN 978-0-471-72782-8.

[3] Мур, Джеймс С. (1999). Математические методы экономической теории. Берлин: Springer. п.143. ISBN 9783540662358.

[4] "Теорема Бэра". Энциклопедия математики.

[1]

[2]

[3]

[4]