Теорема сжатия - Википедия - Squeeze theorem

Иллюстрация теоремы сжатия

Когда последовательность находится между двумя другими сходящимися последовательностями с таким же пределом, она также сходится к этому пределу.

В исчисление, то теорема сжатия, также известный как теорема ущемления, то теорема о сэндвиче, то правило сэндвича, то полицейская теорема а иногда лемма о сжатии, это теорема взяв во внимание предел функции. В Италии теорема также известна как теорема карабинеров.

Теорема сжатия используется в исчислении и математический анализ. Обычно он используется для подтверждения предела функции путем сравнения с двумя другими функциями, пределы которых известны или легко вычисляются. Впервые он был использован геометрически математики Архимед и Евдокс в попытке вычислить π, и был сформулирован в современных терминах Карл Фридрих Гаусс.

Во многих языках (например, французском, немецком, итальянском, венгерском и русском) теорема сжатия также известна как теорема о двух полицейских (и пьяном), или некоторые его вариации.^{[нужна цитата ]} История состоит в том, что если двое полицейских сопровождают пьяного заключенного между собой, и оба полицейских идут в камеру, то (независимо от пройденного пути и того факта, что заключенный может колебаться между полицейскими), заключенный также должен закончить в камере.

Заявление

Теорема о сжатии формально формулируется следующим образом.^[1]

Позволять я быть интервал имея точку а как предельная точка. Позволять грамм, ж, и час быть функции определено на я, кроме, возможно, в а сам. Предположим, что для каждого Икс в я не равно а, у нас есть

${ Displaystyle г (х) Leq е (х) Leq ч (х)}$

а также предположим, что

${ displaystyle lim _ {x to a} g (x) = lim _ {x to a} h (x) = L.}$

потом ${ Displaystyle lim _ {х к а} е (х) = L.}$

• Функции ${ textstyle g}$ и ${ textstyle h}$ как говорят нижняя и верхняя границы (соответственно) из ${ textstyle f}$.
• Здесь, ${ textstyle a}$ является нет требуется лежать в интерьер из ${ textstyle I}$. Действительно, если ${ textstyle a}$ конечная точка ${ textstyle I}$, то указанные пределы являются левыми или правыми.
• Аналогичное утверждение верно для бесконечных интервалов: например, если ${ textstyle I = (0, infty)}$, то вывод верен, принимая пределы как ${ textstyle х rightarrow infty}$.

Эта теорема верна и для последовательностей. Позволять ${ Displaystyle (а_ {п}), (с_ {п})}$ две последовательности, сходящиеся к ${ displaystyle ell}$, и ${ displaystyle (b_ {n})}$ последовательность. Если ${ Displaystyle forall п geqslant N, N in mathbb {N}}$ у нас есть ${ displaystyle a_ {n} leqslant b_ {n} leqslant c_ {n}}$, тогда ${ displaystyle (b_ {n})}$ также сходится к ${ displaystyle ell}$.

Доказательство

Согласно вышеприведенным гипотезам, принимая ограничивать низший и выше:

${ Displaystyle L = lim _ {х к а} г (х) leq liminf _ {х к а} е (х) leq limsup _ {х к а} е (х) leq lim _ {x to a} h (x) = L,}$

так что все неравенства действительно являются равенствами, и тезис следует сразу же.

Прямое доказательство с использованием ${ displaystyle ( epsilon, delta)}$-определение предела должно было бы доказать, что для всех реальных ${ textstyle epsilon> 0}$ существует настоящий ${ displaystyle delta> 0}$ такой, что для всех ${ displaystyle x}$ с ${ Displaystyle | х-а | < дельта}$, у нас есть ${ Displaystyle | е (х) -L | < epsilon}$. Символично,

${ displaystyle forall epsilon> 0, exists delta> 0: forall x, (| x-a | < delta Rightarrow | f (x) -L | < epsilon).}$

В качестве

${ Displaystyle lim _ {х к а} г (х) = L}$

Значит это

${ Displaystyle forall varepsilon> 0, существует delta _ {1}> 0: forall x (| xa | < delta _ {1} Rightarrow | g (x) -L | < varepsilon). qquad (1)}$

и

${ Displaystyle lim _ {х к а} час (х) = L}$

Значит это

${ Displaystyle forall varepsilon> 0, существует delta _ {2}> 0: forall x (| xa | < delta _ {2} Rightarrow | h (x) -L | < varepsilon), qquad (2)}$

тогда у нас есть

${ Displaystyle г (х) Leq е (х) Leq ч (х)}$

${ Displaystyle г (х) -L Leq е (х) -L Leq ч (х) -L}$

Мы можем выбрать ${ displaystyle delta: = min left { delta _ {1}, delta _ {2} right }}$. Тогда, если ${ Displaystyle | х-а | < дельта}$, объединяя (1) и (2), имеем

${ Displaystyle - varepsilon$

${ Displaystyle - varepsilon <е (х) -L < varepsilon}$,

что завершает доказательство. ${ displaystyle blacksquare}$

Доказательство для последовательностей очень похоже, используя ${ displaystyle epsilon}$-определение предела последовательности.

Заявление для серии

Также существует теорема сжатия для рядов, которую можно сформулировать следующим образом:^{[нужна цитата ]}

Позволять ${ displaystyle sum _ {n} a_ {n}, sum _ {n} c_ {n}}$ - два сходящихся ряда. Если ${ Displaystyle существует N in mathbb {N}}$ такой, что ${ displaystyle forall n> N, a_ {n} leqslant b_ {n} leqslant c_ {n}}$тогда ${ displaystyle sum _ {n} b_ {n}}$ тоже сходится.

Доказательство

Позволять ${ displaystyle sum _ {n} a_ {n}, sum _ {n} c_ {n}}$ - два сходящихся ряда. Следовательно, последовательности ${ displaystyle left ( sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} right) _ {n = 1} ^ { infty}, left ( sum _ {k = 1} ^ { n} c_ {k} right) _ {n = 1} ^ { infty}}$ Коши. То есть для фиксированного ${ displaystyle epsilon> 0}$,

${ Displaystyle существует N_ {1} in mathbb {N}}$ такой, что ${ displaystyle forall n> m> N_ {1}, left | sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} - sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} right | < epsilon Longrightarrow left | sum _ {k = m + 1} ^ {n} a_ {k} right | < epsilon Longrightarrow - epsilon < sum _ {k = m + 1 } ^ {n} a_ {k} < epsilon}$ (1)

и аналогично ${ Displaystyle существует N_ {2} in mathbb {N}}$ такой, что ${ displaystyle forall n> m> N_ {2}, left | sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {k} - sum _ {k = 1} ^ {m} c_ {k} right | < epsilon Longrightarrow left | sum _ {k = m + 1} ^ {n} c_ {k} right | < epsilon Longrightarrow - epsilon < sum _ {k = m + 1 } ^ {n} c_ {k} < epsilon}$ (2).

Мы знаем это ${ Displaystyle существует N_ {3} in mathbb {N}}$ такой, что ${ displaystyle forall n> N_ {3}, a_ {n} leqslant b_ {k} leqslant c_ {k}}$. Следовательно, ${ Displaystyle forall п> м> макс {N_ {1}, N_ {2}, N_ {3} }}$, имеем объединение (1) и (2):

${ displaystyle a_ {n} leqslant b_ {k} leqslant c_ {k} Longrightarrow sum _ {k = m + 1} ^ {n} a_ {k} leqslant sum _ {k = m + 1 } ^ {n} b_ {k} leqslant sum _ {k = m + 1} ^ {n} c_ {k} Longrightarrow - epsilon < sum _ {k = m + 1} ^ {n} b_ {k} < epsilon Longrightarrow left | sum _ {k = m + 1} ^ {n} b_ {k} right | < epsilon Longrightarrow left | sum _ {k = 1} ^ { n} b_ {k} - sum _ {k = 1} ^ {m} b_ {k} right | < epsilon}$.

Следовательно ${ displaystyle left ( sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} right) _ {n = 1} ^ { infty}}$является последовательностью Коши. Так ${ displaystyle sum _ {n} b_ {n}}$ сходится. ${ displaystyle blacksquare}$

Примеры

Первый пример

Икс² грех (1 /Икс) сжимается в пределе, когда x стремится к 0

Лимит

${ displaystyle lim _ {x to 0} x ^ {2} sin ({ tfrac {1} {x}})}$

не может быть определено предельным законом

${ Displaystyle lim _ {х к а} (е (х) cdot g (x)) = lim _ {х к а} е (х) cdot lim _ {х к а} г (Икс),}$

потому что

${ displaystyle lim _ {x to 0} sin ({ tfrac {1} {x}})}$

не существует.

Однако по определению функция синуса,

${ Displaystyle -1 Leq грех ({ tfrac {1} {x}}) Leq 1.}$

Следует, что

${ displaystyle -x ^ {2} leq x ^ {2} sin ({ tfrac {1} {x}}) leq x ^ {2}}$

С ${ displaystyle lim _ {x to 0} -x ^ {2} = lim _ {x to 0} x ^ {2} = 0}$, по теореме сжатия, ${ displaystyle lim _ {x to 0} x ^ {2} sin ({ tfrac {1} {x}})}$ также должно быть 0.

Второй пример

Сравнение областей:
${ Displaystyle { begin {align} & , A ( треугольник ADF) geq A ({ text {сектор}} , ADB) geq A ( треугольник ADB) Rightarrow & , { гидроразрыв {1} {2}} cdot tan (x) cdot 1 geq { frac {x} {2 pi}} cdot pi geq { frac {1} {2}} cdot sin (x) cdot 1 Rightarrow & , { frac { sin (x)} { cos (x)}} geq x geq sin (x) Rightarrow & , { frac { cos (x)} { sin (x)}} leq { frac {1} {x}} leq { frac {1} { sin (x)}} Rightarrow & , cos (x) leq { frac { sin (x)} {x}} leq 1 end {align}}}$

Наверное, наиболее известные примеры нахождения предела сжатием - это доказательства равенств

${ displaystyle { begin {align} & lim _ {x to 0} { frac { sin (x)} {x}} = 1, [10pt] & lim _ {x to 0 } { frac {1- cos (x)} {x}} = 0. end {align}}}$

Первый предел следует с помощью теоремы о сжатии из того факта, что

${ Displaystyle соз х Leq { гидроразрыва { грех (х)} {х}} Leq 1}$^[2]

за Икс достаточно близко к 0. Правильность которого для положительного x можно увидеть с помощью простых геометрических рассуждений (см. рисунок), которые также могут быть расширены до отрицательного x. Второй предел следует из теоремы о сжатии и того факта, что

${ displaystyle 0 leq { frac {1- cos (x)} {x}} leq x}$

за Икс достаточно близко к 0. Это можно получить, заменив ${ Displaystyle грех (х)}$ в более раннем факте ${ displaystyle { sqrt {1- cos (x) ^ {2}}}}$ и возведение в квадрат полученного неравенства.

Эти два ограничения используются для доказательства того факта, что производная синусоидальной функции является косинусоидальной функцией. На этот факт опираются и другие доказательства производных тригонометрических функций.

Третий пример

Можно показать, что

${ displaystyle { frac {d} {d theta}} tan theta = sec ^ {2} theta}$

путем отжима следующим образом.

На рисунке справа площадь меньшего из двух заштрихованных секторов круга равна

${ displaystyle { frac { sec ^ {2} theta , Delta theta} {2}},}$

поскольку радиус равен секθ и дуга на единичный круг имеет длину Δθ. Точно так же площадь большего из двух заштрихованных секторов равна

${ displaystyle { frac { sec ^ {2} ( theta + Delta theta) , Delta theta} {2}}.}$

Между ними зажат треугольник, основанием которого является вертикальный отрезок, концы которого - две точки. Длина основания треугольника - загар (θ + Δθ) - загар (θ), а высота равна 1. Следовательно, площадь треугольника равна

${ displaystyle { frac { tan ( theta + Delta theta) - tan ( theta)} {2}}.}$

Из неравенства

${ displaystyle { frac { sec ^ {2} theta , Delta theta} {2}} leq { frac { tan ( theta + Delta theta) - tan ( theta) } {2}} leq { frac { sec ^ {2} ( theta + Delta theta) , Delta theta} {2}}}$

мы делаем вывод, что

${ displaystyle sec ^ {2} theta leq { frac { tan ( theta + Delta theta) - tan ( theta)} { Delta theta}} leq sec ^ {2 } ( theta + Delta theta),}$

при условии Δθ > 0, и неравенства меняются местами, если ∆θ <0. Поскольку первое и третье выражения приближаются к sec²θ как Δθ → 0, а среднее выражение приближается (d/dθ) загарθ, желаемый результат следует.

Четвертый пример

Теорема сжатия все еще может использоваться в исчислении с несколькими переменными, но нижняя (и верхняя функции) должны быть ниже (и выше) целевой функции не только вдоль пути, но и вокруг всей окрестности интересующей точки, и она работает только в том случае, если функция действительно есть предел. Следовательно, его можно использовать для доказательства того, что функция имеет предел в точке, но его нельзя использовать для доказательства того, что функция не имеет предела в точке.^[3]

${ displaystyle lim _ {(x, y) to (0,0)} { frac {x ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

нельзя найти, взяв любое количество ограничений вдоль путей, проходящих через точку, но поскольку

${ displaystyle 0 leq { frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} leq 1}$

${ Displaystyle - влево | у вправо верт Leq у Leq влево | у вправо верт}$

${ displaystyle - left | y right vert leq { frac {x ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} leq left | y right vert}$

${ displaystyle lim _ {(x, y) to (0,0)} - left | y right vert = 0}$

${ Displaystyle lim _ {(х, у) к (0,0)} влево | у вправо верт = 0}$

${ displaystyle 0 leq lim _ {(x, y) to (0,0)} { frac {x ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} leq 0}$

следовательно, по теореме сжатия

${ displaystyle lim _ {(x, y) to (0,0)} { frac {x ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} = 0}$

Рекомендации

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: "Теорема сжатия"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Апрель 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема о сжатии". MathWorld.
• Теорема сжатия Брюсом Этвудом (Колледж Белойт) после работы Селвина Холлиса (Атлантический государственный университет Армстронга), Вольфрам Демонстрационный проект.
• Теорема сжатия на ProofWiki.