Формат с плавающей запятой двойной точности - Double-precision floating-point format
Формат с плавающей запятой двойной точности (иногда называют FP64 или float64) это формат номера компьютера, обычно занимая 64 биты в памяти компьютера; он представляет собой широкий динамический диапазон числовых значений с помощью плавающего точка счисления.
Плавающая точка используется для представления дробных значений или когда требуется более широкий диапазон, чем предусмотрено фиксированная точка (одинаковой разрядности), даже если это происходит за счет точности. Двойная точность может быть выбрана, когда диапазон или точность одинарная точность было бы недостаточно.
в IEEE 754-2008 стандарт, 64-битный формат base-2 официально называется двоичный64; это назвали двойной в IEEE 754-1985. IEEE 754 определяет дополнительные форматы с плавающей запятой, включая 32-битное основание-2. одинарная точность и, совсем недавно, представления base-10.
Один из первых языки программирования для предоставления типов данных с плавающей запятой одинарной и двойной точности было Фортран. До широкого распространения IEEE 754-1985 представление и свойства типов данных с плавающей запятой зависели от производитель компьютеров компьютерная модель и решения, принимаемые разработчиками языка программирования. Например., GW-BASIC тип данных двойной точности был 64-битный MBF формат с плавающей точкой.
| Плавающая точка форматы |
|---|
| IEEE 754 |
|
| Другой |
IEEE 754 двоичный формат с плавающей запятой двойной точности: binary64
Двоичный формат с плавающей запятой двойной точности - широко используемый формат на ПК из-за его более широкого диапазона по сравнению с плавающей запятой одиночной точности, несмотря на его производительность и стоимость полосы пропускания. Это широко известно как двойной. Стандарт IEEE 754 определяет двоичный64 как имеющий:
- Знаковый бит: 1 бит
- Экспонента: 11 бит
- Значительный точность: 53 бита (52 явно сохранены)
Знаковый бит определяет знак числа (в том числе, когда это число равно нулю, то есть подписанный ).
Поле экспоненты представляет собой 11-битовое целое число без знака от 0 до 2047, в предвзятая форма: показатель степени 1023 представляет фактический ноль. Экспоненты находятся в диапазоне от -1022 до +1023, потому что показатели степени -1023 (все нули) и +1024 (все единицы) зарезервированы для специальных чисел.
53-битная значимая точность дает от 15 до 17 значащие десятичные цифры точность (2−53 ≈ 1.11 × 10−16). Если десятичная строка, содержащая не более 15 значащих цифр, преобразуется в представление двойной точности IEEE 754, а затем преобразуется обратно в десятичную строку с тем же количеством цифр, окончательный результат должен соответствовать исходной строке. Если число двойной точности IEEE 754 преобразовано в десятичную строку, содержащую не менее 17 значащих цифр, а затем преобразовано обратно в представление двойной точности, окончательный результат должен соответствовать исходному числу.[1]
Формат написан с значимое имеющий неявный целочисленный бит значения 1 (за исключением специальных данных, см. кодирование экспоненты ниже). С 52 битами значимой дроби (F), присутствующими в формате памяти, общая точность составляет 53 бита (приблизительно 16 десятичных цифр, 53 логарифма.10(2) ≈ 15,955). Биты расположены следующим образом:
Действительное значение, принятое данной 64-битной системой данных двойной точности с заданной смещенная экспонента а 52-битная дробь
или
Между 252= 4 503 599 627 370 496 и 253= 9,007,199,254,740,992 представимые числа - это в точности целые числа. Для следующего диапазона от 253 до 254, все умножается на 2, поэтому представимые числа - четные и т. д. И наоборот, для предыдущего диапазона от 251 до 252, интервал 0,5 и т. д.
Интервал как доля чисел в диапазоне от 2п до 2п+1 2п−52Максимальная относительная погрешность округления при округлении числа до ближайшего представимого ( машина эпсилон ), следовательно, 2−53.
11-битная ширина экспоненты позволяет представлять числа от 10−308 и 10308, с точностью до 15–17 знаков после запятой. За счет снижения точности субнормальное представление допускает даже меньшие значения примерно до 5 × 10−324.
Экспонентное кодирование
Двоичная экспонента с плавающей запятой двойной точности кодируется с использованием смещение-двоичный представление с нулевым смещением 1023; также известный как смещение экспоненты в стандарте IEEE 754. Примеры таких представлений:
е =000000000012=00116=1: | (наименьший показатель для нормальные числа ) | ||
е =011111111112=3ff16=1023: | (смещение нуля) | ||
е =100000001012=40516=1029: | |||
е =111111111102=7fe16=2046: | (старший показатель) |
Показатели 00016 и 7ff16 имеют особое значение:
000000000002=00016используется для обозначения подписанный ноль (если F = 0) и субнормальные (если F ≠ 0); и111111111112=7ff16используется для представления ∞ (если F = 0) и NaNs (если F ≠ 0),
где F это дробная часть значимое. Все битовые шаблоны являются допустимой кодировкой.
За исключением вышеуказанных исключений, все число двойной точности описывается следующим образом:
На случай, если субнормальные (е = 0) число двойной точности описывается следующим образом:
Порядок байтов
Хотя сегодня повсеместно распространенные процессоры x86 используют память с прямым порядком байтов для всех типов данных (целые числа, числа с плавающей запятой), существует ряд аппаратных архитектур, в которых плавающая точка числа представлены в форме с прямым порядком байтов, а целые числа - с прямым порядком байтов.[2] Есть РУКА процессоры, которые имеют представление с плавающей запятой наполовину с прямым порядком байтов, наполовину с прямым порядком байтов для чисел с двойной точностью: оба 32-битных слова хранятся в обратном порядке байтов, как целочисленные регистры, но в первую очередь наиболее значимое. Поскольку было много форматов с плавающей запятой без "сеть "стандартное представление для них, XDR стандарт использует IEEE 754 с прямым порядком байтов в качестве своего представления. Поэтому может показаться странным, что широко распространенное IEEE 754 Стандарт с плавающей запятой не определяет порядок байтов.[3] Теоретически это означает, что даже стандартные данные с плавающей запятой IEEE, записанные на одной машине, могут быть нечитаемы на другой. Однако на современных стандартных компьютерах (т. Е. Реализующих IEEE 754) на практике можно с уверенностью предположить, что порядок байтов для чисел с плавающей запятой такой же, как и для целых, что делает преобразование простым независимо от типа данных. (Маленький встроенные системы однако использование специальных форматов с плавающей запятой может быть другим вопросом.)
Примеры двойной точности
0 01111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 3FF0 0000 0000 000016 ≙ +20 × 1 = 1 |
0 01111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000012 ≙ 3FF0 0000 0000 000116 ≙ +20 × (1 + 2−52) ≈ 1.0000000000000002, наименьшее число> 1 |
0 01111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000102 ≙ 3FF0 0000 0000 000216 ≙ +20 × (1 + 2−51) ≈ 1.0000000000000004 |
0 10000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 4000 0000 0000 000016 ≙ +21 × 1 = 2 |
1 10000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ C000 0000 0000 000016 ≙ −21 × 1 = −2 |
0 10000000000 10000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 4008 0000 0000 000016 ≙ +21 × 1.12 = 112 = 3 |
0 10000000001 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 4010 0000 0000 000016 ≙ +22 × 1 = 1002 = 4 |
0 10000000001 01000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 4014 0000 0000 000016 ≙ +22 × 1.012 = 1012 = 5 |
0 10000000001 10000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 4018 0000 0000 000016 ≙ +22 × 1.12 = 1102 = 6 |
0 10000000011 01110000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 4037 0000 0000 000016 ≙ +24 × 1.01112 = 101112 = 23 |
0 01111111000 10000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 3F88 0000 0000 000016 ≙ +2−7 × 1.12 = 0.000000112 = 0.01171875 (3/256) |
0 00000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000012 ≙ 0000 0000 0000 000116 ≙ +2−1022 × 2−52 = 2−1074 ≈ 4.9406564584124654 × 10−324 (Мин. Субнормальный положительный дубль) |
0 00000000000 11111111111111111111111111111111111111111111111111112 ≙ 000F FFFF FFFF FFFF16 ≙ +2−1022 × (1 − 2−52) ≈ 2.2250738585072009 × 10−308 (Макс. Субнормальный двойной) |
0 00000000001 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 0010 0000 0000 000016 ≙ +2−1022 × 1 ≈ 2.2250738585072014 × 10−308 (Мин. Нормальный положительный двойной) |
0 11111111110 11111111111111111111111111111111111111111111111111112 ≙ 7FEF FFFF FFFF FFFF16 ≙ +21023 × (1 + (1 − 2−52)) ≈ 1.7976931348623157 × 10308 (Макс. Двойной) |
0 00000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 0000 0000 0000 000016 ≙ +0 |
1 00000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 8000 0000 0000 000016 ≙ −0 |
0 11111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 7FF0 0000 0000 000016 ≙ + ∞ (положительная бесконечность) |
1 11111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ FFF0 0000 0000 000016 ≙ −∞ (отрицательная бесконечность) |
0 11111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000012 ≙ 7FF0 0000 0000 000116 ≙ NaN (sNaN на большинстве процессоров, таких как x86 и ARM) |
0 11111111111 10000000000000000000000000000000000000000000000000012 ≙ 7FF8 0000 0000 000116 ≙ NaN (qNaN на большинстве процессоров, таких как x86 и ARM) |
0 11111111111 11111111111111111111111111111111111111111111111111112 ≙ 7FFF FFFF FFFF FFFF16 ≙ NaN (альтернативная кодировка NaN) |
0 01111111101 01010101010101010101010101010101010101010101010101012 = 3fd5 5555 5555 555516 ≙ +2−2 × (1 + 2−2 + 2−4 + ... + 2−52) ≈ 1/3 |
0 10000000000 10010010000111111011010101000100010000101101000110002 = 4009 21fb 5444 2d1816 ≈ пи |
Кодировки qNaN и sNaN не полностью указаны в IEEE 754 и зависят от процессора. Большинство процессоров, таких как x86 семья и РУКА семейные процессоры используют самый старший бит значимого поля для обозначения тихого NaN; это то, что рекомендуется IEEE 754. PA-RISC процессоры используют этот бит для обозначения сигнального NaN.
По умолчанию, 1/3 округляется в меньшую сторону, а не в большую одинарная точность, из-за нечетного количества бит в мантиссе.
Более детально:
Учитывая шестнадцатеричное представление 3FD5 5555 5555 555516, Знак = 0 Экспонента = 3FD16 = 1021 Смещение экспоненты = 1023 (постоянное значение; см. Выше) Дробь = 5 5555 5555 555516 Значение = 2(Экспонента - экспонента смещения) × 1. Дробь - Обратите внимание, что дробь не должна быть преобразована в десятичную здесь = 2−2 × (15 5555 5555 555516 × 2−52) = 2−54 × 15 5555 5555 555516 = 0.333333333333333314829616256247390992939472198486328125 ≈ 1/3
Скорость выполнения с арифметикой двойной точности
Использование переменных с плавающей запятой двойной точности и математических функций (например, sin, cos, atan2, log, exp и sqrt) медленнее, чем работа с их аналогами с одинарной точностью. Одной из областей вычислений, где это является особой проблемой, является параллельный код, работающий на графических процессорах. Например, при использовании NVIDIA с CUDA платформы, вычисления с двойной точностью занимают, в зависимости от оборудования, примерно от 2 до 32 раз дольше, чем при использовании одинарная точность.[4]
Реализации
Двойники реализованы во многих языках программирования по-разному, например следующим образом. На процессорах только с динамической точностью, таких как x86 без SSE2 (или когда SSE2 не используется в целях совместимости) и с повышенной точностью, используемой по умолчанию, у программного обеспечения могут возникнуть трудности с выполнением некоторых требований.
C и C ++
C и C ++ предлагают широкий выбор арифметические типы. Стандарты не требуют двойной точности (кроме необязательного приложения F к C99, охватывающий арифметику IEEE 754), но в большинстве систем двойной тип соответствует двойной точности. Однако на 32-битной x86 с расширенной точностью по умолчанию некоторые компиляторы могут не соответствовать стандарту C и / или арифметика может страдать от двойное округление.[5]
Фортран
Фортран предоставляет несколько целочисленных и вещественных типов, а также 64-битный тип реальный64, доступный через встроенный модуль Fortran iso_fortran_env, соответствует двойной точности.
Common Lisp
Common Lisp предоставляет типы SHORT-FLOAT, SINGLE-FLOAT, DOUBLE-FLOAT и LONG-FLOAT. Большинство реализаций предоставляют SINGLE-FLOAT и DOUBLE-FLOAT с соответствующими синонимами для других типов. Common Lisp предоставляет исключения для перехвата недополнения и переполнения с плавающей запятой, а также неточное исключение с плавающей запятой, согласно IEEE 754. В стандарте ANSI не описаны бесконечности и NaN, однако некоторые реализации предоставляют их как расширения.
Ява
На Ява до версии 1.2 каждая реализация должна была соответствовать IEEE 754. Версия 1.2 позволила реализациям повысить точность промежуточных вычислений для таких платформ, как x87. Таким образом, модификатор strictfp был введен для обеспечения строгих вычислений IEEE 754.
JavaScript
Как указано в ECMAScript стандарт, вся арифметика в JavaScript должно выполняться с использованием арифметики с плавающей запятой двойной точности.[6]
Смотрите также
- IEEE 754, Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой
Примечания и ссылки
- ^ Уильям Кахан (1 октября 1997 г.). «Лекционные заметки о статусе стандарта IEEE 754 для двоичной арифметики с плавающей запятой» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала от 8 февраля 2012 г.
- ^ Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2005], «Форматы с плавающей точкой», квадиблок, в архиве из оригинала 2018-07-03, получено 2018-07-16
- ^ «pack - преобразовать список в двоичное представление».
- ^ «Новый Titan V от Nvidia выдает 110 терафлопс с одного чипа». Оборудование Тома. 2017-12-08. Получено 2018-11-05.
- ^ «Ошибка 323 - оптимизированный код дает странные результаты с плавающей запятой». gcc.gnu.org. В архиве с оригинала 30 апреля 2018 г.. Получено 30 апреля 2018.
- ^ ECMA-262 Спецификация языка ECMAScript (PDF) (5-е изд.). Ecma International. п. 29, §8.5 Тип числа. В архиве (PDF) из оригинала от 13.03.2012.