Формат с плавающей запятой одинарной точности - Single-precision floating-point format

Формат с плавающей запятой одинарной точности (иногда называют FP32 или же float32) это формат номера компьютера, обычно занимая 32 бит в память компьютера; он представляет собой широкий динамический диапазон числовых значений с помощью плавающая точка счисления.

Переменная с плавающей запятой может представлять более широкий диапазон чисел, чем фиксированная точка переменная той же разрядности за счет точности. А подписанный 32-битный целое число переменная имеет максимальное значение 2³¹ - 1 = 2 147 483 647, тогда как IEEE 754 32-битная переменная с плавающей запятой base-2 имеет максимальное значение (2 - 2⁻²³) × 2¹²⁷ ≈ 3.4028235 × 10³⁸. Все целые числа с 7 или менее десятичными знаками и любые 2^п для целого числа −149 ≤ п ≤ 127, могут быть точно преобразованы в значение с плавающей запятой одинарной точности IEEE 754.

в IEEE 754-2008 стандарт, 32-битный формат base-2 официально называется двоичный32; это называлось Один в IEEE 754-1985. IEEE 754 определяет дополнительные типы с плавающей запятой, такие как 64-битное основание-2. двойная точность и, совсем недавно, представления base-10.

Один из первых языки программирования для предоставления типов данных с плавающей запятой одинарной и двойной точности было Фортран. До широкого распространения IEEE 754-1985 представление и свойства типов данных с плавающей запятой зависели от производитель компьютеров компьютерная модель и решения, принятые разработчиками языков программирования. Например., GW-BASIC тип данных с одинарной точностью был 32-битный MBF формат с плавающей точкой.

Одинарная точность называется НАСТОЯЩИЙ в Фортран,^[1] ОДНОПЛАВКОВЫЕ в Common Lisp,^[2] плавать в C, C ++, C #, Ява,^[3] Плавать в Haskell,^[4] и Одинокий в Object Pascal (Delphi ), Visual Basic, и MATLAB. Тем не мение, плавать в Python, Рубин, PHP, и OCaml и Один в версиях Октава до 3.2 см. двойная точность числа. В большинстве реализаций PostScript, и немного встроенные системы, единственная поддерживаемая точность - single.

Двоичный формат с плавающей запятой одинарной точности IEEE 754: binary32

Стандарт IEEE 754 определяет двоичный32 как имеющий:

Знаковый бит: 1 бит
Экспонента ширина: 8 бит
Значительный точность: 24 бита (23 сохранены явно)

Это дает от 6 до 9 значащие десятичные цифры точность. Если десятичная строка, содержащая не более 6 значащих цифр, преобразуется в представление с одинарной точностью IEEE 754, а затем преобразуется обратно в десятичную строку с тем же количеством цифр, окончательный результат должен соответствовать исходной строке. Если число с одинарной точностью IEEE 754 преобразовано в десятичную строку, содержащую не менее 9 значащих цифр, а затем преобразовано обратно в представление с одинарной точностью, окончательный результат должен соответствовать исходному числу.^[5]

Знаковый бит определяет знак числа, который также является знаком мантиссы. Показатель степени представляет собой 8-битовое целое число без знака от 0 до 255 в предвзятая форма: значение экспоненты 127 представляет фактический ноль. Экспоненты варьируются от -126 до +127, потому что показатели -127 (все нули) и +128 (все единицы) зарезервированы для специальных чисел.

Истинная мантисса включает 23 дробных бита справа от двоичной точки и неявный ведущий бит (слева от двоичной точки) со значением 1, если показатель степени не сохранен со всеми нулями. Таким образом, только 23 дробных бита значимое появляются в формате памяти, но общая точность составляет 24 бита (что эквивалентно log₁₀(2²⁴) ≈ 7,225 десятичных знаков). Биты расположены следующим образом:

Реальное значение, принимаемое данным 32-битным двоичный32 данные с заданным знак, смещенная экспонента е (8-битное целое число без знака) и 23-битная дробь является

{displaystyle (-1) ^ {b_ {31}} imes 2 ^ {(b_ {30} b_ {29} dots b_ {23}) _ {2} -127} imes (1.b_ {22} b_ {21 } точки b_ {0}) _ {2}}

,

что дает

{displaystyle {ext {value}} = (- 1) ^ {ext {sign}} imes 2 ^ {(e-127)} imes left (1 + sum _ {i = 1} ^ {23} b_ {23- i} 2 ^ {- i} ight).}

В этом примере:

${displaystyle {ext {sign}} = b_ {31} = 0}$ ,
${displaystyle (-1) ^ {ext {sign}} = (- 1) ^ {0} = + 1in {-1, + 1}}$ ,
${displaystyle e = b_ {30} b_ {29} dots b_ {23} = sum _ {i = 0} ^ {7} b_ {23 + i} 2 ^ {+ i} = 124in {1, ldots, (2 ^ {8} -1) -1} = {1, ldots, 254}}$ ,
${displaystyle 2 ^ {(e-127)} = 2 ^ {124-127} = 2 ^ {- 3} в {2 ^ {- 126}, ldots, 2 ^ {127}}}$ ,
${displaystyle 1.b_ {22} b_ {21} ... b_ {0} = 1 + sum _ {i = 1} ^ {23} b_ {23-i} 2 ^ {- i} = 1 + 1cdot 2 ^ {- 2} = 1,25 дюйма {1,1 + 2 ^ {- 23}, ldots, 2-2 ^ {- 23}} подмножество [1; 2-2 ^ {- 23}] подмножество [1; 2) }$ .

таким образом:

${displaystyle {ext {value}} = (+ 1) imes 2 ^ {- 3} imes 1,25 = + 0,15625}$ .

Примечание:

${displaystyle 1 + 2 ^ {- 23} около 1 000 000 119}$ ,
${displaystyle 2-2 ^ {- 23} приблизительно 1 999 999 881}$ ,
${displaystyle 2 ^ {- 126} примерно 1,175,494,35 imes 10 ^ {- 38}}$ ,
${displaystyle 2 ^ {+ 127} примерно 1.701,411,83 imes 10 ^ {+ 38}}$ .

Экспонентное кодирование

Двоичная экспонента с плавающей запятой одинарной точности кодируется с использованием смещение-двоичный представление с нулевым смещением 127; также известный как смещение экспоненты в стандарте IEEE 754.

E_мин = 01_ЧАС−7F_ЧАС = −126
E_{Максимум} = FE_ЧАС−7F_ЧАС = 127
Экспонентное смещение = 7F_ЧАС = 127

Таким образом, чтобы получить истинную экспоненту, как определено двоичным представлением смещения, смещение 127 должно быть вычтено из сохраненной экспоненты.

Сохраненные экспоненты 00_ЧАС и FF_ЧАС интерпретируются специально.

Экспонента	фракция = 0	дробь ≠ 0	Уравнение
00_ЧАС	нуль	субнормальное число	${displaystyle (-1) ^ {sign} imes 2 ^ {- 126} imes 0.fraction}$
01_ЧАС, ..., ИП_ЧАС	нормальное значение		${displaystyle (-1) ^ {sign} imes 2 ^ {exponent-127} imes 1.fraction}$
FF_ЧАС	±бесконечность	NaN (тихо, сигнализирует)

Минимальное положительное нормальное значение равно ${displaystyle 2 ^ {- 126} примерно 1,18 imes 10 ^ {- 38}}$ а минимальное положительное (субнормальное) значение равно ${displaystyle 2 ^ {- 149} примерно 1,4 imes 10 ^ {- 45}}$ .

Преобразование из десятичного представления в формат binary32

В общем, обратитесь к самому стандарту IEEE 754 для строгого преобразования (включая поведение округления) действительного числа в его эквивалентный формат binary32.

Здесь мы можем показать, как преобразовать вещественное число с основанием 10 в двоичный формат IEEE 754, используя следующую схему:

Рассмотрим действительное число с целой и дробной частью, например 12,375.
Конвертировать и нормализовать целая часть в двоичный
Преобразуйте дробную часть, используя следующую технику, как показано здесь.
Добавьте два результата и настройте их, чтобы получить правильное окончательное преобразование.

Преобразование дробной части:Рассмотрим 0,375, дробную часть 12,375. Чтобы преобразовать его в двоичную дробь, умножьте дробь на 2, возьмите целую часть и повторите с новой дробью на 2 до тех пор, пока не будет найдена дробная часть, равная нулю, или пока не будет достигнут предел точности, который составляет 23 цифры дробной части для формата IEEE 754 binary32. .

{displaystyle 0,375 imes 2 = 0,750 = 0 + 0,750Rightarrow b _ {- 1} = 0}

, целая часть представляет собой двоичную дробную цифру. Чтобы продолжить, умножьте 0,750 на 2.

{displaystyle 0,750 imes 2 = 1,500 = 1 + 0,500Rightarrow b _ {- 2} = 1}

{displaystyle 0.500 imes 2 = 1.000 = 1 + 0.000Rightarrow b _ {- 3} = 1}

, дробь = 0,000, завершить

Мы видим, что ${displaystyle (0,375) _ {10}}$ может быть точно представлен в двоичном виде как ${displaystyle (0,011) _ {2}}$ . Не все десятичные дроби могут быть представлены в виде конечной двоичной дроби. Например, десятичная дробь 0,1 не может быть представлена точно в двоичном формате, а только приближенно. Следовательно:

{displaystyle (12,375) _ {10} = (12) _ {10} + (0,375) _ {10} = (1100) _ {2} + (0,011) _ {2} = (1100,011) _ {2}}

Поскольку формат IEEE 754 binary32 требует, чтобы реальные значения были представлены в ${displaystyle (1.x_ {1} x_ {2} ... x_ {23}) _ {2} imes 2 ^ {e}}$ формат (см. Нормализованное число, Денормализованное число ), 1100.011 сдвигается вправо на 3 цифры, чтобы стать ${displaystyle (1.100011) _ {2} imes 2 ^ {3}}$

Наконец, мы видим, что: ${displaystyle (12.375) _ {10} = (1.100011) _ {2} imes 2 ^ {3}}$

Из чего мы делаем вывод:

Показатель степени равен 3 (и поэтому в смещенной форме он равен ${displaystyle 130 = 1000 0010}$ )
Дробь равна 100011 (если смотреть справа от двоичной точки)

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление формата binary32 IEEE 754 для 12,375:

{displaystyle (12,375) _ {10} = (0 10000010 10001100000000000000000) _ {2} = (41460000) _ {16}}

Примечание: рассмотрите возможность преобразования 68.123 в двоичный 32-формат IEEE 754: используя описанную выше процедуру, вы ожидаете получить ${displaystyle ({ext {42883EF9}}) _ {16}}$ последние 4 бита равны 1001. Однако из-за поведения округления по умолчанию в формате IEEE 754, вы получаете ${displaystyle ({ext {42883EFA}}) _ {16}}$ , последние 4 бита которого равны 1010.

Пример 1:Рассмотрим десятичную дробь 1. Мы видим, что: ${displaystyle (1) _ {10} = (1.0) _ {2} imes 2 ^ {0}}$

Из чего мы делаем вывод:

Показатель степени равен 0 (и, следовательно, в смещенной форме он равен ${displaystyle 127 = 0111 1111}$ )
Дробь равна 0 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.0, все ${displaystyle 0 = 000 ... 0}$ )

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление в формате binary32 IEEE 754 действительного числа 1:

{displaystyle (1) _ {10} = (0 01111111 00000000000000000000000) _ {2} = ({ext {3F800000}}) _ {16}}

Пример 2:Рассмотрим значение 0,25. Мы видим, что: ${displaystyle (0,25) _ {10} = (1,0) _ {2} imes 2 ^ {- 2}}$

Из чего мы делаем вывод:

Показатель степени равен −2 (а в смещенной форме он равен ${displaystyle (127 + (- 2)) _ {10} = (125) _ {10} = (0111 1101) _ {2}}$ )
Дробь равна 0 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.0, все нули)

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление формата binary32 IEEE 754 действительного числа 0,25:

{displaystyle (0,25) _ {10} = (0 01111101 00000000000000000000000) _ {2} = ({ext {3E800000}}) _ {16}}

Пример 3:Рассмотрим значение 0,375. Мы видели это ${displaystyle 0.375 = {(1.1) _ {2}} время 2 ^ {- 2}}$

Следовательно, после определения представления 0,375 как ${displaystyle {(1.1) _ {2}} imes 2 ^ {- 2}}$ мы можем действовать, как указано выше:

Показатель степени равен −2 (а в смещенной форме он равен ${displaystyle (127 + (- 2)) _ {10} = (125) _ {10} = (0111 1101) _ {2}}$ )
Дробь равна 1 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.1, это один ${displaystyle 1 = x_ {1}}$ )

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление формата binary32 IEEE 754 действительного числа 0,375:

{displaystyle (0,375) _ {10} = (0 01111101 10000000000000000000000) _ {2} = ({ext {3EC00000}}) _ {16}}

Примеры одинарной точности

Эти примеры приведены в битах представление, в шестнадцатеричный и двоичный, значения с плавающей запятой. Это включает знак, (смещенную) экспоненту и значащую.

0 00000000 00000000000000000000001₂ = 0000 0001₁₆ = 2⁻¹²⁶ × 2⁻²³ = 2⁻¹⁴⁹ ≈ 1.4012984643 × 10⁻⁴⁵                                                   (наименьшее положительное субнормальное число)

0 00000000 11111111111111111111111₂ = 007f ffff₁₆ = 2⁻¹²⁶ × (1 − 2⁻²³) ≈ 1.1754942107 ×10⁻³⁸                                                   (наибольшее субнормальное число)

0 00000001 00000000000000000000000₂ = 0080 0000₁₆ = 2⁻¹²⁶ ≈ 1.1754943508 × 10⁻³⁸                                                   (наименьшее положительное нормальное число)

0 11111110 11111111111111111111111₂ = 7f7f ffff₁₆ = 2¹²⁷ × (2 − 2⁻²³) ≈ 3.4028234664 × 10³⁸                                                   (наибольшее нормальное число)

0 01111110 11111111111111111111111₂ = 3f7f ffff₁₆ = 1 − 2⁻²⁴ ≈ 0,999999940395355225 (наибольшее число меньше единицы)

0 01111111 00000000000000000000000₂ = 3f80 0000₁₆ = 1 (один)

0 01111111 00000000000000000000001₂ = 3f80 0001₁₆ = 1 + 2⁻²³ ≈ 1.00000011920928955 (наименьшее число больше единицы)

1 10000000 00000000000000000000000₂ = c000 0000₁₆ = −20 00000000 00000000000000000000000₂ = 0000 0000₁₆ = 01 00000000 00000000000000000000000₂ = 8000 0000₁₆ = −0                                   0 11111111 00000000000000000000000₂ = 7f80 0000₁₆ = бесконечность1 11111111 00000000000000000000000₂ = ff80 0000₁₆ = −infinity 0 10000000 10010010000111111011011₂ = 4049 0fdb₁₆ ≈ 3,14159274101257324 ≈ π (пи) 0 01111101 01010101010101010101011₂ = 3eaa aaab₁₆ ≈ 0,333333343267440796 ≈ 1/3 x 11111111 10000000000000000000001₂ = ffc0 0001₁₆ = qNaN (на процессорах x86 и ARM) x 11111111 00000000000000000000001₂ = ff80 0001₁₆ = sNaN (на процессорах x86 и ARM)

По умолчанию 1/3 округляется вверх, а не вниз, как двойная точность, из-за четного числа бит в мантиссе. Биты на 1/3 за точкой округления равны 1010... что составляет более 1/2 единица на последнем месте.

Кодировки qNaN и sNaN не указаны в IEEE 754 и реализованы по-разному на разных процессорах. В x86 семья и РУКА Семейные процессоры используют старший бит значимого поля для обозначения тихого NaN. В PA-RISC процессоры используют этот бит для обозначения сигнального NaN.

Преобразование двоичного числа с одинарной точностью в десятичное

Начнем с шестнадцатеричного представления значения, 41C80000в этом примере и преобразовать его в двоичный:

{displaystyle {ext {41C8 0000}} _ {16} = 0100 0001 1100 1000 0000 0000 0000 0000_ {2}}

затем мы разбиваем его на три части: бит знака, показатель степени и значащая величина.

Знаковый бит: ${displaystyle 0_ {2}}$
Показатель: ${displaystyle 1000 0011_ {2} = 83_ {16} = 131_ {10}}$
Значение: ${displaystyle 100 1000 0000 0000 0000 0000_ {2} = 480000_ {16}}$

Затем мы добавляем неявный 24-й бит к мантиссе:

Значение: ${displaystyle mathbf {1} 100 1000 0000 0000 0000 0000_ {2} = {ext {C80000}} _ {16}}$

и декодируем значение экспоненты вычитанием 127:

Необработанная экспонента: ${displaystyle 83_ {16} = 131_ {10}}$
Расшифрованная экспонента: ${displaystyle 131-127 = 4}$

Каждый из 24 бит мантиссы (включая неявный 24-й бит), от бита 23 до бита 0, представляет собой значение, начиная с 1 и уменьшаясь вдвое для каждого бита, следующим образом:

бит 23 = 1 бит 22 = 0,5 бит 21 = 0,25 бит 20 = 0,125 бит 19 = 0,0625 бит 18 = 0,03125..бит 0 = 0,00000011920928955078125

Мантисса в этом примере имеет три установленных бита: бит 23, бит 22 и бит 19. Теперь мы можем декодировать мантиссу, складывая значения, представленные этими битами.

Расшифрованное значение: ${displaystyle 1 + 0,5 + 0,0625 = 1,5625 = {ext {C80000}} / 2 ^ {23}}$

Затем нам нужно умножить с основанием 2 на степень экспоненты, чтобы получить окончательный результат:

{displaystyle 1.5625 imes 2 ^ {4} = 25}

Таким образом

{displaystyle {ext {41C8 0000}} = 25}

Это эквивалентно:

{displaystyle n = (- 1) ^ {s} imes (1 + m * 2 ^ {- 23}) imes 2 ^ {x-127}}

куда $s$ это знаковый бит, $Икс$ - показатель степени, а $м$ это значение.

Ограничения точности десятичных значений в [1, 16777216]

Десятичные числа от 1 до 2: фиксированный интервал 2⁻²³ (1+2⁻²³ является следующим по величине числом с плавающей запятой после 1)
Десятичные числа от 2 до 4: фиксированный интервал 2⁻²²
Десятичные числа от 4 до 8: фиксированный интервал 2⁻²¹
...
Десятичные числа от 2^п и 2^{п + 1}: фиксированный интервал 2^п-23
...
Десятичные числа от 2²²= 4194304 и 2²³= 8388608: фиксированный интервал 2⁻¹=0.5
Десятичные числа от 2²³= 8388608 и 2²⁴= 16777216: фиксированный интервал 2⁰=1

Ограничения точности для целочисленных значений

Целые числа от 0 до 16777216 могут быть точно представлены (также применимо к отрицательным целым числам от -16777216 до 0)
Целые числа от 2²⁴= 16777216 и 2²⁵= 33554432 округлить до кратного 2 (четное число)
Целые числа от 2²⁵ и 2²⁶ округлить до кратного 4
...
Целые числа от 2^п и 2^{п + 1} округлить до кратного 2^п-23
...
Целые числа от 2¹²⁷ и 2¹²⁸ округлить до кратного 2¹⁰⁴
Целые числа больше или равные 2¹²⁸ округляются до «бесконечности».

Оптимизация

Дизайн формата с плавающей запятой допускает различные оптимизации, в результате простой генерации логарифм по основанию 2 аппроксимация из целочисленного представления необработанного битового шаблона. Целочисленная арифметика и сдвиг битов могут дать приближение к обратный квадратный корень (быстрый обратный квадратный корень ), обычно требуемый в компьютерная графика.

Смотрите также

Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой (IEEE 754)
ISO / IEC 10967, независимая от языка арифметика
Примитивный тип данных
Численная стабильность

внешняя ссылка

[1] «НАСТОЯЩЕЕ заявление». scc.ustc.edu.cn.

[2] "CLHS: Тип КОРОТКОПЛАВЫЧНЫЙ, ОДНОПЛАВЧИЙ, ДВОЙНОЙ ..."

[3] «Примитивные типы данных». Документация по Java.

[4] «6 предопределенных типов и классов». haskell.org. 20 июля 2010 г.

[whyieee-5] Уильям Кахан (1 октября 1997 г.). «Лекционные заметки о статусе стандарта IEEE 754 для двоичной арифметики с плавающей запятой» (PDF). п. 4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Типы данных
Неинтерпретированный	Кусочек Байт Трит Tryte Слово Битовый массив
Числовой	Произвольная точность или bignum Сложный Десятичный Фиксированная точка Плавающая точка Двойная точность Повышенная точность Длинный дубль Восьмеричная точность Четверная точность Одинарная точность Пониженная точность Minifloat Половинная точность bfloat16 Целое число подпись Интервал Рациональный
Указатель	Адрес физический виртуальный Ссылка
Текст	Характер Нить оканчивающийся нулем
Композитный	Алгебраический тип данных обобщенный Множество Ассоциативный массив Учебный класс Зависимый Равенство Индуктивный Пересечение Список Объект метаобъект Тип варианта Товар Запись или структура Уточнение Набор Союз отмечен
Другой	Булево Нижний тип Коллекция Нумерованный тип Исключение Тип функции Непрозрачный тип данных Рекурсивный тип данных Семафор Транслировать Тип верха Типовой класс Тип объекта Пустота
Связанный темы	Абстрактный тип данных Структура данных Универсальный вид метакласс Тип объекта Параметрический полиморфизм Примитивный тип данных Протокол интерфейс Подтип Конструктор типов Преобразование типов Система типов Теория типов Переменная

Формат с плавающей запятой одинарной точности - Single-precision floating-point format

Содержание

Двоичный формат с плавающей запятой одинарной точности IEEE 754: binary32

Экспонентное кодирование

Преобразование из десятичного представления в формат binary32

Примеры одинарной точности

Преобразование двоичного числа с одинарной точностью в десятичное

Ограничения точности десятичных значений в [1, 16777216]

Ограничения точности для целочисленных значений

Оптимизация

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка