Подгруппа фитингов - Fitting subgroup

В математика, особенно в районе алгебра известный как теория групп, то Подгруппа фитингов F из конечная группа грамм, названный в честь Ганс Фиттинг, является самым большим нормальный нильпотентный подгруппа из грамм. Интуитивно он представляет собой наименьшую подгруппу, которая «контролирует» структуру грамм когда грамм является разрешимый. Когда грамм не разрешима, аналогичную роль играет обобщенная подгруппа Фиттинга F^*, который порождается подгруппой Фиттинга и составные части из грамм.

Для произвольной (не обязательно конечной) группы грамм, подгруппа Фиттинга определяется как подгруппа, порожденная нильпотентными нормальными подгруппами грамм. Для бесконечных групп подгруппа Фиттинга не всегда нильпотентна.

Остальная часть статьи посвящена исключительно конечные группы.

Подгруппа Фиттинга

В нильпотентность подгруппы Фиттинга конечной группы гарантируется Теорема Фиттинга который говорит, что произведение конечного набора нормальных нильпотентных подгрупп группы грамм снова нормальная нильпотентная подгруппа. Он также может быть явно сконструирован как продукт p-сердечники из грамм по всем простым числам п разделение порядка грамм.

Если грамм конечная нетривиальная разрешимая группа, то подгруппа Фиттинга всегда нетривиальна, т.е. если грамм1 конечно разрешима, то F(грамм) ≠ 1. Аналогично подгруппа Фиттинга группы грамм/F(грамм) будет нетривиальным, если грамм не является сам по себе нильпотентным, что дает начало концепции Длина установки. Поскольку подгруппа Фиттинга конечной разрешимой группы содержит свою собственную централизатор, это дает метод понимания конечных разрешимых групп как расширения нильпотентных групп верный группы автоморфизмов нильпотентных групп.

В нильпотентной группе каждое главный фактор централизовано каждым элементом. Несколько ослабив условие и взяв подгруппу элементов общей конечной группы, которая централизует каждый главный фактор, можно просто снова получить подгруппу Фиттинга (Хупперт 1967, Kap.VI, Satz 5.4, p.686):

${ displaystyle operatorname {Fit} (G) = bigcap {C_ {G} (H / K): H / K { text {главный фактор}} G }.}$

Обобщение на п-нильпотентный группы похожи.

Обобщенная подгруппа Фиттинга

А составная часть группы - это субнормальный квазипростой подгруппа. (Группа квазипростой если это идеально центральное расширение простой группы.) слой E(грамм) или L(грамм) группы - это подгруппа, порожденная всеми компонентами. Любые две компоненты группы коммутируют, поэтому слой является совершенным центральным расширением произведения простых групп и является наибольшей нормальной подгруппой группы. грамм с этой структурой. Обобщенная подгруппа Фиттинга F^*(грамм) - подгруппа, порожденная слоем и подгруппой Фиттинга. Слой коммутирует с подгруппой Фиттинга, поэтому обобщенная подгруппа Фиттинга является центральным расширением произведения п-группы и простые группы.

Слой также является максимальной нормальной полупростой подгруппой, где группа называется полупростой если это идеальное центральное расширение произведения простых групп.

Это определение обобщенной подгруппы Фиттинга может быть мотивировано некоторыми из ее предполагаемых применений. Рассмотрим проблему попытки определить нормальную подгруппу ЧАС из грамм который содержит собственный централизатор и группу Фиттинга. Если C является централизатором ЧАС мы хотим доказать, что C содержится в ЧАС. Если нет, выберите минимальный характеристическая подгруппа M / Z (В) из C / Z (H), куда Z (H) это центр ЧАС, что совпадает с пересечением C и ЧАС. потом M/Z(ЧАС) является продуктом простого или циклические группы поскольку это характерно просто. Если M/Z(ЧАС) является произведением циклических групп, то M должен быть в подгруппе Fitting. Если M/Z(ЧАС) является произведением неабелевых простых групп, то производная подгруппа M нормальная полупростая подгруппа, отображаемая на M/Z(ЧАС). Так что если ЧАС содержит подгруппу Фиттинга и все нормальные полупростые подгруппы, то M/Z(ЧАС) должно быть тривиальным, поэтому ЧАС содержит свой централизатор. Обобщенная подгруппа Фиттинга - это наименьшая подгруппа, которая содержит подгруппу Фиттинга и все нормальные полупростые подгруппы.

Обобщенную подгруппу Фиттинга можно также рассматривать как обобщенный централизатор главных факторов. Неабелева полупростая группа не может централизовать себя, но она действует как внутренние автоморфизмы. Группа называется квазинильпотентный если каждый элемент действует как внутренний автоморфизм на каждый главный фактор. Обобщенная подгруппа Фиттинга является единственной наибольшей субнормальной квазинильпотентной подгруппой и равна множеству всех элементов, которые действуют как внутренние автоморфизмы на каждом главном факторе всей группы (Хупперт и Блэкберн 1982, Глава X, теорема 5.4, с. 126):

${ displaystyle operatorname {Fit} ^ {*} (G) = bigcap {HC_ {G} (H / K): H / K { text {главный фактор}} G }.}$

Здесь элемент грамм в ЧАСC_грамм(ЧАС/K) тогда и только тогда, когда есть час в ЧАС так что для каждого Икс в ЧАС, Икс^грамм ≡ Икс^час мод K.

Характеристики

Если грамм конечная разрешимая группа, то подгруппа Фиттинга содержит свой централизатор. Централизатор подгруппы Фиттинга является центром подгруппы Фиттинга. В этом случае обобщенная подгруппа Фиттинга равна подгруппе Фиттинга. В более общем смысле, если грамм конечная группа, то обобщенная подгруппа Фиттинга содержит свой централизатор. Это означает, что в некотором смысле обобщенная подгруппа Фиттинга управляет грамм, потому что грамм по модулю централизатора F^*(грамм) содержится в группе автоморфизмов F^*(грамм), а централизатор F^*(грамм) содержится в F^*(грамм). В частности, существует лишь конечное число групп с данной обобщенной подгруппой Фиттинга.

Приложения

Нормализаторы нетривиальных п-подгруппы конечной группы называются п-локальные подгруппы и в значительной степени контролировать структуру группы (позволяя то, что называется локальный анализ ). Говорят, что конечная группа состоит из характеристика п тип если F^*(грамм) это п-группа для каждого п-local подгруппа, потому что любая группа лиева типа определен над полем характеристики п имеет это свойство. в классификация конечных простых групп, это позволяет угадать, по какому полю следует определить простую группу. Обратите внимание, что несколько групп имеют характерные п введите более одного п.

Если простая группа не лиева типа над полем данной характеристики п, то п-локальные подгруппы обычно имеют компоненты в обобщенной подгруппе Фиттинга, хотя есть много исключений для групп, которые имеют малый ранг, определены над небольшими полями или являются спорадическими. Это используется для классификации конечных простых групп, потому что если п-локальная подгруппа имеет известный компонент, часто можно идентифицировать всю группу (Ашбахер и Зейтц, 1976 г. ).

Изучение конечных простых групп с помощью структуры и вложения обобщенных подгрупп Фиттинга их максимальных подгрупп было начато Гельмутом Бендером (Бендер 1970 ) и стал известен как Метод Бендера. Это особенно эффективно в исключительных случаях, когда компоненты или функторы сигнализатора не применимы.

Рекомендации

• Ашбахер, Михаэль (2000), Теория конечных групп, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-78675-1
• Ашбахер, Михаэль; Зейтц, Гэри М. (1976), "О группах со стандартной компонентой известного типа", Osaka J. Math., 13 (3): 439–482
• Бендер, Гельмут (1970), "О группах с абелевыми силовскими 2-подгруппами", Mathematische Zeitschrift, 117: 164–176, Дои:10.1007 / BF01109839, ISSN  0025-5874, Г-Н  0288180
• Хупперт, Б. (1967), Endliche Gruppen (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-03825-2, Г-Н  0224703, OCLC  527050
• Гупперт, Бертрам; Блэкберн, Норман (1982), Конечные группы. III., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 243, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-10633-2, Г-Н  0650245