Теорема фитингов - Википедия - Fittings theorem

Теорема Фиттинга это математический теорема доказано Ганс Фиттинг. Это можно сформулировать так:

Если M и N находятся нильпотентный нормальные подгруппы из группа грамм, то их продукт MN также является нильпотентной нормальной подгруппой в грамм; если к тому же M нильпотентен класса м и N нильпотентен класса п, тогда MN не более чем нильпотентен по классу м + п.

К индукция отсюда также следует, что подгруппа, порожденная конечным набором нильпотентных нормальных подгрупп, нильпотентна. Это можно использовать, чтобы показать, что Подгруппа фитингов определенных типов групп (включая все конечные группы ) нильпотентна. Однако подгруппа, порожденная бесконечный совокупность нильпотентных нормальных подгрупп не обязательно должна быть нильпотентной.

Теоретико-упорядоченное утверждение

С точки зрения теория порядка, (часть) теоремы Фиттинга можно сформулировать так:

Множество нильпотентных нормальных подгрупп образуют решетка подгрупп.

Таким образом, нильпотентные нормальные подгруппы группы конечный группы также образуют ограниченную решетку и имеют верхний элемент, подгруппу Фиттинга.

Однако нильпотентные нормальные подгруппы в общем случае не образуют полная решетка, поскольку подгруппа, порожденная бесконечным набором нильпотентных нормальных подгрупп, не обязательно должна быть нильпотентной, хотя она будет нормальной. Объединение всех нильпотентных нормальных подгрупп по-прежнему определяется как подгруппа Фиттинга, но оно не обязательно должно быть нильпотентным.

внешняя ссылка